1、1离散数学题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1) Q=QP (2) Q=PQ (3)P=PQ (4) P (P Q)= P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律， （4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(P Q)(Q R) (2)P(QQ) (3)(P Q)P (4)P(P Q)答：（2） ， （3） ， （4） 可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=P Q (2) P Q=P (3) P Q=P Q (4)P (PQ)=Q (5) (PQ)=P (6) P
2、 (P Q)= P答：（2）是第三章的化简律， （3）类似附加律， （4）是假言推理， （3） ， （5） ， （6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x(A(x) B(y，x) z C(y，z) D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z（考察定义在公式x A 和 x A 中，称 x 为指导变元，A 为量词的辖域。在 x A 和 x A 的辖域中，x 的所有出现都称为约束出现，即称 x为约束变元，A 中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是 A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中 y 为自由变元， x 和 z 为约束变元，在 D(x)中 x为自由
3、变元）5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )(1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若 7+818，则三角形有 4 条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 2答：（1） 是， T （ 2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。 ）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成 ”，然后将命题的结论否定， “
4、且变或 或变且” ）7、设 P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） （注意“只有才”和“除非就”两者都是一PQ个形式的） （2） （3） （4）QPP8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。(1) xy(x+y=0) (2) yx(x+y=0)答：（1）对任一整数 x 存在整数 y 满足 x+y=0（2）存在整数 y 对任一整数 x 满足 x+y=09、设全体域 D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) xy (xy=y
5、) ( ) (2) xy(x+y=y) ( )(3) xy(x+y=x) ( ) (4) xy(y=2x) ( )答：（1） F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的 x 都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2） F （同理） （3）F （同理） （4）T（对任一整数 x 存在整数 y 满足条件 y=2x 很明显是正确的）10、设谓词 P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x)在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)-(3)均成立答：（1） （在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而
6、自然数子整数的子集，当然满足条件了）311、命题“2 是偶数或-3 是负数”的否定是（ ） 。答：2 不是偶数且-3 不是负数。12、永真式的否定是（ ）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)-(3)均有可能答：（2） （这个记住就行了）13、公式( P Q) ( P Q)化简为（ ） ，公式 Q (P (P Q)可化简为（ ） 。答： P ，Q P（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握）14、谓词公式 x(P(x) yR(y) Q(x)中量词 x 的辖域是（ ） 。答：P(x) yR(y)（一对括号就是一个辖域）15、令 R(x):x 是实数，Q(x):x 是有理数。则
7、命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ） 。答： x(R(x) Q(x)（集合论部分）16、设 A=a,a，下列命题错误的是（ ） 。(1) a P(A) (2) a P(A) (3) a P(A) (4) a P(A)答：(2) （a是 P（A）的一个元素）17、在 0（ ） 之间写上正确的符号。(1) = (2) (3) (4) 答：(4)（空集没有任何元素，且是任何集合的子集）18、若集合 S 的基数|S|=5，则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ ） 。答：32（2 的 5 次方 考查幂集的定义，即幂集是集合 S 的全体子集构成的集合）19、设 P=x|(x+1) 4 且 x
