1、1反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y = ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。x注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y = （k 0） ， （B ）xy = k（k 0） （C） y=kx-1（k0）x例题讲解：有关反比例函数的解析式（1）下列函数， . . ；其中是 y 关于1)2(yxy21xy213yxx 的反比例函数的有：_。（2）函数 是反比例函数，则 的值是（ ）2)(axaA1 B2 C2 D2 或2（3）若函数 (m 是常数)是反比例函数，则 m_，解析式为
2、_1xy（4）如果 是 的反比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（ ）xyxA反比例函数 B正比例函数 C一次函数 D反比例或正比例函数练习：（1）如果 是 的正比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（ ）y（2）如果 是 的正比例函数， 是 的正比例函数，那么 是 的（ ）mxyx（5）反比例函数 的图象经过（2，5）和（ ， ） ，(0kx） 2n求 1） 的值； 2）判断点 B（ ， ）是否在这个函数图象上，并说明理由n4（6）已知 y 与 2x3 成反比例，且 时，y 2，求 y 与 x 的函数关系式41x2（7）已知函数 ，其中 与 成正比例, 与 成反比例，且当 1 时，
3、 1；12y1yx2yxxy3 时， 5求：（1）求 关于 的函数解析式； （2）当 2 时， 的值x(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。2、位置：（1）当 k0 时,双曲线分别位于第_象限内；（2）当 k0 时,_,y 随 x 的增大而_；（2）当 k0 时,_,y 随 x 的增大而_。4、变化趋势：双曲线无限接近于 x、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点_；（2）对于 k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和 y = ）来说，它们是关于 x 轴，y 轴_。x6例题讲解：反比例函数的图象和性质
4、：（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 （2）若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的值是（ ）2)1(mxy mA、 1 或 1; B、小于 的任意实数; C、1; 、不能确定（3）下列函数中，当 时， 随 的增大而增大的是（ ）0xyxA B C D 34y1234yx12yx（4）已知反比例函数 的图象上有两点 A（ ， ） ，B（ ， ） ，且 ，2yx121则 的值是（ ）12yA正数 B负数 C非正数 D不能确定（5）若点（ ， ） 、 （ ， ）和（ ， ）分别在反比例函数 的图象上，且1x2y3xy2yx，则下列判断中正确的是（ ）1230A B C Dy31
5、2y231y321y3MyN xO图 4（6）在反比例函数 的图象上有两点 和 ，若 时， ，则 的xky11()xy， 2()xy， x120y12k取值范围是 （7）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲:函数的图象经过第二象限 ; 乙:函数的图象经过第四象限 ; 丙:在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .（8）作出反比例函数 的图象，结合图象回答：xy4(1)当 x2 时，y 的值；(2)当 1x4 时，y 的取值范围；(3)当 1y4 时，x 的取值范围（三）反比例函数与面积结合题型。知识要点：1、反比例
6、函数与矩形面积：若 P(x， y)为反比例函数 (k0)图像上的任意一点如图 1 所示，过xky P 作PMx 轴于 M，作 PNy 轴于 N，求矩形 PMON 的面积 .分析：S 矩形 PMON= yP , xy=k, S = .xkyk2、反比例函数与矩形面积：若 Q(x， y)为反比例函数 (k0)图像上的任意一点如图 2 所示，过 Q 作xyQAx 轴于 A(或作 QBy 轴于 B)，连结 QO，则所得三角形的面积为：S QOA =（或 SQOB = ）.说明： 以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.2k2k（1）如图 3，在反比例函数 （x0）的图象上任取一点 ，过 点分别作 轴
7、、 轴的垂线，垂足分y6Pxy别为 M、 N，那么四边形 的面积为 ONPyxOMN图 1OByxAQ图2PyM x0N3xO ACB图 64（2） 反比例函数 的图象如图 4 所示，点 M 是该函数图象上一点，MNx 轴，垂足为 N.如果 SxkyMON=2，这个反比例函数的解析式为_(3)如图 5，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，(0)k2yx过点 A 作 AB 轴于点 B，连结 BC则 ABC 的面积等于（ ）xA1 B2 C4 D随 的取值改变而改变k（4）如图 6，A、B 是函数 2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BC x轴，AC y轴，ABC 的面积记为
8、S，则（ ）A 2 B 4S C 4S D 4S （5）如图 7，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 的图象交于点xy24和A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 AC、 BC，则ABC 的面积为 （ ）(四)一次函数与反比例函数(1)一次函数 y=2x+1 和反比例函数 y= 的大致图象是（ ）3A、 B、 C、(2)一次函数 )0(kxy和反比例函数 )0(kxy在同一直角坐标系中的图象大致是( )图 5 图 75（3）一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2= （k 1k20）的图象如图所x示，若y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）
9、A、2x0 或 x1 B、 2x1C、x2 或 x1 D、x2 或 0x1（4）正比例函数 和反比例函数 的图象有 个交yy 点（5）正比例函数 y=k1x(k10)和反比例函数 y= (k20)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_.kx（6）设函数 y= 与 y=x1 的图象的交点坐标为（a，B） ，则 的值为 2 1ab(7)如图，RtABO 的顶点 A 是双曲线 与直线kyxym在第二象限的交点，AB 垂直 轴于 B，且 SABO ，32则反比例函数的解析式 (8)若反比例函数 与一次函数 y3xb 都经过点(1，4)，则 kb_xky（9）如图，已知 A （4，a） ，B （2，4
