1、第一次行列式部分的填空题1在 5 阶行列式 中，项 a13a24a32a45a51 前的符号应取 + 号。ij2排列 45312 的逆序数为 5 。3行列式 中元素 x 的代数余子式是 8 2144行列式 中元素-2 的代数余子式是 11 。0355行列式 中， 的代数余子式是 5 。251xx6计算 = 0 0dcba行列式部分计算题1计算三阶行列式381402解：原式=2 （4）3+0（1）（1）+1181（1）（4）0132（1）8=42决定 i 和 j，使排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.解：i=8 ，j=5。3(7 分 )已知 ，求 的值01x解：原式=3x 2x2
2、4x=2 x24x=2x(x2)=0解得：x 1=0； x2=2所以 x=xx 0；x 2 xR 4(8 分 )齐次线性方程组 0zyx有非零解，求 。解： 21101D由 D=0 得 =15用克莱姆法则求下列方程组：103294zyx解：因为 03130214710249170843513254 231 ）（rrD所以方程组有唯一解，再计算：8102941 810329542D35103295D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=45第二次线性方程组部分填空题1设齐次线性方程组 Ax=0 的系数阵 A 的秩为 r，当 r= n 时，则 Ax=0 只有零解；当 Ax
3、=0 有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2设 1， 2 为方程组 Ax=b 的两个解，则 1 2 或 2 1 是其导出方程组的解。3设 0 是线性方程组 Ax=b 的一个固定解，设 z 是导出方程组的某个解，则线性方程组 Ax=b 的任意一个解 可表示为 = 0+z .4若 n 元线性方程组 Ax=b 有解，R（A）=r，则当 r=n 时，有惟一解；当 ,rn 时，有无穷多解。5A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是 R（A）n .6n 元齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于 0 。7 线性方程组 Ax=b 有解的充要
4、条件是 r(Ab)=r(A) 。8设 是线性方程组 Ax=b 的一个特解， 是其导出组的1u rnv,21基础解系，则线性方程组 Ax=b 的全部解可以表示为 = urnvcvc211求线性方程组的通解.223347131xx答案：通解为：x=k 1 ),(01022Rkk2求齐次线性方程组的一个基础解系.0510536324xx答案：基础解系为 v1= 10,23求非齐次线性方程组的通解321431xx答案：同解方程组为，通解为12034341x )(2130Rkx4 求方程组的通解 2534421xx答案：化为同解方程组 75975614321xx通解为 075619075121kx5已知
5、线性方程组 3241xx423321xx6（1）求增广矩阵（Ab）的秩 r（Ab）与系数矩阵 A 的秩 r（A ） ；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。答案：（1）r（Ab）=r（A）=4（2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的线性关系填空题1向量 = （1，3，5，7） ，= （a,b,5,7 ） ，若 =，则 a= 1 ,b= 3 .2已知向量 =（1，2，3） ， =（3，2，1） ，则 3 +2 = 12（9，10，11） ， - = （-2，0，2） 13设向量组 线性无关，则向量组 ， + ， + + 线321, 12123性 无关 4设向
6、量 线性无关，则 线性 无关 。321,a321,a5设向量 线性无关，则向量 线性 相关 0,6. 是 3 维向量组,则 线性 相 关.4321,4321,7零向量是线性 相关 的，非零向量 是线性 无关 的.线性关系部分证明题1 证明：如果向量组 线性无关，则向量组,亦线性无关,证明：设有一组数 ，使321,k0)()()(32k成立，整理得)()()( 322131kkk由于 线性无关，所以,0321k因为其系数行列式 ，所以方程组只有零解，021即 向量组 线性无关得证0321k,2设向量 可由向量 1， 2， r 线性表示，但不能由 1， 2， r-1 线性表示，问向量组 1， 2，
7、 r-1， r 与向量组 1， 2， r-1， 是否等价？为什么？答案：等价。因为 可由 1， 2， r 线性表示，所以有 1， 2， r，使 = 1 1+ 2 2+ r r， r0 又 1= 1， ， r-1= r-1，故向量组 1， 2， r-1， 可由向量 1， 2， r 线性表示。由式有 ,121 rrrr 即 1， 2， r 也可由向量组 1， 2， r-1， 线性表示，故两向量组等价。3设 1， 2 是某个齐次线性方程组的基础解系，问 1+ 2，2 1 2 是否也可构成该方程组的基础解系？答案： 1+ 2，2 1 2 显然是方程组的解。所以以下只证 1+ 2，2 1 2 线性无关。
8、设有一组数 1， 2，使得 1（ 1+ 2， ）+ 2（ 2 1 2）=0，即 （ 1+2 2） 1+（ 1 2） 2=0，因 1， 2 线性无关，故.0,21而 ,3所以 1= 2=0，则 1+ 2，2 1 2 线性无关，仍是基础解系。4已知 ，判定此向量组是线),53(),0(),0(21 性相关还是线性无关。答案：线性相关。5设=（ 1，1 ，2） T， =（1，2，3） T， =（1，3，t） T请问当 t 为何值时， ， ， 线性相关？并将 用 ， 线12性表示答案：当 t=4 时， ， ， 线性相关。123 .36 , 设 线性无关，而 线性相关，则 能s,21 ,21s 由 线性