8、 R,Q=x|5 x +16 且 x R,则下列命题哪个22正确（ ） (1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q答：（3） （Q 是集合 R，P 只是 R 中的一部分，所以 P 是 Q 的真子集）420、下列各集合中，哪几个分别相等( )。(1) A1=a,b (2) A2=b,a (3) A3=a,b,a (4) A4=a,b,c(5) A5=x|(x-a)(x-b)(x-c)=0 (6) A6=x|x2-(a+b)x+ab=0答：A1=A2=A3=A6， A4=A5（集合具有无序性、确定性和互异性）21、若 A-B=，则下列哪个结论不可能正确？( )(1) A= (2
9、) B= (3) A B (4) B A答：（4） （差集的定义）22、判断下列命题哪个为真?( )(1) A-B=B-A = A=B (2) 空集是任何集合的真子集(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若 A 的一个元素属于 B，则 A=B答：（1） （考查空集和差集的相关知识）23、判断下列命题哪几个为正确？( ) (1) , (2) , (3) (4) (5) a,ba,b,a,b答：（2） ， （4）24、判断下列命题哪几个正确？( )(1) 所有空集都不相等 (2) (4) 若 A 为非空集，则 A A 成立。答：（2）25、设 AB=AC， B= C，则 B( )C。A答：=（等
10、于）26、判断下列命题哪几个正确？( )(1) 若 ABAC，则 BC (2) a,b=b,a (3) P(AB) P(A)P(B) （P(S)表示 S 的幂集）(4) 若 A 为非空集，则 A AA 成立。答：（2） 527、，是三个集合，则下列哪几个推理正确：(1) A B，B C= A C (2) A B，B C= AB (3) AB，BC= AC答：（1） （3）的反例 C 为0，1 ，0 B 为0，1 ，A 为 1 很明显结论不对）（二元关系部分）28、设1,2,3,4,5,6 ，B=1,2,3，从到 B 的关系x,y|x=y2求(1)R (2) R -1 答：（1）R=, (2)
11、R =,（考查二元关系的定义，R1为 R 的逆关系，即 R =| R）129、举出集合 A 上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )答：A 上的恒等关系30、集合 A 上的等价关系的三个性质是什么？( )答：自反性、对称性和传递性31、集合 A 上的偏序关系的三个性质是什么？( )答：自反性、反对称性和传递性(题 29，30，31 全是考查定义)32、设 S=,，上的关系1,2 ， 2,1 ， 2,3 ，3,4 求(1)R R (2) R-1 。答：R R =1,1 ， 1,3 ， 2,2 ， 2,4（考查 F G =|t(FG)）R-1 =2,1 ， 1,2 ， 3,2 ， 4,3 3
12、3、设1，2，3，4，5，6 ，是 A 上的整除关系，求 R= ( )R=,34、设1,2,3,4,5,6 ，B=1,2,3，从到 B 的关系x,y|x=2y ，求(1)R (2) R -1 。6答：（1）R=, (2) R =,(36135、设1,2,3,4,5,6 ，B=1,2,3，从到 B 的关系x,y|x=y2 ，求 R 和 R-1的关系矩阵。答：R 的关系矩阵= R 的关系矩阵=0011 01036、集合 A=1,2,10上的关系 R=|x+y=10,x,y A，则 R 的性质为（ ） 。(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的答：（2） （考查自反 对
13、称 传递的定义）（代数系统部分）37、设 A=2,4,6，A 上的二元运算*定义为：a*b=maxa,b，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。答：2，6（单位元和零元的定义，单位元：e。x=x 零元：。x=）38、设 A=3,6,9，A 上的二元运算*定义为：a*b=mina,b，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；答：9，3（半群与群部分）39、设G,*是一个群，则(1) 若 a,b,xG，a x=b，则 x=( )；(2) 若 a,b,xG，a x=a b，则 x=( )。答： （1） a b （2） b （考查群的性质，即群满足消去律）140、设 a 是 12 阶群的生成
14、元， 则 a2是( )阶元素，a 3是( )阶元素。答： 6,4741、代数系统是一个群，则 G 的等幂元是( )。答：单位元（由 a2=a,用归纳法可证 an=a*a(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若 an=a 对一切 N 成立，则对 n=2 也成立，所以幂等元一定是等幂元，并且在 群 中 ， 除 幺 元 即 单 位 元 e 外 不 可 能 有 任 何 别 的 幂 等 元 ）42、设 a 是 10 阶群的生成元， 则 a4是( )阶元素，a 3是( )阶元素答：5，10（若 一 个 群 G 的 每 一 个 元 都 是 G 的 某 一 个 固 定 元 a 的 乘 方 ， 我
15、 们 就把 G 叫 做 循 环 群 ； 我 们 也 说 ， G 是 由 元 a 生 成 的 ， 并 且 用 符 号 G=表 示 ， 且 称a 为 一 个 生 成 元 。 并 且 一元素的阶整除群的阶）43、群的等幂元是( )，有( )个。答：单位元，1 （在 群 中 ， 除 幺 元 即 单 位 元 e 外 不 可 能 有 任 何 别 的 幂等 元 ）44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。答：循环群，任一非单位元（证明如下：任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数 p，所以元素的阶要么是 1 要么是 p。G 中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于 1，所以都是 p。任取一个非单位元
