1、 1 / 122016 北京通州潞河中学高三（上）期中数 学（理）一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 ）1 （5 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x+10，B=x|x 2+3x0，则 （ UA）B 等于（ ）Ax|3x0 Bx|1x0 Cx|x1 Dx|1x02 （5 分）已知函数 f（x）=x 2+bsinx，其中 b为常数那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知命题 p：xR ，3 x2 x；命题 q：xR，tanx=2，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bp（q）
2、C （p）q D （p）（q）4 （5 分）已知 Sn为等差数列a n的前 n项的和，a 2+a5=4，S 7=21，则 a7的值为（ ）A6 B7 C8 D95 （5 分）函数 的图象与函数 g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（ ）A1 B2 C3 D46 （5 分）如图，在矩形 ABCD中，AB=1，BC=2，E 为 BC的中点，点 F在 DC边上，则 的最大值为（ ）A3 B4C5 D与 F点的位置有关7 （5 分）函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，| ）的图象如图所示，为了得到 g（x）=sin2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B
3、向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度8 （5 分）函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）=f（x） 当 0x1 时，f（x）2 / 12=x2若直线 y=x+a与函数 y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数 a的值为（ ）An（nZ） B2n（nZ） C2n 或 （nZ） Dn 或 （nZ）二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 ）9 （5 分）已知角 的终边经过点（3a，4a） （a0） ，则 sin= ，tan（2）= 10 （5 分）已知向量 =（ ，1） ， =（0，1） ， =（ ，k） ，若 2
4、 与 垂直，则 k= 11 （5 分）曲线 y=x2与直线 y=x所围成图形的面积为 12 （5 分）已知 log2x+log2y=1，则 x+y的最小值为 13 （5 分）已知函数 ，x0，那么下列命题中所有真命题的序号是 f（x）的最大值是f（x）的最小值是f（x）在 上是减函数 f（x）在 上是减函数14 （5 分）我们可以利用数列a n的递推公式 an= （nN +）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数则 a24+a25= ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 8个 5是该数列的第 项三、解答题 （本大题共 6小题，满分 80分）15 （13 分）已知函数（）
5、求 f（x）的最小正周期及单调递减区间；（）求 时函数 f（x）的最大值和最小值16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 a=2，b=3，C=60，（）求边长 c和ABC 的面积；（）求 sin2A的值17 （13 分）设函数（）若函数 f（x）在 x=3处取得极小值是 ，求 a、b 的值；（）求函数 f（x）的单调递增区间；（）若函数 f（x）在（1，1）上有且只有一个极值点，求实数 a的取值范围18 （13 分）已知函数 f（x）=lnx，（1）当 a=1时，若曲线 y=f（x）在点 M（x 0，f（x 0） ）处的切线与曲线 y=g（x）在点 P（
6、x 0，g（x 0） ）处的切线平3 / 12行，求实数 x0的值；（2）若x（0，e，都有 f（x）g（x） ，求实数 a的取值范围19 （14 分）设数列a n的前 n项和为 Sn已知 a1=1，a n+1=2Sn+1，nN *（1）写出 a2，a 3的值，并求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 b1=0，b nb n1 =log3an（n2） ，求数列b n的通项公式；（3）记 Tn为数列na n的前 n项和，求 Tn20 （14 分）设函数 的图象在点（x，f（x） ）处的切线的斜率为k（x） ，且函数 为偶函数若函数 k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数 x，不等
7、式 恒成立（）求函数 k（x）的表达式；（）求证： （nN *） 数学试题答案4 / 12一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 ）1 【解答】全集 U=R，集合 A=x|x+10=x|x1， UA=x|x1，又 B=x|x2+3x0=x|3x0，（ UA） B=x|1x0故选：B2 【解答】若 f（x）=x 2+bsinx为偶函数，则 f（x）=（x） 2+bsin（x）=x 2bsinx=f（x）=x 2+bsinx，b=0故选：C3 【解答】命题 p：xR， 3x2 x是假命题，如 x=0时：不成立；命题 q： xR ，tanx=2，是真命题，故pq 是真命题，故选：C4
8、 【解答】解法一：等差数列a n中，a 2+a5=4，S 7=21根据等差数列的性质可得 a3+a4=a1+a6=4根据等差数列的前 n项和公式可得，所以 a 1+a7=6可得 d=2，a 1=3所以 a7=9解法二：S 6=（ ）6=12a7=S7S 6=9故选 D5 【解答】作函数 与 g（x）=ln（x+2）的图象如下，5 / 12，故函数的图象有两个交点故选 B6 【解答】如图所示建立直角坐标系，则A（0，0） ，B（1，0） ，C（1，2） ，D（0，2） ，E（1，1） ，F（x，2） （0x2） =（1，1） ， （x，2） ， =x+23 的最大值为 3故选：A7 【解答】根据
