海南师范大学重修概率统计练习题.doc

1、1 第一章 应用题 1. 设有 n 个球，每个球都等可能地 放入 N（ Nn ） 个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率。 解：将 n 个球放入 N 个盒子中，每一种放法是一个基本事件，这是等可能事件。因为每个球都可以放入 N 个盒子中的任意个盒子中，故共有 nN 种不同的放法。 而每个盒子至多有一个球，共有 ( 1 ) ( ( 1 )N N N n 种不同的放法，因此所求概率为 2. 某人有 5 把钥匙，其中有 2 把房门钥匙 ，但忘记了开房门的是哪 2 把，只好逐次试开，问此人在 3 次内打开房门的概率是多少？ 解法一： 设 kA 表示事件“第 k 次才打开房门”（ k=1,2,3），

2、则 用 A 表示事件“ 3 次内打开房门”，则 而 1 1 2 1 2 3,A A A A A A 两两互不相容，因此 ( 1 ) ( ( 1 ) ) .nNnn AN N N nP NN 11 2 1 2 11 2 3 1 2 1 3 1 22()53 2 3( ) ( ) ( | )5 4 103 2 2 1( ) ( ) ( | ) ( | )5 4 3 5PAP A A P A P A AP A A A P A P A A P A A A 1 1 2 1 2 3A A A A A A A1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 95 1 0 5 1 0P A P

3、A P A A P A A A 2 解法二： 因为 1 2 3A A A A ，有 故 P(A)=9/10. 3.甲、乙两人进行射击比赛，根据以往数据可知，甲命中率为 0.9，乙命中率为 0.8. 现在 甲、乙两人各独立地同时向目标射击，求 （ 1）甲、乙两人都中靶的概率； （ 2）甲、乙两人至少有一个中靶的概率。 解：设甲、乙两人中靶事件分别为 A 和 B，则有 ( ) ( ) ( ) 0 .9 0 .8 0 .7 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 .9 0 .8 0 .7 2 0 .9 8P AB P A P BP A B P A P B P AB 4. 发射台将编码分别为 1， 0

4、的信息传递出去，发出 1 被误收成0 的概率是 0.02，发出 0 被误收到 1的概率是 0.01，信 息 1与 0 发出的概率为 2： 1，若接收的信息是 1，问发出的信息确是 1 的概率。 解：令 A 表示收到信息为 1 这一事件； B 表示发出的信息为 1. 则 2( ) , ( | ) 0 . 9 8 , ( | ) 0 . 0 13P B P A B P A B ( ) ( ) ( | ) 1 9 6( | ) ( ) 1 9 7( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P B P A BP B A PA P B P A B P B P A B 1 2 3 1 2 1 3 1

5、 2 3 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 1 0P A P A A A P A P A A P A A A 3 选择题 1. 设 0 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , ( | ) ( | ) 1P A P B P A B P A B 且 ,则正确结论是（ C） （ A） A,B 不相容； （ B） A,B 相互对立； （ C） A,B 相互独立； （ D） A,B 不相互独立 . 2. 一盒产品中有 a 只正品， b 只次品，有放回地 任取两次，第二次取到正品的概率为 (C) 21()1( 1 )()( )( 1 )()()aAabaaBa b a baCaba

6、Dab 3. 某人连续向一目标射击，每次击中目标的概率为 3/4，则需射击 3次才击中目标的概率为 (A) 4 23222413()443()431()441()4ABCDC4. 若随机事件 A 与 B 相互独立，则 P(A+B)=（ B） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )A P A P BB P A P B P A P BC P A P BD P A P B5. 若随机事件 A,B 的概率分别为 ( ) 0 .6 , ( ) 0 .5P A P B,则 A 与 B 一定（ D） (A) 相互对立 (B) 相互独立 (C)

7、 互不相容 (D) 相容 填空题 1. 在 古 典 概 型的 随 机试 验 中 ， P(A)=0 当 且仅当 A 是_(不可能事件 ) 2. 若 A,B 是两个事件，且 AB , 则有P(B-A)=_(P(B)-P(A) 3. 设袋中有 20 个黄球， 30 个白球。现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是_(2/5) 5 4. 甲、乙两人独立地向一目标各射击一次，其命中的概率分别为 0.6,0.5。则目标被击中的概率为 _(0.8)， 目标被击中的前提是是甲击中的概率为 _(3/4). 5. A,B 为两个事件，已知 P(A)=0.2， P(B)=0.3， (

