1、广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页1解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0
2、t1)，以 AB 为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于 AT，使 垂直且等于 BT， 交半圆BA B BA于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线 的方程；（2）计算出点 P、Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图, 看出 点的坐标.,BA(1 ) 显然 , 于是 直线t1 ，tBA的方程为 ；xy（2）由方程组 ,12ty解出 、 ； ),(10P),(22ttQ（3） ,kT.ttttkQT 11202)(由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点
3、Q.需要注意的是, Q 点的坐 标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y)0(12bayx轴分别交于 R、S ，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,l l由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为 ).0(kmxy广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页2代入椭圆方程 得，22bayxb.)(22mkx化简后，得关于 的一元二次方程.0)2222 ba于是其判别式 ).(4)(4( 22mbkakak 由已知，得
4、=0即 .22mb在直线方程 中，分别令 y=0，x=0，求得xy ).,0(SR令顶点 P 的坐标为（x，y） ， 由已知，得 .,.,ymxky解 得代入式并整理，得 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程12ybxa方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?2yx例 3 已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的12ba32e),0(,bBaA距离是 .2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C， D 都在以 B 为圆心的)0(5kxy圆上，求 k 的值.讲解：（1） 原点到直线 AB： 的距离,32ac 1byax.,12bbd故所求双曲线方程为 .13
5、2yx（2）把 中消去 y，整理得 .5kxy代 入 0783)1(2kx设 的中点是 ，则CDyC),(),(21 ),(0xE广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页3.1,3153520 20210kxyk kkxyBE,0即 7,0,0315315 222 kkkk又故所求 k= .7为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.k例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F 2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F 1PF2 的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点，ABF 2 的面积最大值为 12（1）求椭圆
6、 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设 , 对 由余弦定理, 得crPF2|,|,| 12121P1)(44)(24cos 2121211 rcarcarcP，01e解出 .（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为 )(cxky椭圆方程为 ,),(1212BAbyax由 得 .e2c于是椭圆方程可转化为 0yx将代入，消去 得 ,2)(2ck整理为 的一元二次方程，得 .x 0)1(412kx则 x1、x 2 是上述方程的两根且，21|kc，21)(| kxAB也可这样求解： |2121yFS|xkc广东省高职考试网 广东省 3+证
7、书考试网当前第 页共 9 页4AB 边上的高 ,1|2sin| 2121 kcFBhkcS|)(222.21424|22ckckii) 当 k 不存在时，把直线 代入椭圆方程得x2,|,SABy由知 S 的最大值为 由题意得 =12 所以 2cc226bc1a故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： .1yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为： cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为： ),(,122BAbya由 得： 于是椭圆方程可化为： .2e,c022cyx把代入并整理得： 0)(22my于是 是上述方程的两根 .2
8、1,y,|1)()(| 1221yxAB 2)(42mc2)1(mcAB 边上的高 ,2mch从而 22)(11)(1|2cS.2c当且仅当 m=0 取等号，即 .2maxcS由题意知 , 于是 .12c 21,6ab故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： yx例 5 已知直线 与椭圆1xy广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页5相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 上.)0(12bayx 02:yxl（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程.l 42yx讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为 得1).,()
9、,( 221 byaxBA，则 由, 02)( 22 baxba根据韦达定理，得 ,2)(,2121221 baxybax 线段 AB 的中点坐标为（ ）. 22,ba由已知得 2222 )(,0cacba 故椭圆的离心率为 . e（2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线,cb),0(bF)0,(bF的对称点为0:yxl ,2120),( 00 yxbxy且则解得 b54300且由已知得 4,)(, 2222 yx故所求的椭圆方程为 .148yx例 6 已知M： 轴上的动点，QA，QB 分别切M 于xQ是,)2(2A，B 两点，（1）如果 ，求直线 MQ 的方程；34|广东省高职
10、考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页6A O BC（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.讲解:（1）由 ，可得324|AB由射影定理，得 ,31)(1)2|(| 22MP在 RtMOQ 中，,|,|2QB得，523| 22OOQ故 ，5a或所以直线 AB 方程是 ;052025yxyx或（2）连接 MB，MQ ，设 由),(,aQP点 M，P，Q 在一直线上，得由射影定理得(*),xya |,|2MB即 把（*）及（*）消去 a，并注意到 ，可得(),14222a 2y).(6)47(yy适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7 如图
11、，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC= 。DOAB 于 O 点，2OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设，NM试确定实数 的取值范围讲解: （1）建立平面直角坐标系 , 如图所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y= 2)(2动点 P 的轨迹是椭圆 . 广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页7x .1,2cba曲线 E 的
12、方程是 .2yx（2）设直线 L 的方程为 , 代入曲线 E 的方程 ，得k 22yx068)1(2xk设 M1（ , 则)(,2yNy.126,8,014)(122kxki) L 与 y 轴重合时， 31|DNMii) L 与 y 轴不重合时，由得 .23k又 , 或 21xDNMN ,012x,012x0 1 , . 21)(1221 xx 而 )2(3)(64)(221 kk ,32.8)12(6k , ,1)(342k 312430广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页8.13,10,2 的取值范围是 . ,3值得读者注意的是，直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗
13、漏，应当引起警惕. 例 8 直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 Al )0(2px两点.),(),(21yxB和（1）求证： ;214p（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.讲解: （1）易求得抛物线的焦点 .)0,2(PF若 lx 轴，则 l 的方程为 .41x显 然若 l 不垂直于 x 轴，可设 ,代入抛物线方程整理得 )(ky. 综上可知 .,04)21(212PxkPx则 21px（2）设 ，则 CD 的垂直平分线 的方程为dcpDcC且)( l2xdcy假设 过 F，则 整理得 l )4(02p 0)2)(2dcpp， . 22dc
14、0dc这时 的方程为 y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同l lpxy2的交点，因此 与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能 够找到它的原形吗？知识 在记忆中积累，能力在 联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复 课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m，APB=60 ，试说明怎样运土石广东省高职考试网 广东省 3+证书考试网当前第 页共 9 页9最省工？讲解: 以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中
15、点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即 |MA|MB|=|BP|AP|=50, ,750|ABM 在双曲线 的右支上.1625yx故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工.相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意 , 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.
