1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=1，2，3，4，B=-1，0，2，3，C=xR|-1x2，则(AB)C=( )A.-1，1B.0，1C.-1，0，1D.2，3，4解析：A=1，2，3，4，B=-1，0，2，3，(AB)=1，2，3，4-1，0，2，3=-1，0，1，2，3，4，又 C=xR|-1x2，(AB)C=-1，0，1.答案：C2.设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z=3x+5y 的最大值为( )52410xy，A.6B.19C.21D.45解析：由变量 x，y 满足约束条件
2、得如图所示的可行域，由 解得52410xy， 51xy， ，A(2，3).当目标函数 z=3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大，z 取得最大值.将其代入得 z 的值为 21.答案：C3.设 xR，则“x 38”是“|x|2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由 x38，得 x2，则|x|2，反之，由|x|2，得 x-2 或 x2，则 x3-8 或 x38.即“x 38”是“|x|2”的充分不必要条件.答案：A4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为( )A.1B.2C.3D.4解析：若输入
3、N=20，则 i=2，T=0， =10 是整数，满足条件.T=0+1=1，i=2+1=3，i5 不成立，20Ni循环， 不是整数，不满足条件.i=3+1=4，i5 不成立，203Ni循环， =5 是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i5 成立，输出 T=2.4答案：B.5.已知 a=log3 ，b= ，c= ，则 a，b，c 的大小关系为( )7213413log5A.abcB.bacC.cbaD.cab解析：a=log 3 ，c= =log35，且 5 3，7213log72log 35log 3 1，则 b= ( )0=1，cab.4答案：D6.将函数 y=sin(2x+ )
4、的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数( )510A.在区间 上单调递增4，B.在区间 ，0上单调递减C.在区间 ， 上单调递增2D.在区间 ，上单调递减解析：将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，510所得图象对应的函数解析式为 y=sin =sin2x.25()x当 x 时，2x ，函数单调递增；4， ，当 x 时，2x ，函数单调递减；2， 2当 x- ，0时，2x- ，0，函数单调递增；当 x ，时，2x，2，函数先减后增.答案：A7.已知双曲线 (a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双21xya曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到
5、双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为( )A.2139xyB.2C.214xyD.2解析：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y= x，即 bx-ay=0，F(c，0)，baACCD，BDCD，FECD，ACDB 是梯形，F 是 AB 的中点，EF= =3，EF= =b，12d2ab所以 b=3，双曲线 (a0，b0)的离心率为 2，可得 =2，2xyaca可得： =4，解得 a= .则双曲线的方程为： .2b3139xy答案：A8.在如图的平面图形中，已知 OM=1，ON=2，MON=120， ， ，2BMA2CN则 的值为( )B
6、COMA.-15B.-9C.-6D.0解析：不妨设四边形 OMAN 是平行四边形，由 OM=1，ON=2，MON=120，知2BMACN， ， 33BACNAMON，.223 1cos1206OOM答案：C二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.i 是虚数单位，复数 = .712i解析： .6761472054125ii ii答案：4-i10.已知函数 f(x)=exlnx，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为 .解析：函数 f(x)=exlnx，则 f(x)=exlnx+ ex；f(1)=eln1+1e=e.1x答案：e11.如图，已知正方体 ABCD-
7、A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为 .解析：由题意可知四棱锥 A1-BB1D1D 的底面是矩形，边长：1 和 ，2四棱锥的高： .则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为： .12C1133答案： 1312.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 .解析：根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆，其圆心为(1，0)，半径为 1，则该圆的方程为(x-1) 2+y2=1.答案：(x-1) 2+y2=113.已知 a，bR，且 a-3b+6=0，则 2a+ 的最小值为 .18b解析：a，bR
8、，且 a-3b+6=0，可得：3b=a+6，则 2a+ ，666128224aaab当且仅当 .即 a=-3 时取等号.函数的最小值为： .6a 1答案： 1414.己知 aR，函数 f(x)= 若对任意 x-3，+)，f(x)|x|恒20xax， ， 成立，则 a 的取值范围是 .解析：当 x0 时，函数 f(x)=x2+2x+a-2 的对称轴为 x=-1，抛物线开口向上，要使 x0 时，对任意 x-3，+)，f(x)|x|恒成立，则只需要 f(-3)|-3|=3，即 9-6+a-23，得 a2，当 x0 时，要使 f(x)|x|恒成立，即 f(x)=-x2+2x-2a，则直线 y=x 的下
9、方或在 y=x 上，由-x 2+2x-2a=x，即 x2-x+2a=0，由判别式=1-8a0，得 a ，综上 a2.18答案： ，218三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动.()应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？()设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设 M 为
10、事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率.解析：()利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人，2 人，2 人.()(i)从抽取的 7 名同学中抽取 2 名同学，利用列举法能求出所有可能结果.(ii)设抽取的 7 名学生中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，利用列举法能求出事件 M 发生的概率.答案：()由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别