8、 ) 0.4P A B 则()P A B _(0.9) 证明题 1. 设随机事件 P(A)=x, P(B)=2x, P(C)=3x, 且 P(AB)=P(BC), 证明 x 的最大值不超过 1/4 证明： 由 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( )P B C P B P C P B C x x P B C 所以 ( ) 5 ( ) ( ) ( )P B C x P B C P A B P A 即 4 ( ) 114x P B Cx 2. 设试验 E 的样本空间为 S， A 为 E 的事件，若事件组12, , SniB B B 为 的 一 个 划 分 ， 且 P ( B ) 0 , (

9、i = 1 , 2 , n ) 则有 1 1 2 2( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )nnP A P A B P B P A B P B P A B P B 证明：由 1 2 1 2() nnA A S A B B B A B A B A B 根据 ( ) 0 ( 1 , 2 , )iP B i n ，且 ( )( ) , , , 1,2,ijA B A B i j i j n 得 121 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )nnnP A P AB P AB P ABP A B P B P A B P

10、 B P A B P B 6 第二章 第二章命十道选择题、十道填空题、三道应用题、六道计算题 (或综合 题 ) 一、选择题 1 设随机变量的概率密度 2 1() 01qx xfx x ，则 q=（ B ）。 (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 2. 设 fx是随机变量 X 的概率密度 ,则一定成立的是 ( B ) (A) fx定义域为 0,1 ; (B) fx非负 ; (C) fx的值域为 0,1 ; (D) fx连续 3. 假设随机变量的分布函数为 ()Fx，密度函数为 ()fx若与有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 C A ()Fx ()Fx ； B ()Fx ()Fx；

11、 C ()fx ()fx ； D ()fx ()fx； 4 、 设 离 散 型 随 机 变 量 ( , )XY 的 联 合 分 布 律 为( , ) (1 , 1 ) (1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 )1 / 6 1 / 9 1 / 1 8 1 / 3XYP 且 YX, 相互独立，则 ( A ) A. 9/1,9/2 ； B. 9/2,9/1 ； C. 6/1,6/1 ； D. 18/1,15/8 . 7.设 ),( YX .,0 ,1,/1),( 22 他其 yxyxf 则 X 与 Y 为 （ C ） )(A 独立同分布的随机变量；

12、 )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立 也不同分布的随机变量 . 8. 设二维随机变量（ X、 Y）的联合分布 为 Y X 1 2 2 4161 7 则 PXY=4=（ A ） A. 21 B.125 C.43 D. 41 9. 设二维随机变量（ X， Y）的分布律为 Y X 1 2 3 0 0.2 0 0 1 0.1 0.2 0.1 2 0.3 0.1 0 则 PX=Y=（ A ） A 0.2 B 0.3 C 0.4 D 0.1 10. 下面分布函数表达错误的是（ C ） A. 0),( F B. 1),( F C. 1),( yF D. 0),

13、( yF 二、填空题 1 设随机变量 X的概率密度 其它,0 10,1)( xxf则 0.4PX（ 0.6 ）。 2设有 7件产品，其中有 1件次品，今从中任取出 1件为次品的概 率为（ 1/7 ）。 3设随机变量 X的概率密度 其它,0 10,1)( xxf则 2.0XP （ 0.8 ）。 4 设 随 机 变 量 X 在区间 0,2 上 服 从 均 匀 分 布 , 则 2YX 的 概 率 密 度 函 数 为 1 4 , 0 40,Y yyfy 其 他 5 设 随机 变 量 0,6X在 区 间 上 服 从均 匀 分布 , 则 关于 未知 量 x 的方程2 2 1 0x Xx 有实根的概率为 _

14、5/6_ 6设随机变量 X的概率密度 其它,0 10,1)( xxf则 3.0XP （ 7/10 ）。 7、 设随机变量 X与 Y相互独立，且 5.05.0 11PX ， 5.05.0 11PY ，则 P(X =Y)= 0.5 . 4 31 41 8 8. 设随机变量 X ， Y 相 互 独 立 ， 且 211 XP , 413 YP 则 3,1 YXP _18 _. 9. 设随机变量 )(X ，且 12P X P X 则 P X k_ 22!kek _. 10. 设随机变量 的密度函数为 其它0 ),0(2)( Axxx，则常数 A = 1 . 三、计算题 1 设二维随机变量 Y与X 的 联

