1、反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一. 探求同一坐标系下的图象例 1. 已知函数 与 在同一直角坐标系中的图象大致如图 1，则下列结论正mxyn确的是（ ）A. B. 0n,0,C. D. n分析：由图知，一次函数 中，y 随 x 的增大而增大，所以 ；反比例函数m0m在第二、四象限，所以 。观察各选项知，应选 B。xny0n评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例 2.在同一直
2、角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ）kxy)0(yA. B. C. D.图 2分析：本题可采用排除法。由选项 A、B 的一次函数图象知， 即 ，则一次0k函数 图象与 y 轴交点应在 y 轴负半轴，而选项 A、B 都不符合要求，故都kxy排除；由选项 D 的一次图象知， 即 ，则反比例函数 图象应在0k)0k(xy第一、三象限，而选项 D 不符合要求，故也排除；所以本题应选 C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例 3.如图 3，直线 与双曲线 只有一个交点 A（1，2），且与 x 轴，ybxky1xky2
3、轴分别交于 B，C 两点，AD 垂直平分 OB，垂足为 D，求直线与双曲线的解析式。解析：因为双曲线 过点 A（1，2），xky2所以 ,1k22得双曲线的解析式为 。xy因为 AD 垂直平分 OB，A 点的坐标为（ 1，2）。所以 B 点的坐标为（2，0）。因为 过点 A（1， 2）和 B（2，0），bxky1所以 021解得 4bk1所以直线的解析式为 4x2y评注：解决本题的关键是确定点 B 的坐标，由 AD 垂直 OB 知，点 D 和点 A 的横坐标应相同，所以点 D 的坐标为（ 1，0），又 AD 平分 OB 知， ，所以点 B2OB坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探
4、求三角形面积例 4.如图 4，反比例函数 的图象与直线 的交点为 A，B ，过点 A 作 yx4yx31y轴的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点 C，则 的面积为（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2解析：把 代入 ，得x4yx3131整理得 2x解得 3,1把 分别代入2x,1，4y得 32,31所以点 A 的坐标为 )32,(点 B 的坐标为 ,由题意知，点 C 的横坐标与点 A 的横坐标相同，点 C 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同，所以点 C 的坐标为（ ）。32,因为 ，432ABC所以 的面积为83421A故应选 A。例 5.如图 5，已知点 A 是一次函数 的图象与
5、反比例函数 的图象在第一象限xyx2y内的交点，点 B 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OB，那么 的面积为（ ）AOBA. 2 B. C. D. 222析解：把 代入 ，得 ，xyx整理得 ，解得22,1得 分别代入x,21xy得 2y,1又点 A 在第一象限内，所以点 A 的坐标为 )2,(在 中OC2,由勾股定理，得 所以 OB=2。,所以 的面积为AB，221CO故应选（C）评注：例 4 和例 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四. 探求点的坐标例 6.如图 6，直线 分别交 x 轴、y 轴于点 A，C，点 P 是直线 A
6、C 与双曲线12y在第一象限内的交点， 轴，垂足为点 B， 的面积为 4。xkyPB（1）求点 P 的坐标；（2）略。析解：在 中，令 ，则 ；令 ，则 。1x2y01y02x所以点 A 的坐标为（-2，0），点 C 的坐标为（0，1）。因为点 P 的直线 上，x2y不妨设点 P 的坐标为 )1m,(所以 。1m2PB,A又因为 41SP所以 )2)(整理得 01m4即 )6(2解得 ,21因为点 P 在第一象限，所以 。2m故点 P 的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例 6 已知关于 x 的一次函数 ymx3n 和反比例函数 y 25mn
7、x的图象都经过点(1， 2)求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标解析：(1)两函数图象都过点(1 ，2)， ， 解 之 ， 得 ， m3n25m4n2一次函数的解析式为 y4x6，反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 x(2)根据题意，列出方程组y4x6 ， 2解 之 ， 得 ， ， ， x1y241 两 函 数 图 象 的 另 一 个 交 点 为 ， (2)评注：一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 图 象 都 经 过 点ymx3ny25mnx(1，2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解例 已知一次函数
8、 和反比例函数 7 y x 6 y (k 0)kx(1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 xOy 中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为 A，B，试判断AOB 是锐角还是钝角？(1)yx6根 据 题 意 ， 得 ， k消去 y，得 x26xk0364k0，k9当 k9 且 k0 时，方程 x26xk0 有两个不相等的非零实数解k9 且 k0 时，两函数图象有两个公共点(2)yx6 的图象过第一，二，四象限，0k9 时，双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A，B 在第一象限，此时AOB 是锐角k0 时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点 A，B 分别在第二、四象
9、限，此时AOB 是钝角例 已知 ， 是直线 与双曲线 的交点8 A(m 2) l y 3x(1)求 m 的值；(2)若直线 l 分别与 x 轴、y 轴相交于 E，F 两点，并且 RtOEF(O 是坐标原点)的外心为点 A，试确定直线 l 的解析式；(3BKx(2)在 双 曲 线 上 另 取 一 点 作 轴 于 ； 将 中 的 直 线3l 绕点 A 旋转后所得的直线记为 l，若 l与 y 轴的正半轴相交于点 C，且 试 问 在 轴 上 是 否 存 在 点 ， 使 得 ， OCFyPSPABOK14若存在，请求出点 P 的坐标？若不存在，请说明理由解析： 直线 与双曲线 的一个交点为 ， ，y A
10、(m 2)l 3x ， 即 32m 点 坐 标 为 ， A()(2)作 AMx 轴于 MA 点是 RtOEF 的外心，EAFA 由 AMy 轴有 OMMEOF2OM MA2，OF 4F 点的坐标为(0，4)设 l：ykxb，则有3243k4kb ， ， 直 线 的 解 析 式 为 lyx4(3)OCF1 ， 14C 点坐标为(0，1)设 B 点坐标为(x 1，y 1，)，则x1y13 S|x|OK1232设 P 点坐标为(0，y)，满足 SPCA S BOK 当点 P 在 C 点上方时，y1，有()(y1)A 4y3当点 P 在 C 点下方时，y1，有S(1y)PCA 23y2综上知，在 y
11、轴存在点 P(0，3)与(0 ，2)，使得 SPAC S BOK 评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定例 如图 ，已知 ， 是双曲线 在第一象限内的分支9 13 32 C D y mx上的两点，直线 CD 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，设 C，D 的坐标分别是(x1，y 1)，(x 2，y
12、2)，连结 OC，OD(1)yOC11求 证 ： ；my2BADtanOCCD若 ， ， ， 求 直 线 的 解130析式证明：(1)如图 1333 过点 C 作 CGx 轴，垂足为 G，则CGy 1，OGx 1 点 ， 在 双 曲 线 上 ，C(xy)1mx 1m在 RtOCG 中，CG OC CG OG， yOC11my解(2)：在 RtGCO 中，GCOBOC，tany3x1 ， 即 ， Gx31 ， ，OCOC220 ， 即 10xy1x(3)12解之，得 x11负值不合题意，x 11，y 13点 C 的坐标为(1，3)， 点 在 双 曲 线 上 ，m ， 即 331所 以 ， 双 曲 线 的 解 析 式 为 yx过点 D 作 DHx 轴，垂足为 H则 DHy 2，OHx 2在 中 ， ， 即 RtOtan3yD21又 ， 则 ，y3y22x解之得 y21负值不合题意，y 21，x 23点 D 的坐标为(3，1)设直线 CD 的解析式为 ykxb则 有 ， 解 得 ， 3k1k14直线 CD 的解析式为 yx4
