1、 1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，
2、尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 线 线 线 面 面 面 公 理 4 (a/b,/c ) 线 面 平 行 判 定 /,/aba 面 面
3、 平 行 判 定 1 ab/,/ 面 面 平 行 性 质 abA,/,/线 面 平 行 性 质 aba/面 面 平 行 性 质 1 /a 面 面 平 行 性 质 / A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线 线 线 面 面 面 三 垂 线 定 理 、 逆 定 理 PAOaPOA,为在 内 射 影则 线 面 垂 直 判 定 1 面 面 垂 直 判 定 abOl, a 线 面 垂 直 定 义 lal 面 面 垂 直 性 质 ， 推 论 2 baa, a面 面 垂 直 定 义 ll， 且 二 面 角成 直 二 面 角3. 平行与垂直关系的转化： 线 线 线 面 面 面 线 面 垂
4、 直 判 定 2 面 面 平 行 判 定 2 线 面 垂 直 性 质 2 面 面 平 行 性 质 3 ab/ abb/ a/ /a a 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。 ”5. 唯一性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角 ：090（2）直线与平面所成的角：090（ 时 ， 或 ）b（3）二面角：二面角的平面角 ，01802. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解
5、。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。【典型例题】（一）与角有关的问题例 1. （1）如图，E、F 分别为三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，PC10 ，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）A. 60 B. 45 C. 30 D. 120解：取 AC 中点 G，连结 EG、FG，则EPCFAB ，1212EGF 为 AB 与 PC 所成的角在EGF 中，由余弦定理，cos GEFG2225371AB 与 PC 所成的角为 1801
6、2060选 A（2）已知正四棱锥以棱长为 1 的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）ABCD.1336326解：设 正 四 棱 锥 的 高 为 ， 斜 高 为hh221由 题 意 ： 12412622 h6 侧 棱 长 PBhO2266 cosPBO2613选 A（ ） 如 图 ， 在 正 方 体 中 ， 为 上 的 一 个 定 点 ， 为3111ABCDPADQBEFEF1上 的 任 意 一 点 ， 、 为 上 任 意 两 点 ， 且 的 长 为 定 值 ， 有 下 列 命 题 ：点 P 到平面 QEF 的距离为定值；直线 PQ
7、 与平面 PEF 所成的角为定值；二面角 PEFQ 的大小为定值；三棱锥 PQEF 的体积为定值其中正确命题的序号是_。解： 平 面 即 是 平 面QEFABCD1 上 定 点 到 面 的 距 离 为 定 值ADP1对，错二 面 角 ， 即 面 与 面 所 成 的 角 ， 且 平 面 角 为 定EFFPDA1 1值，对 因 为 ， 且 为 定 值 ， 为 定 值ABDCSQEF1 又 点 到 平 面 的 距 离 为 定 值 ， 为 定 值 ， 对PQFVP综上，正确。例 2. 图是一个正方体的表面展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 MN，PQ 画出来，并就这个正方
8、体解答下列各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角 MNQP 的大小。解：（1）如图，作出 MN、PQPQNC，又MNC 为正三角形MNC60PQ 与 MN 成角为 60（ ） 213VSMQMNPQPNP6261正 方 体 PDN即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 1：6（3）连结 MA 交 PQ 于 O 点，则 MOPQ又 NP面 PAQM，NPMO，则 MO面 PNQ过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQMEO 为二面角 MNQP 的平面角在 RtNMQ 中，MENQMN MQ设正方体的棱长为 a
9、EOa2362， 又在 中 ， RtMOEMasin263MEO60即二面角 MNQP 的大小为 60。例 3. 如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。解：（1）作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连结 OB、OA 、OD ，OB 与 AD 交于点E，连结 PEADPB，ADOB（根据_）PAPD，OAOD于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 中点PEADPEB 为面 PAD
10、 与面 ABCD 所成二面角的平面角PEB120，PEO60又 ， PEOPEo36032sin即为 P 点到面 ABCD 的距离。（2）由已知 ABCD 为菱形，及PAD 为边长为 2 的正三角形PAAB2，又易证 PBBC故取 PB 中点 G，PC 中点 F则 AGPB，GFBC又 BCPB，GF PBAGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角GFBCAD，AGFGAE连结 GE，易证 AE平面 POB又 ， 为 中 点PEBGP3 o1260 GEPocs60312在 中 ，RtAD tanE32 Grcta AFrtn32所 以 所 求 二 面 角 的 大 小 为 arctn32
11、（2）解法 2：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DAPB（ ， ， ） ， （ ， ， ）030BGAG的 中 点 的 坐 标 为 （ ， ， ） ， 连 结34又 （ ， ， ） ， （ ， ， ）AC132020由 此 得 到 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ，GPB3432BC（ ， ， ）20于 是 ，APBCP0 ， G 、 的 夹 角 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角于 是 cos|ABC27 所 求 二 面 角 大 小 为 arcos7（二）与距离有关的问题例 4. （1）已知在ABC 中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一点 P到A
12、BC 三个顶点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离是（ ）A. 13 B. 11 C. 9 D. 7解：设点 P 在ABC 所在平面上的射影为 O A B C O R PAPBPC，O 为 ABC 的外心ABC 中，AB 9，AC 15，BAC 120 BCo1521202cs由 ， aARsin37 PO14722（ ） 在 直 三 棱 柱 中 ， ， ， 21 1ABCABCBAC90EFo， 、 分 别 为 、 的 中 点 ， 沿 棱 柱 的 表 面 从 到 两 点 的 最 短 路 径 的EF1长度为_。解：（采用展开图的方法）将 平 面 沿 旋 转 使 两 矩 形 与
13、在 同 一 平 面 内BCABC1111连 接 ， 则 为 所 求 的 最 短 路 径EF如 图 ， EFAF121223如 图 展 开 ， ()7222如 图 展 开 ， EF31322比 较 这 三 种 方 式 展 开 ， 可 见 沿 表 面 从 到 的 最 短 路 径 长 度 为 。EF32点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经 140与西经 130，设地球半径为 R，则甲、乙两地的球面距离是（ ）ARBCRD.12143213解： 由 题 意 Oooo160409（O 1 为小圆圆心）又 由 题 意 BR12则 中 ，A
