弹性力学轴对称问题的有限元法.DOC

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资源描述

1、4. 弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容:4.1 用虚功方程建立有限元方程4.2 三结点单元位移函数4.3 三结点单元刚度矩阵4.4 载荷移置4.5 轴对称分析举例4.1 用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴,因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面,所有应力、应变和位移也对称于该轴,这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r, z) ,以 z 轴为对称轴。图 4.1 受均布内压作用的长圆筒如图 4.1 所示的受均布内压作用的长圆筒,通过 Z 轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性,轴对问题共有 4 个应力分量:(4-1

2、)zrr其中 表示沿半径方向的正应力,称为径向应力; 表示沿 方向的正应力,称为环向应力或切向应力; 表示沿 z 方向的正应力,称为轴向应力; 表示在圆柱面上zr沿 z 方向作用的剪应力。同样,轴对称问题共有 4 个应变分量:(4-2)zrr其中 表示沿半径方向的正应变,称为径向正应变; 表示沿 方向的正应变,称为环向正应变或切向正应变; 表示沿 z 方向的正应变,称为轴向正应变; 表示沿 r z和 z 方向的剪应变。在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移 u 和轴向位移 w,两个位移分量表示为,(4-3)uf在讨论弹性力学平面问题的有限元法时,我们先由将弹性体划分

3、为有限个单元的组合体,由虚功方程得到单元刚度矩阵,集成后得到整体刚度矩阵。在这里,我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得,外力虚功等于内力虚功或虚应变能,(4-4)dspfdxyzFfdxyz TsTT * 其中F为体力,p为面力。将弹性体离散后,作用在弹性体上的外载荷移置到节点上,在每个节点上外力只有径向分量 ,轴向分量 ,nU,.21 nW,.21(4-5)nWUF.2每个节点的虚位移也只有径向分量 ,轴向位移分量 。*21,.nu*21,.nw(4-6)*21*.nwuwu在单元中由虚位移引起的虚应变为,(4-7)eeB单元中的实际应力为,(4-8)D离散后的单元组

4、合体的虚功方程为,(4-9)ni eTeT dxyzBDF1* )((4-10)ie)(就是单元刚度矩阵。dxyzBKTe对于轴对称问题,(4-11)rdzBDrDT220将(4-11)代入(4-10)可得(4-12))(* eeTTGKF为整体刚度矩阵,得到方程组,eGK)((4-13)F4.2 三结点单元位移函数轴对称问题分析中所使用的三结点单元,在对称面上是三角形,在整个弹性体中是三棱圆环,各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数,轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为,(4-14)zaru654321w图 4-2 三结点单元按照平面问题三角形单元的分析过程,将结点坐标

5、和结点位移代入(4-14)得到,(4-15)mjijijiucbaAa213(4-16)jijiwc654其中,(4-17)mjizrA12, ,jjizajizbjmirc定义形态函数为,(下标 i,j,m 轮换) (4-18)(21raANiii用矩阵表示的单元位移为,(4-19) mjiji wuuNNwuf 004.3 三结点单元刚度矩阵轴对称问题的几何方程:(4-20)rwzuruzrr由(4-19)式得,(4-21a))(21mjiubbAr(4-21b)jiffu其中, (下标轮换)rczbafii(4-21c))(21mjiwAzw(4-21d)jiucuc(4-21e))(j

6、ibbr用几何矩阵表示单元的应变,(4-22)eB(4-23)mji(下标轮换) (4-24)iiibcfAB021由于在 是坐标 r、z 的函数, 分量在单元中不为常量,其它三个应变分量在单元if 中仍为常量。由轴对称问题的物理方程,得到弹性矩阵,(4-25) )1(200101)2(1 ED令 , ,则弹性矩阵为,1A2)((4-26)210)21( AED由弹性矩阵D 和几何矩阵 B可以得到应力矩阵S,并计算出单元内的应力分量,(4-27)BS(4-28) mjiS(4-27)iiiiii bAcffbAEBDS 211)()2(1 下标轮换,可得到 。,jiS由应力矩阵可知,除剪应力

7、为常量,其它三个正应力分量都是 r、z 的函数。zr单元刚度矩阵为,(4-28)rdzBDKTe2单元刚度矩阵的分块矩阵为,(4-29)sTrrs 由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到,为简化计算,可以用三角形单元形心位置的坐标 代替B矩阵中的变量 r、z。cz,,)(31mjicrrjizz应变矩阵变成, jiB(4-30)iicicii bzraA021单元刚度矩阵的近似表达式为:(4-31)2BDrKTce单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为,(4-32)sTrcrs (4-33)srsr srsrsr srrrs bAccfbcbfAfE21 21)()()2(14

8、.4 载荷移置单元上的体力为p,与平面问题相同,由虚功方程可以得到结点载荷,(4-34)rdzpNRTe2作用在单元上的面力为 ,结点载荷为,P(4-35)sTerdsPNR2轴对称问题分析中,如果直接定义结点载荷,载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载荷的累计结果。4.5 轴对称分析实例图 4-3 带裙座封头的结构图 4-4 坯料形状 图 4-5 成形分析的轴对称有限元模型封头作为压力容器中的重要受力部件,用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图 4-3 所示,其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接,提高了封头的可靠性,但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于:1) 如何

9、保证锻件的厚度;2)如何保证成形后的裙座位置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象,严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通的半球形封头采用圆饼形坯料,制造带裙座封头要采用如图 4-4 所示的坯料。分析整个成形过程可以发现,封头的底部明显变薄,会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时,要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分,在成形过程中明显增厚,壁厚的增加量会超过 10%,制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。在图 4-5 中,可以看出,我们制作了一个心部增厚,边缘减薄的坯料。坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关,由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移,合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。图 4-6 成形初期的等效应力分布图 4-7 成形中间阶段的等效应力分布图 4-8 成形结束阶段的等效应力分布图 4-9 等效应变分布与成形缺陷通过有限元分析还发现,如果坯料上的凸台尺寸过大,会在封头的内壁上产生图 4-9所示的凹限,导致封头内表面尺寸超出设计要求。采用 ANSYS 软件,对坯料形状和尺寸、模具的尺寸、成形缺陷进行了综合分析得到了优化的坯料设计和制造工艺。

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