1、高等数学 A（一）考试大纲考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。教材：同济大学数学系 高等数学第五版 高等教育出版社参考书：陈春宝 沈家骅
2、 高等数学练习与自测同济大学出版社复习考试内容1、函数、极限和连续（一）函数1知识范围（1）函数的概念: 函数的定义,函数的表示法,分段函数,隐函数（2）函数的性质: 单调性,奇偶性,有界性,周期性（3）反函数: 反函数的定义,反函数的图像（4）基本初等函数: 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数（5）函数的四则运算与复合运算（6）初等函数2要求（1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性（3）了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图)(xfy)(1xfy像）
3、，会求单调函数的反函数（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算（5）掌握基本初等函数的性质及其图像（6）了解初等函数的概念（7）会建立简单实际问题的函数关系式3.考核点函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，分段函数（二）极限1知识范围（1）数列极限的概念: 数列,数列极限的定义（2）数列极限的性质: 唯一性,有界性,四则运算法则,夹逼定理,单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念: 函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,趋于无穷时函数的极限,函数极限的几何意义（4）函数极限的性质: 唯一性,四则运算法则,夹逼定理（5）无穷小量与无穷大量: 无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无
4、穷大量的关系,无穷小量的性质无穷小量的阶 （6）两个重要极限2要求（1）理解极限的概念，掌握函数在一点处的左极限与右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则，会用极限的两个准则（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价），熟练掌握等价无穷小量代换求极限（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法3.考核点左右极限；极限的运算（等价无穷小，通分，有理化等）；重要极限；无穷小的阶（三）连续1知识范围（1）函数连续的概念: 函数在一点处连续的定义,左连续与右连续,函数
5、在一点处连续的充分必要条件, 函数的间断点及其分类（2）函数在一点处连续的性质: 连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质: 有界性定理,最大值与最小值定理,介值定理（包括零点定理）（4）初等函数的连续性2要求（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法（2）掌握函数的间断点及确定其类型（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用零点定理及介值定理推证一些简单命题（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限3.考核点分段函数连续的判定；间断点讨论；零点定理二、一
6、元函数微分学（一）导数与微分1知识范围（1）导数概念: 导数的定义,左导数与右导数,函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与简单物理意义,可导与连续的关系（2）求导法则与导数的基本公式: 导数的四则运算,反函数的导数,导数的基本公式（3）求导方法: 复合函数的求导法,隐函数的求导法,对数求导法,由参数方程确定的函数的求导法,求分段函数的导数 （4）高阶导数: 高阶导数的定义,高阶导数的计算 （5）微分: 微分的定义,微分与导数的关系,微分法则 一阶微分形式不变性2要求（1）理解导数的概念及其几何意义，理解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法（2）掌握曲线上一点处的切
7、线方程与法线方程（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，掌握分段函数的导数（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的 阶导数n（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分3.考核点利用导数定义求极限；分段函数导数讨论；可导与连续关系；初等函数、隐函数、参数方程导数或微分的计算；切线法线方程计算（不出现近似计算）（二）微分中值定理及导数的应用1知识范围（1）微分中值定理: 罗尔（Rolle）定理,拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西（cauchy
8、）定理，泰勒（taylor）公式（2）洛必达（LHospital）法则（3）函数增减性的判定法（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点（6）曲线的渐近线（7）曲率2要求（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义，了解柯西定理及泰勒公式，会用罗尔定理证明，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式（2）熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的几何应用问题（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点（
9、6）会求曲线的渐近线（7）会求曲线的曲率3.考核点利用罗尔定理的证明题；利用洛必达法则求未定式的极限（ ）；1-0，讨论函数的单调性，凹凸性；求函数的极值，拐点；渐近线；利用导数求几何应用最值3、一元函数积分学（一）不定积分1知识范围（1）不定积分: 原函数与不定积分的定义,原函数存在定理,不定积分的性质（2）基本积分公式（3）换元积分法 : 第一换元法（凑微分法）,第二换元法（4）分部积分法（5）一些简单有理函数的积分2要求（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理（2）熟练掌握不定积分的基本公式（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角
10、代换与简单的根式代换）（4）熟练掌握不定积分的分部积分法（5）会求简单有理函数的不定积分3.考核点原函数；凑微分法；第二类换元；分部积分（二）定积分1知识范围（1）定积分的概念: 定积分的定义及其几何意义,可积条件（2）定积分的性质（3）定积分的计算: 变上限积分 牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 换元积分法, 分部积分法（4）反常积分（5）定积分的应用:平面图形的面积,旋转体体积,物体沿直线运动时变力所作的功.2要求（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件（2）掌握定积分的基本性质（3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法（4）熟练掌握牛
11、顿莱布尼茨公式（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法（6）理解反常积分的概念，掌握其计算方法（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积，会求极坐标系下的简单图形面积3.考核点定积分定义计算极限；定积分的性质（区间可加，比较，估值）；变上限积分的导数（综合极限，极值，凹凸等） ；定积分计算（分段，换元，分部）；区间无穷型反常积分和瑕积分；直角坐标系下面积（可与切线，法线，渐近线综合），旋转体体积（绕坐标轴）（不包括物理应用）四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数1知识范围（1）向量的概念: 向量的定义,向量的模,单位向量,向量在坐标轴上的投影,
12、向量的坐标表示法,向量的方向余弦（2）向量的线性运算:向量的加法,向量的减法,向量的数乘（3）向量的数量积: 二向量的夹角,二向量垂直的充分必要条件（4）二向量的向量积,二向量平行的充分必要条件2要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影、向量的夹角（2）熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法，会求混合积（3）熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件3.考核点向量的数量积，向量积（定义及坐标系下运算）；向量关系；向量夹角，投影（二）平面与直线1知识范围（1）平面方程: 点法式方程 一般式方程 截距式方程（2）两平面的位置关系（平行
13、、垂直和斜交） （3）点到平面的距离（4）空间直线方程：点向式方程或对称式方程 ，参数式方程,一般式方程（5）两直线的位置关系（平行、垂直）（6）直线与平面的位置关系（平行、垂直和直线在平面上）2要求（1）掌握平面的点法式方程、一般式方程、平面束方程。会判定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角（2）会求点到平面的距离（3）理解直线的一般式方程，掌握直线的点向式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）（5）会求点面，点线，线线的距离3.考核点平面方程；直线方程；线面关系；距离（三）简单的二次曲面1知识范围球面,柱面,旋转面,椭球面2要求了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转面、圆锥面和椭球面的方程及其图形3.考核点绕坐标轴旋转的旋转面方程考试形式及试卷结构试卷总分：100 分考试时间：105 分钟考试方式：闭卷，笔试试卷内容比例：函数、极限和连续 约 20%一元函数微分学 约 40%一元函数积分学 约 30%空间解几 约 10%试卷题型比例：选择题 约 15% 填空题 约 15% 解答题及证明题 约 70%试题难易比例：容易题 约 30% 中等难度题 约 40% 较难题 约 30%期中考试范围 一元函数微分学 （函数到导数应用曲率）