9、函数的图象：A=1又6 / 12解得：T=则：=2当 x= ，f（ ）=sin（ +）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+ ）要得到 g（x）=sin2x 的图象只需将函数图象向右平移 个单位即可故选：A8 【解答】因为函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，设 x1，0，则x0，1，于是 f（x）=（x）2=x2设 x1，2，则（x2）1，0于是，f（x）=f（x2）=（x2） 2当 a=0时，联立 ，解之得 ，即当 a=0时，即直线 y=x+a与函数 y=f（x）的图象有两个不同的公共点当2a0 时，只有当直线 y=x+a与函数 f（x）=x 2在区间0，1）上相切，且与函数 f（x）=
10、（x2） 2 在x1，2）上仅有一个交点时才满足条件由 f （x）=2x=1，解得 x= ，y= = ，故其切点为 ， ；由 （1x2）解之得 综上可知：直线 y=x+a与函数 y=f（x）在区间0，2）上的图象有两个不同的公共点时的 a的值为 0或 又函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）=f（x） ，实数 a的值为 2n或2n ， （nZ） 故应选 C二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 ）9 【解答】由题意，x=3a，y=4a，r=|5a|=5asin= = ，tan= =7 / 12tan（2）=tan2= = =故答案为： ， 1
11、0 【解答】 ， ， =（ ） ，又 ，且 与 垂直， ，解得：k=1故答案为：111 【解答】先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0直线 y=x与曲线 y=x2所围图形的面积 S= 01（xx 2）dx而 01（xx 2）dx=（ ）| 01= =曲边梯形的面积是 故答案为： 12 【解答】log 2x+log2y=1，log 2（xy）=1，xy=2，其中 x0，y0；x+y2 =2 ，当且仅当 x=y= 时， “=”成立；x+y 的最小值为 故答案为：2 8 / 1213 【解答】f（x）=sinx x，x0，f（x）=cosx ，令 f（x）=0，解得 x= ，当 f（
12、x）0 时，解得 0x ，函数单调递增，当 f（x）0 时，解得 x，函数单调递减，当 x= 时，函数取的最大值，即 f（x）的最大值是f（0）=sin00=0，f（）=sin = ，函数的最小值为 f（）= ，故所有真命题的序号是，故答案为；14 【解答】由题得：这个数列各项的值分别为 1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3a 24+a25=3+25=28又因为 a5=5，a 10=5，a 20=5，a 40=5即项的值为 5时，下角码是首项为 5，公比为 2的等比数列所以第 8个 5是该数列的第 5281 =640项故答案为：28，640三、解答题 （本大题共 6小题，满分 80
13、分）15 【解答】 （1）f（x）=sinxcosx+ = sin2x cos2x+=sin（2x ）+ f（x）的最小正周期是 T=令 +2k2x +2k，解得 +kx +k，f（x）的单调减区间是 +k， +k，kZ（2） ，2x 0， ，当 2x =0 时，f（x）取得最小值 ，9 / 12当 2x = 时，f（x）取得最大值 +116 【解答】 （1）由余弦定理，c 2=a2+b22abcos60=2 2+32223 =7，解得 c= ， （2）由正弦定理， ，则 sinA= = = ，ab，A 为锐角，则 cosA= = ，sin2A=2sinAcosA= = 17 【解答】 （I）
14、f（x）=x 22（a+1）x+4a（3 分）f（3）=96（a+1）+4a=0 得 （4 分） 解得：b=4（5 分）（II）f（x）=x 22（a+1）x+4a=（x2a） （x2）令 f（x）=0，即 x=2a或 x=2 （7 分）当 a1 时，2a2，f（x）0 时，x2a 或 x2，即 f（x）的单调递增区间为（，2）和（2a，+） （8 分）当 a=1时，f（x）=（x2） 20，即 f（x）的单调递增区间为（，+） （9 分）当 a1 时，2a2，f（x）0 时，x2a 或 x2，即 f（x）的单调递增区间为（，2a）和（2，+） （10 分）（）由题意可得： （12 分）（2a
15、1） （2a+1）0a 的取值范围 （14 分）10 / 1218 【解答】 （1）把 a=1代入得，g（x）= + ，则 f（x）= ，g（x）= ，f（x）在点 M （x 0，f（x 0） ）处的切线与g（x）在点 P （x 0，g（x 0） ）处的切线平行， = ，解得 x0=1，x 0=1，（2）由题意设 F（x）=f（x）g（x）=lnx+ ，x（0，e，都有 f（x） g（x） ，只要 F（x）在（0，e上的最小值大于等于 0即可，则 F（x）= = ，由 F（x）=0 得，x=a，F（x） 、F（x）随 x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，+）F（x） 0 +F（x）
16、递减 极大值 递增当 ae 时，函数 F（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，F（e）=1+ 0，得 a ，ae当 ae 时，函数 F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，则 F（a）为最小值，所以 F（a）=lna+ ，得 a ae，综上所述，a 19 【解答】 （1）a n+1=2Sn+1，可得 a2=2a1+1=3，a3=2（a 1+a2）+1=2（1+3）+1=9，当 n1 时，a n=2Sn1 +1，相减可得 an+1a n=2（S nS n1 ）=2a n，即 an+1=3an，因为 =3，则 an+1=3an，所以a n是以 1为首项，3 为公比的等比数列，