11、抽取得人，2 人，2 人.()(i)从抽取的 7 名同学中抽取 2 名同学的所有可能结果为：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共 21 个.(i)设抽取的 7 名学生中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，则事件 M 包含的基本事件有：A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 个基本事件，事件 M 发生的概率 P(M)= .52116.在ABC 中，内角 A，B，C 所
12、对的边分别为 a，b，c.已知 bsinA=acos(B- ).6()求角 B 的大小；()设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2A-B)的值.解析：()由正弦定理得 ，与 bsinA=acos(B- ).由此能求出 B.sini6()由余弦定理得 b= ，由 bsinA=acos(B- )，得 sinA= ，cosA= ，由此能求76372出 sin(2A-B).答案：()在ABC 中，由正弦定理得 ，得 bsinA=asinB，sinibaAB又 bsinA=acos(B- ).asinB=acos(B- )，66即 ，31sincocossi() cosin2BBBtanB= ，又
13、B(0，)，B= .33()在ABC 中，a=2，c=3，B= ，由余弦定理得 b= ，由 bsinA=acos(B- )，得 sinA= ，27cosaB637ac，cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cos 2A-1= ，7431sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= .1721417.如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2，AD=2 ，BAD=90.3()求证：ADBC；()求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；()求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦
14、值.解析：()由平面 ABC平面 ABD，结合面面垂直的性质可得 AD平面 ABC，则 ADBC；()取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND，又 M 为棱 AB 的中点，可得DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成角，求解三角形可得异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦；()连接 CM，由ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，可得 CMAB，且 CM= ，再由3面面垂直的性质可得 CM平面 ABD，则CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成角，求解三角形可得直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.答案：()由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD=AB，A
15、DAB，得 AD平面 ABC，故 ADBC；()取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND，M 为棱 AB 的中点，故 MNBC，DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成角，在 RtDAM 中，AM=1，故 DM= ，213ADMAD平面 ABC，故 ADAC，在 RtDAN 中，AN=1，故 DN= ，2N在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得 cosDMN= .1326D异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 ；326()连接 CM，ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，故 CMAB，CM= ，3又平面 ABC平面 ABD，而 CM 平面 ABC，故 CM平面 ABD
16、，则CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成角.在 RtCAD 中，CD= ，24ACD在 RtCMD 中，sinCDM= .34CMD直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 .18.设a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn(nN *)；b n是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn(nN *).已知 b1=1，b 3=b2+2，b 4=a3+a5，b 5=a4+2a6.()求 Sn和 Tn；()若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn，求正整数 n 的值.解析：()设等比数列bn的公比为 q，由已知列式求得 q，则数列bn的通项公式与前 n项和可求；等差数列an的公差为
17、 d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前 n 项和公式可得 Sn；()由()求出 T1+T2+Tn，代入 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn，化为关于 n 的一元二次方程求解正整数 n 的值.答案：()设等比数列b n的公比为 q，由 b1=1，b 3=b2+2，可得 q2-q-2=0.q0，可得 q=2.故 bn=2n-1，T n= ；2n设等差数列a n的公差为 d，由 b4=a3+a5，得 a1+3d=4，由 b5=a4+2a6，得 3a1+13d=16，a 1=d=1.故 an=n，S n= ；2()由()，可得 T1+T2+Tn=(21
18、+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.1n由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn，可得 +2n+1-n-2=n+2n+1，整理得：n 2-3n-4=0，解得 n=-1(舍)或 n=4.n 的值为 4.19.设椭圆 =1(ab0)的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ，2xya 53|AB|= .13()求椭圆的方程；()设直线 l：y=kx(k0)与椭圆交于 P，Q 两点，1 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限.若BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值.解析：(1)设椭圆的焦距为 2c，由已知可得 ，又 a2=b2+c2，解得 a=3，b=2，即可.59c()设点 P(x1，y 1)，M(x 2，y 2)，(x 2x 10).则 Q(-x1，-y 1).