10、）是一次函数 ykx b 的图象和反比例函数 y 的图象的交xm点（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求A0B 的面积(10)如图,在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 在第一象限交于点 A，2kyxkyx与 轴交于点 C，AB 轴，垂足为 B，且 1求：xxAOBS（1）求两个函数解析式； （2）求ABC 的面积（第（7）题）6（11）平面直角坐标系中，直线 AB 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B 且与反比例函数图象分别交于 C、D 两点，过点 C 作 CMx 轴于 M，AO=6， BO=3，CM=5求直线 AB 的解析式和反比 例函数解析式（五）反比例函数的应用：例题讲解：1一
11、个水池装水 12 立方米，如果从水管中每小时流出 x 立方米的水，经过 y 小时可以把水放完，那么 y 与 x的函数关系式是_，自变量 x 的取值范围是_2三角形的面积为 6cm2，如果它的一边为 ycm，这边上的高为 xcm，那么 y 与 x 之间是_函数关系，以x 为自变量的函数解析式为_3长方体的体积为 40cm3，此长方体的底面积 y(cm2)与其对应高 x(cm)之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的( )4下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )(A)小明完成百米赛跑时，所用时间 t(s)与他的平均速度 v(m/s)之间的关系(B)长方形的面积为 24，它的长 y
12、 与宽 x 之间的关系(C)压力为 600N 时，压强 p(Pa)与受力面积 S(m2)之间的关系(D)一个容积为 25L 的容器中，所盛水的质量 m(kg)与所盛水的体积 V(L)之间的关系75在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积 x(ml) 100 80 60 40 20压强 y(kpa) 60 75 100 150 300则可以反映 y 与 x 之间的关系的式子是( ) (A)y3000x (B)y6000x (C) (D)xy30xy606甲、乙两地间的公路长为 300km，一辆汽车从甲地去乙地
13、， 汽车在途中的平均速度为 V(km/h)，到达时所用的时间为 t(h)，那么 t 是V_的函数，V 关于 t 的函数关系式为_7农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示) ，则需要塑料布 y(m2)与半径 R(m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分 )_8有一面积为 60 的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为 x，高为 y，则 y 关于 x 的函数关系式是( )(A) (B) (C) (D)0(45xy )0(3xy )0(9xy )0(15xy9一个长方体的体积是 100cm3，它的长是 y(cm)，宽是 5cm，高是 x(cm)(1)写出长 y(cm)关于高
14、 x(cm)的函数关系式，以及自变量 x 的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是 3cm 时，求长10一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(kPa)是气体体积 V(m3)的反比例函数，其图象如图所示(1)写出这一函数的解析式；(2)当气体体积为 1m3 时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于 140kPa 时，气球将爆炸，为了安 全起见，气体的体积应不小于多少？811某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克) 与时间 x(分钟 )成正比例，药物燃烧完后， y 与 x 成反比例(如图所示) ，现测得药物
15、 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克，请根据题图中所提供的信息解答下列问题：(1)药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为_，自变量 x 的取值范围是_；药物燃烧后 y 关于x 的函数关系式为_(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量小于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？练习1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay=3x B C3xy=1 D
16、（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） A B C D2图象和性质（1）已知函数 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=_9（2）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象位于第_象限（3）若反比例函数 经过点（ ，2） ，则一次函数 的图象一定不经过第_象限（4）已知 ab0 ，点 P（a，b）在反比例函数 的图象上， 则直线 不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若 P（2，2 ）和 Q（m， ）是反比例函数 图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经
17、过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函数 和 （k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D3函数的增减性（1）在反比例函数 的图象上有两点 ， ，且 ，则的值为（ ） A正数 B负数 C非正数 D非负数（2）在函数 （a 为常数）的图象上有三个点 ， ， ，则函数值 、 、 的大小关系是（ ） A B C D 10（3）下列四个函数中： ； ； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个（4）已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当 x0
18、时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而 （填“增大”或“ 减小 ”） 4解析式的确定（1）若 与 成反比例， 与 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 （2，m） ，则m=_，k=_，它们的另一个交点为_（3）已知反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象在第二、四象限，求 的值（4）已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 （ ）的图象在第一象限内的交点为 P （x 0，3） 求 x 0 的值；求一次函数和反比例函数的解析式5面积计算（1）如图，在函数 的图象上有三个点 A、B、C ，过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ，则（ ） A B C D