15、合 分布密度 ,0( , )0,ye x yf x y 其 它分别 求关于 X 与 关于 Y的边缘密度函数。 ( ) ( , )X xf x f x y dy （ 2分） ,00 , 0yxx e dy e xx （ 3分） 分）（ 2),()( dxyxfyf y 0 ,0 30,y yye d x y e y （ 分 ）其 它 2 设连续型随机变量 X 的密度为 5 ,0()0 , 0.xK e xfxx (1)确定 常数 K (2)求 2.0 XP (3)求分布函数 F(x). 0 50 1( ) 0 1 ( 3 )5xx d x d x K e d x K 分故 5K 。 .3 6 7

16、 9.05)2.0( 12.0 5 edxeP x（ 3分） 当 x0 时 ,F(x)=0; （ 1分） 当 0x 时，xx x xedxedxdxxxF500515)()( (2 分 ) 9 故 00,01)( 5 xxexF x . (1 分 ) 3设二维随机变量（ X, Y）的分布密度 其它,0 10,6),( 2 xxyxyxf 求关于 X 和关于 Y的边缘密度函数。 ( ) ( , )xf x f x y dy (2 分 ) 226 6 ( ) , 0 10xx d y x x x 其 它(3 分 ) ( ) ( , )yf y f x y dx (2 分 ) 6 6 ( ) , 0

17、 10yy d x y y y 其 它(3 分 ) 4 设随机变量 X 与 Y 相互独立 ,概率密度分别为 : ,0() 0 , 0xX exfx x , 1, 0 1()0,Y yfy 其 他, 求随机变量 Z X Y的概率密度 Z X Yf z f x f z x d x (2 分 ) 01, 0 1,10 , 0z xz xze dy ze dy zz 11 , 0 1,10 , 0zzzeze e zz (10 分 ) 5. 设二维随机变量 ( , )XY 的密度函数： , 0 2 ,( , )0,A x y xf x y 其 他（ 1）求常数 A 的值；（ 2）求边缘概率密度 ,XY

18、f x f y ； （ 3） X 和 Y 是否独立 ? 解 : （ 1）由 ( , ) 1f x y dy ，得 1/4A (2 分 ) 10 (2) ( , )Xf x f x y dy 1 / 4 , 0 20,xx dy x 其 他/ 2, 0 20,xx 其 他(5 分 ) ( , )Yf y f x y dx 221 / 4 , 2 01 / 4 , 0 20,yydx ydx y 其 他 2 / 4 , 2 02 / 4 , 0 20,yy 其 他(9 分 ) (3) ( , )XYf x f y f x y，不独立 (10 分 ) 6已知随机变量 X 的密度为 , 0 1()0,

19、ax b xfx 其 它,且 1/ 2 5 / 8Px, 求 : (1) 常数 ,ab的值 ; (2) 随机变量 X 的分布函数 Fx 解 : (1) 由 1 ( ) / 2f x dx a b , 1 / 25 / 8 1 / 2 ( ) 3 / 8 / 2P X f x d x a b 解得 1, 1/ 2ab (4 分 ) (2) 0.5 , 0 1()0,xxfx 其 它,当 0x 时 , 0F x P X x ，当 01x时 , 20 0 . 5 / 2xF x P X x x d x x x , 当 1x 时 , 1Fx ， 所以 20 , 0/ 2 , 0 11 , 1xF x x x xx (10 分 ) 7设二维随机变量 ( , )XY 有密度函数： 43 , 0 , 0 ;( , )0,xyA e x yf x y 其 他（ 1）求常数 A ； （ 2）求边缘概率密度 ,XYf x f y ； （ 3） ,XY是否相互独立。 解：（ 1） ( 4 3 )0 0 0 01 ( , ) d d e d d 12xy Af x y x y A x y ， 12A (4 分 ) （ 2） ( , )Xf x f x y dy 44 , 00,xex 其 他 ( , )Yf y f x y dx 33 , 00, xey 其 他 (8 分 )