9、表示，且表示法惟一。s21答案：因 线性相关，故有 不全为零，使,21s kks,2121k.0ks要证 可由 线性表示，只要证明 ，假设 k=0，则s,21 0k不全为零，且有sk,21 21k.s故 线性相关，矛盾，所以 。s,21 0k设有个表示式 s21s两式相减得 0)()()(2211 ss因 线性无关，所以 ，即s,21 0ii).,1(sii 所以表示法惟一。第四次特征值部分选择题1. 是阶正交矩阵，则A （） （） （） （）1EAATA12. A 与 B 是两个相似的 n 阶矩阵,则 A (A) 存在非奇异矩阵 P,使 (B) |A| |B| BP1 (C) 存在对角矩阵
10、D,使 A 与 B 都相似于 D (D) BII3 下列结论中,错误的有( B)(A) 若向量 与 正交,则对任意实数 a,b, 与 也正交ab(B) 若向量 与向量 都正交,则 与 的任一线性组合也正交21 21,(C) 若向量 与 正交,则 与 中至少有一个是零向量(D) 若向量 与任意同维向量正交 ,则 是零向量4 设矩阵 ,则 A 的特征值为 C 10A(A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,15 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 B(A) A 有 n 个特征值(B) A 有 n 个线性无关的特征向量(C) A 的行列式不等于零(D
11、) A 的特征多项式没有重根线性代数1.下列 n 阶(n2)行列式的值必为 0 的有：B:行列式非零元素的个数小于 n 个。2.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3） ，第二行元素是（1，4） ，该行列式的值是:B:13 有二阶行列式，其第一行元素是（2 ，3） ，第二行元素是（3，-1） ，则该行列式的值是：A:-114. 有三阶行列式，其第一行元素是（0，1 ，2） ，第二行元素是（-1 ，-1，0 ） ，第三行元素是（2，0，-5） ，则该行列式的值是：B:-15.有三阶行列式，其第一行元素是（1 ，1，1） ，第二行元素是（3，1，4） ，第三行元素是（8，9，5 ） ，则该行列式的值
12、是：C:56. 行列式 A 的第一行元素是（ k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是 (0,k,1)，如果行列式 A 的值等于 0，则 k 的取值应是： C:k=3 或 k=17. 6.排列 3721456 的逆序数是：C:88. .行列式 A 的第一行元素是（ -3，0，4） ，第二行元素是（2 ，a ，1),第三行元素是（5，0，3 ） ，则其中元素 a 的代数余子式是：B:-299 已知四阶行列式 D 中第三行元素为（-1，2 ，0，1） ，它们的余子式依次分别为 5，3，-7 ，4，则 D 的值等于. C:-1510. 矩阵 A 适合下面哪个条件时，它的秩为 r. B
13、:A 中线性无关的列向量最多有 r 个。11 矩阵 A 的第一行元素是（1，0，5） ，第二行元素是（0 ，2，0） ，则矩阵 A 乘以 A 的转置是：C:第一行元素是（26，0） ，第二行元素是（0，4 ） 。12. 若矩阵 A 的行数不等于矩阵 B 的列数，则矩阵 A 乘以 B 没有意义。正确答案：错误13. 齐次线性方程组 AX=0 是线性方程组 AX=b 的导出组，则C：u 是 AX=0 的通解，X1 是 AX=b 的特解时，X1+u 是 AX=b 的通解。D：V1，V2 是 AX=b 的解时，V1-V2 是 AX=0 的解。14. n 阶矩阵可逆的充要条件是： A：r(A)=n B：
14、A 的列秩为 n。15. 向量组 a1,a2,.,as 的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,as 中至少有一个非零向量。D：a1,a2,as 中有一个线性无关的部分组。16 向量组 a1,a2,.,as 线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,as 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D：a1,a2,as 中至少有一部分组线性相关17. 矩阵 A 为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为 C:-m*m*m*m18. 若矩阵 A 可逆，则它一定是非奇异的。正确答案：正确19. 向量组 a1,a2,.,as 线性无关的必要条件是：A：a1,a2,as 都不是零向量。C：a1,a
15、2,as 中任意两个向量都不成比例 D：a1,a2,as 中任一部分组线性无关20. 若矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则矩阵 A 乘以 B 有意义正确答案：正确. 初等数论 作业1. 如果 a|b，b|c，则（C：a|c）2. 360 与 200 的最大公约数是（D：40 ） 。3. 如果 a|b，b|a ，则（C：a=b 或 a=-b ） 。4. 下面的数是 3 的倍数的数是（C：1119）5. 4 除 -39 的余数是（C：1 ） 。6. 设 n，m 为整数，如果 3 整除 n，3 整除 m，则 9（A：整除 ）mn 。7. 整数 6 的正约数的个数是（ D：4 ） 。8. 1 到 20 之间的素数是（B：2，3，5 ，7，11，13，17，19 ）9.
