1、高中数学必修五第一章 解三角形一、基础知识【理解去记】在本章中约定用 A，B，C 分别表示 ABC 的三个内角， a, b, c 分 别表示它们所对的各边长，2cbap为半周长。1正弦定理： cbasinisin=2R（R 为ABC 外接圆半径）。推论 1：ABC 的面积为 SABC= .sin21si21BcaAbCa推论 2：在ABC 中，有 bcosC+ccosB=a.推论 3：在ABC 中，A+B= ，解 a 满足 )si(in，则 a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 SABC= Cbs
2、i21；再证推论 2，因为 B+C=-A，所以 sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；再证推论 4，由正弦定理 BbAasini，所以 )sin(iAa，即 sinasin(-A)=sin( -a)sinA，等价于 21cos(-A+a)-cos( -A-a)= 21cos( -a+A)-cos( -a-A)，等价于 cos( -A+a)=cos(-a+A)，因为 0|a-b|，从而 4,0，所以 sin2|cos2cos2|.因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以 a2
3、+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2cos4cos2= 411-cos22+(1-cos22)cos4cos2= + cos2(cos4-cos22cos4-cos2) + cos2(cos4-sin4-cos2)= 1.所以 a2+b2+c2+4abc1 时，a n=Sn-Sn-1.定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数），则a n称为等差数列，d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和
4、 c 的等差中项，若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d.定理 2 *【必考】等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：S n=dn)()(1；3）a n-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若 n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不为零，则a n是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有 n，则a n称为等比数列，q 叫做公比。定理 3 *【必考】等比数列的性质：1）a n=a1qn-1
5、；2）前 n 项和 Sn，当 q1 时，S n= qan)(1；当 q=1 时，S n=na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4）若m+n=p+q，则 aman=apaq。定义 4 极限，给定数列a n和实数 A，若对任意的 0，存在 M，对任意的 nM(nN),都有| an-A|1.【证明】 证明更强的结论：1an.又由 an+1=5an+ n移项、平方得 .00121当 n2 时，把式中的 n 换成 n-1 得 00212nna，即.211n因为 an-10,所以 Sn, 所以 2n，所以 Sn0，由可知对任意 nN+，
6、2nx0 且 2lg2lg1nnxx,所以 2lgnx是首项为 l，公比为 2 的等比数列。所以 1lnn 2lg，所以 nx12n，解得 2x 112)()(nn。注意：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、趋近高考【必懂】1.（2010.北京）设 4710310()2kfn ，则 ()fn（ ）（A） 2(81)7n （B） (8)n（C） 3 （D） 417解析：数列 47102， 302n是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，给出的这个数列共有 (4)n项，根据等比数列的求和公式有44()(1)17nnS选（D）2.（2010.广东）在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商
7、店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第 2，3，4，堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 ()fn表示第 n 堆的乒乓球总数，则 (3)f_； ()fn=_（答案用 n 表示）【解析】：观察归纳， (3)610f； 观察图示，不难发现第 堆最底层（第一层）的乒乓球数122na，第 n 堆的乒乓球总数相当于 n 堆乒乓球的底层数之和，即 2223 1()(1)2() (3)6nfa A品：数列求和，无论等差还是等比数列，分清项数及规律都尤为重要3.
8、（2010.北京）设等差数列 na的首项 1及公差 d 都为整数，前 n 项和为 nS（1）若 114098aS，求数列 n的通项公式；（2）若 1467 ，求所有可能的数列 na的通项公式【解析】：（1）由 10a，即 12340ad，解得 2d，因此， n的通项公式是 2123n，；（2）由14706Sa，得 1306ad，即13()22.3da， 由+，得 71d，即 17由+，得 ，即 3 所以 173 又 dZ，故 将 代入、，得 102a 又 1a，故 1或 1所以，数列 n的通项公式是 n或 1323n，品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法4.（2010.江苏）设数列 nnabc，满足 212nnnnaca，(123)n，证明 为等差数列的充要条件是 为等差数列且 (3)b， 【解析】：必要性：设 n是公差为 1d的等差数列，则 1132()()n nbaa21()0n
