1、锐角三角函数一、教材分析1.教材内容本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级 (下) 第一章 直角三角形的边角关系的第一节.本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算，了解坡度.2.地位及作用正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画.同时正切也是学生接触的第一个三角函数.学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫.因此本节内容极其重要.二、学情分析1.知识基础 九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角函数的知识基础.但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函数、反比例函
2、数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系.学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和困难.2.能力基础学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础.3.任教学生特点我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想象力丰富.能较好地运用所学的知识解决问题.三、目标分析1.教学目标：（1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算.（2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己的观点.2.教学重点理解正切概念.3.教学难点正
3、切概念的形成过程. 4.突出重点、突破难点的策略抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难点.理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本节课重点.四、教法、学法教法：启发式与自主探究结合的教法.学法：自主探究、合作交流的学法.五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下：教学环节 教师活动 学生活动 设计意图感悟概念情境引入以诗句引导学生欣赏剑门关、乐山大佛、窦团山登山阶梯图片，再由“激流勇进”让学生感受斜坡的陡峭，提
4、出问题：我们用数学知识怎样来比较阶梯的倾斜程度呢？现实模型学生欣赏图片，思考问题用实际问题引出本课的探索问题，让学生感悟数学来源生活.感悟概念 理解概念 应用概念探索规律归纳小结合作探究1请学生观察 4 幅图片. 教师提出问题并巡视各个小组交流情况.并请小组代表汇报观察得出的结论.小组活动 1学生观察 4 幅图片，展开讨论.学生代表发言，展示探究四幅图片的成果.判断梯子的倾斜程度可以通过研究倾斜角的度数.教学环节 教师活动 学生活动 设计意图感悟概念合作探究问题 1：如图，梯子 AB 和 DE哪个更陡？你是怎么判断的？（图 1）（图 2）问题 2：如图，梯子 AB 和 DE哪个更陡？你是怎么判
5、断的？（图 3）问题 3：如图，梯子 AB 和 DE哪个更陡？你是怎么判断的？（图 4）图 1 中的梯子等高，底小的更陡。图 2 中的梯子等底，较高的更陡。图 3 两个三角形相似，梯子的倾斜角相等，所以一样陡。图 4 中的梯子底和高长度均不等，直观无法判断.效果：学生可以解决问题 1 和 2，但现有知识可能无法解决问题3. 但通过小组活动，能力较强的同学若有方案，将成为本节课的一大亮点.做好学生上台分享解决方案的准备.图 3 是相似三角形，可以转化为倾斜角相等，梯子的倾斜程度相同.图 4 学生无法类比图 1.2.3 的方法得出结论，出现认知盲点，这恰好是本节课的难点.师生共探教师引导学生：当利
6、用角度无法判断时，不妨试试对三角形的边长入手加以分析.抛出问题串.学生思考问题. 教师适当启发诱导，设计由浅入深的问题串，对学生进（接下页）教学环节 教师活动 学生活动 设计意图感悟概念师生共探师：比较图形的某一边长，能否判断哪个梯子更陡？引导学生考虑图形中两边的比值.今天我们先探讨铅直高度与水平宽度的比.（将直角边与斜边的比留作下一节课探讨）请学生动手做实验，书看作墙，尺子看作梯子，观察梯子滑动的过程.：师：梯子在上升变陡的过程中，哪些量发生了变化？倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？ 师:能不能解决前面的问题3？建立数学模型直角三角形，引导学生继续探索一个锐角的大小与其对边与邻边
7、的比值之间的对应关系.展示动画，观察点 B1 在斜边上的滑动.师：A 的大小不变时，A的对边与邻边的比值改变吗？师：如果A 的大小改变，A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 学生思考问题.学生动手做实验，思考并回答：（1） 、倾斜角越大梯子越陡.（2） 、铅直高度与水平宽度的比值越大梯子越陡 .学生利用刚才的结论解决问题 3. 梯子DE 更陡.学生观察动画，并思考。效果：由三角形相似，学生很快得出结论：A 的大小不变时，A 的对边与邻边的比值不变。当A 改变，A 的对边与邻边的比值也随之改变.即A 的对边与邻边的比和A两个变量之间是一一对应关系.（接上页）行启发.同时通过学生自己动手做实验，让学生
