1、泰勒公式及无穷小变换的应用1泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及无穷小变换的应用2泰勒公式及其应用 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题 ,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用 ,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. 预备知识定义 2.1 若函数 在 存在 阶导数,则有1f0xn 200000()()()1!ffx
2、f x()00)()!nnnfo（1）这里 为佩亚诺型余项,称(1)f 在点 的泰勒公式.)(0nxo0x当 =0 时,（1）式变成,称此式为(带有佩亚诺余)!)(!2)0(!)()( nnxofxffxf 项的)麦克劳林公式.定义 2.2 若函数 在 某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则2f0x1n, () 2000 00()()() .)()!nfxfxfx Rx（2）这里 为拉格朗日余项 ,其中 在 与()nR(1)10)!nnnfRx之间,称（2）为 在 的泰勒公式.0xf0x当 =0 时,（2）式变成0 () 2()0()().()!nnfffxfxxR泰勒公式及无穷小变换的应用3称
3、此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.12)!(!1nxnx ee.)()!12()!53sin 2nnxoxx.246 2co1()!)!nn.)(1)(32)ln( 1nnxoxx )(1nx.2!1()( xmm定理 2.1 (介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若3 fba)(bfaf为介于 与 之间的任何实数,则至少存在一点 ,使得0afbf 0x)(.0)(xf3 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 3.1 求极限 .240c
4、oslimxxe分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和cosx分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.2xe泰勒公式及无穷小变换的应用4解 由 , 得24cos1()!xox2224()1(xxeo,2442()()()!2xexOx于是.244001()cos 1limli 2xx xe例 3.2 极限 . 1sin2liscoxx 0-分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和 sinx, cosx分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.xe解： 由 1sin2xx-=23 31()()626xoo+-1(-+, 343()()2=323sincos()
5、1()6xxoxo-=-+-+3()于是 1sin2limscoxxe 0-33()162o+=例 3.3 利用泰勒展开式再求极限 。泰勒公式及无穷小变换的应用5解： ， 【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为 ，从而当 时， ，应为 3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例 3.2 当 时,证明 .0x31sin6x证明 取 , ,则3()if0 0,(),()1cos,(0).ffffxf带入泰勒公式,其中 =3,得n，其中 .31cos()0!xfx10故当 时, .0x3
6、1sin6x泰勒公式及无穷小变换的应用63.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例 3 51)xxd+判 断 广 义 积 分 （ -2的 收 敛 性 。11x解 ： -=（ +-,1x利 用 泰 勒 公 式 将 +,-展 开 ：2()1(),2oxx-=! 21()11(),2oxx-=+!2 2()()1 ()1()2oxxxx- -+-+-+-! !32 321lim44xxx + |-|=-o(),因 此 =|由于 收敛，所以53214x+
7、 51)dx+ （ -的 收 敛例 3.3 讨论级数 的敛散性.1(ln)n分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到 ,若将其泰勒展开为 的1lln()1n幂的形式,开二次方后恰与 相呼应,会使判敛容易进行.1n解 因为泰勒公式及无穷小变换的应用7,234111lnl()nnn所以,1ln所以 1ln0nu故该级数是正向级数.又因为,3323232211111ln()()4onnnn所以.32111ln()nun因为 收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.312n3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例 3.4 设 f(x)在
8、上二阶可导,且 ,对)a()0,()faf, 证明： 在 内存在唯一实根.(,0xfx分析：这里 f(x)是抽象函数,直接讨论 的根有困难,由题设 f(x)在()0f上二阶可导且 ,可考虑将 f(x)在 a 点展开一阶泰勒公式,然,)a()0,()faf后设法应用戒指定理证明.证明 因为 ,所以 单调减少,又 ,因此 xa 时,()fx()fx()0f,故 f(x)在 上严格单调减少.在 a 点展开一阶泰勒公式有()0fxfaa泰勒公式及无穷小变换的应用8 2()()()()ffxafxaxax由题设 ,于是有 ,从而必存在 ,使得 ,又 0,faflimxb(0fb因为 ,在 上应用连续函数
9、的介值定理,存在 ,使 ,()b0()x)x由 f(x)的严格单调性知 唯一,因此方程 在 内存在唯一实根.0()f,a3.5 利用泰勒公式判断函数的极值例 3.5 (极值的第二充分条件)设 在 的某邻域 内一阶可导,在4 f0x);(0xU处二阶可导,且 , .0x0xf)(0xf(i)若 ,则 在 取得极大值.)(0f(ii) 若 ,则 在 取得极小值.xf0x证明 由条件，可得 f 在 处的二阶泰勒公式.)()(!2)(!1)( 20200000 xoxfxxf 由于 ,因此)(0f.(*)2000 )(1)()(off又因 ,故存在正数 ,当 时, 与)(0xf ;0xU(xf同号.所
10、以,当 时,(*)式取负值,从而对任意12o)(0xf有);(0U,0)(f即 在 取得极大值.同样对 ,可得 在 取得极小值.f0x0xffx3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例 3.6 求 的幂级数展开式.21x解 利用泰勒公式泰勒公式及无穷小变换的应用9231xx693467910340()13)2222()sin3nxxxx 3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为)(xf, 2(0)(0)()
11、0()!nfffxfxx其误差是余项 .nR例 3.7 计算 Ln1.2 的值,使误差不超过 0.0001解 先写出 f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：,231(1)()()nxxLR其中 （ 在 0 与 x 之间）.()nnxRx令 ,要使2.011(.2)|()| (.2)0.(0.2)nnn 则取 即可.5因此 5ln1.20.0267.40.6.83|.1R其 误 差当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例 3.8 求 的近似值,精确到 .210xed51解 因为 中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达
12、）,现用泰勒公式的方法求 的近似值.210x在 的展开式中以 代替 x 得xe24221(1)!nxxxe 逐项积分,得 2 42111120000()!()3!5n1110426396075nxddd A A ！泰勒公式及无穷小变换的应用10上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项 的估计式知()nRx2710|0.155610.74683342639xRed所 以3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果 f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项 的系数正是 ,nx)(0)(!10xfn从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例 3.9 求函数 在 x=1 处的高阶导数 .xef2)
13、()2(1(f解 设 x=u+1,则, ,euugxf u2)1()( 0)()(nng在 u=0 的泰勒公式为ue,)(!09!81101oeu从而,)(!)(2() 10109uug 而 g(u)中的泰勒展开式中含 的项应为 ,从 g(u)的展开式知 的10u10)(g10u项为 ,因此)!192!8(e,10)(,!1092!8(00egeg.f)()103.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做 x 的函数（一般是 x 的 n 次多项式）,记作 f(x),按泰勒公式在某处 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.0x例 3.10 求 n 阶行列式D= xzyxzy （1）解 记 ,按泰勒公式在 z 处展开：Dxfn)(