16、，它的阶等于 p，所以它生成的 G 的循环子群的阶也是 p，从而等于整个群 G。所以 G 等于它的任一非单位元生成的循环群）45、设G,*是一个群，a,b,cG，则(1) 若 c a=b，则 c=( )；(2) 若 c a=b a，则 c=( )。答：（1） b (2) b（群的性质）1a46、是的子群的充分必要条件是( )。答：是群 或 a，b G， a b H，a -1 H 或 a,b G，a b-1 H 47、群A,*的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。答：1，单位元，048、在一个群G,*中，若 G 中的元素 a 的阶是 k，则 a-1的阶是( )。答：k49、在自然数集 N
17、 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）8(1) a*b=a-b (2) a*b=maxa,b (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|答：(2)50、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ ） 。(1) 不可能是群 (2) 不一定是群 (3) 一定是群 (4) 是交换群答：(1)51、6 阶有限群的任何子群一定不是（ ） 。(1) 2 阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶答：(3)（格与布尔代数部分）52、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1) （N, ） (2) （Z, ） (3) （2,3,4,6,12,|（整除关系） ） (4) (P(A), )答：(4)（考查幂
18、集的定义）53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ） 。(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4 的倍数 (4) 2 的正整数次幂答：(4)（图论部分）54、设 G 是一个哈密尔顿图，则 G 一定是( )。(1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图 答：(4)（考察图的定义）55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )(1) 0，10，110，101111 (2) 01，001，000，1(3) b，c，aa，ab，aba (4) 1，11，101，001，0011答：（2）56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。答：所有结点一次且恰好一次957、在有向图中，结点
19、v 的出度 deg+(v)表示( )，入度 deg-(v)表示( )。答：以 v 为起点的边的条数， 以 v 为终点的边的条数58、设 G 是一棵树，则 G 的生成树有( )棵。(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定答：159、n 阶无向完全图 Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。答： , n-12)(60、一棵无向树的顶点数 n 与边数 m 关系是( )。答：m=n-161、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。答：所有边一次且恰好一次62、有 n 个结点的树，其结点度数之和是( )。答：2n-2（结点度数的定义）63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
20、(1) a，ab，110，a1b11 (2) 01，001，000，1(3) 1，2，00，01，0210 (4) 12，11，101，002，0011答：(1)64、n 个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。答：n(n-1),2n-265、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。答：它是连通图66、设 G 是一棵树，n,m 分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。答：（3）67、设 T=V,E是一棵树，若|V|1，则 T 中至少存在( )片树叶。10答：268、任何连通无向图 G 至少有( )棵生成树，当且仅当 G
21、 是( )，G 的生成树只有一棵。答：1， 树69、设 G 是有 n 个结点 m 条边的连通平面图，且有 k 个面，则 k 等于:(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。答：（1）70、设 T 是一棵树，则 T 是一个连通且( )图。答：无简单回路71、设无向图 G 有 16 条边且每个顶点的度数都是 2，则图 G 有( )个顶点。(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16答：（4）72、设无向图 G 有 18 条边且每个顶点的度数都是 3，则图 G 有( )个顶点。(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12答：(4)73、设图 G=，V=a，b，c，d，e，E=,则 G 是有向图还是无向图？答：有向图74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。答：偶数75、具有 6 个顶点，12 条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5答：（3）76、在有 n 个顶点的连通图中，其边数（ ） 。