8、亲身感悟事物的发展变化过程，从变化的角度实施动态化、形象化、直观化教学，揭示了A 的大小和A 的对边与邻边的比值是函数关系，顺利引出正切函数概念.教学 教师活动 学生活动 设计意图环节生成概念教师给出正切的定义，并板书.定义：在 RtABC 中，如果锐角 A 确定，那么A 的对边与邻边的比值也随之确定，这个比叫做A 的正切.记作tanA.tanA=教师板书：在 RtABC 中，t anA=师：tanB 如何表示？观察 tanA 与 tanB有什么关系？学生学习正切的定义，并在教科书上勾出概念，掌握表示方法.学生发现 tanA与 tanB 的值互为倒数，由此得到结论：当A+ B=90时，tanA
9、 tanB=1 .通过学生感悟概念的背景，再由教师来生成概念，准确定义正切并板书.学生在学习的过程中恰好解决教材 P5 4 题 联系拓广在 RtABC 中，C=90，tanA 与tanB 有什么关系？理解概念解读概念对 tanA 的几点说明：（1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， A 是一个锐角 .（2）记号里习惯省去角的符号“” ，若用三个字母表示角或者用阿拉伯数字表示角则“”不能省略，如ABC 的正切表示为 tanABC学生掌握教师强调的三点说明. 数学概念是用精练的数学语言表达出来的，在教学中，cba1 的正切表示为：tan 1 的正切表示为：tan抽象概括出概念后，还要注意深入剖
10、析概(接下页)教学环节 教师活动 学生活动 设计意图解读概念（3）tanA 是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”.学生掌握教师强调的三点说明.（接上页）念，帮助学生进一步理解概念，让学生在第一次接触正切函数时，能准确理解正切及其表示方法.理解概辨析概念教师布置小组活动 2，提出活动要求： （1） 、独立完成题目； （2） 、组内同学相互订正，分析错误原因，交流疑问和困惑.1、如图，填空: (1).tan = BCAtan = (2).如图, ACB=90CDAB. tanACD= = = 小组活动 21、学生独立完成.2、小组成员相互订正、交流。3、学生代表展示正确答案.4举手反馈。效
11、果：通过举手反馈，正确率很高.教师在巡视过程中发现仍有少为了使学生更好地掌握数学概念，此处设计了三道练习来帮助学生辨析概念.采用学生独立完成，小组成员相互讲解，对概念进行剖析，突念tanB= = = 2、在 RtABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大为原来的20 倍，tanA 的值（ ）A、扩大为原来的 20 倍 B、缩小为原来的 201C、不变 D、不能确定量错误较少，错题集中在 1 题(2)小题及 3题.集中点评效果较好.出本课重点.教学环节教师活动 学生活动 设计意图理解概念辨析概念3、判断对错，错误请说明原因.（图 1）tanA= （ ） BCA（图 2）tanA= （ ）CBta
12、nA= （ ）AtanB= 2cm （ ）tanA=0.5 （ ）小组成员互批互订效果较好，激发了学生的学习热情，增强了团队互助的精神.1 题巩固正切概念。2 题强调 tanA只与A 的大小有关，而与直角三角形大小无关.3 题强调tanA0 且无单位，因为它表示一个比值.应用概念例题讲解例题：（1）在 RtABC 中，C=90 .若 AC=4，BC=6，求tanA 和 tanB.教师分析：根据正切概念求解.并且规范板书，强调必须书写直角三角形这一前提条件。解：在 RtABC 中，tanA= = = tanB= = =(2)若 AC=9，AB=15，求 tanA和 tanB.学生应用正切概念，学
13、习解题规范.学生独立求解.结合教材例题，设计了本例题，目的是应用概念.在直角三角形中，已知任意两边可求锐角的正切值. 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图应用例题讲解(3)若 AB=25，tanB= ，求 AC34和 BC 的长度.教师归纳两种解题类型：已知任意两边可求锐角的正切值.反之已知一边及一锐角的正切值，可求另两边，完成 3 道小题后，再次观察（2）小题，给它赋予一定的生活背景.某人从小山坡下的点 B 走了15 米后到达坡顶的点 A，已知点 A 到坡脚的垂直距离为9 米，求坡的坡度？学生了解坡度。.回答：坡度= = =对比梯子，得出结论：1、坡角越大，坡越陡.2、坡度越大，坡越陡.学
14、生独立求解，回答解题方法。反之已知一边及一锐角的正切值，可求另两边，渗透解直角三角形.教师赋予(2)小题生活背景，介绍坡度，体现数学来源于生活，又服务于生活. 同时教师点评：见比设 K 后利用勾股定理建立方程求解，体现方程思想.归纳：在直角三角形中，已知任意两边的长度，可求两锐角的正切值.已知任一边长度和一锐角的正切值，也可求另两边的长度.印证了解决生活中的数学问题必须抽象出与之对应的数学模型.概念巩固练习如图，求 tanC=( ) (A) 1 (B) (C) (D) 56435学生独立解决，添加辅助线解决了本题. 效果：要在非直角三角形中求角的正切值，就必须作辅助线构造直角三角形，体现数学的“转化思想”.作辅助线构造直角三角形，体现数学的“转化思想”.教学环节 教师活动 学生活动 设计意图应延小组活动 31探索 30，45 ，60 角的正切值.请一名学生回答方法.2.探索非特殊角的正切值.如图，ABC 是等腰直角三角形，C=90.AD 是BAC 的平分线， 求BAD 的正切值. 小组活动 31、学生独立探索 30，45，60 角的正切值 .效果：大部分学生都是采用构造直角三角形的方法，根据正切探索 30，45，60 角的正切值是对正切概念的延伸提高.需要学生构造直角三角形，再次强
