1、第 1 页 共 56 页椭圆与双曲线常见题型归纳题型一：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 。例题 1、过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( ,0)，使得 是l2yx 0xABE等边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。0x分析：过点 T(-1,0)的直线和曲线 N ： 相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于 0，可以设直线的方程，2yx联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理
2、，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出 E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 倍。运用弦长公式求弦长。32解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。设直线 ， ， ， 。:(1)lykx01(,)Axy2(,)B由 消 y 整理，得 2(1)ykx222(1)kxx由直线和抛物线交于两点，得 即 24210k214k由韦达定理，得： 。则线段 AB 的中点为 。1221,kx2x 2(,)线段的垂直平分线方程为：2()kyk令 y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线 AB 的距离 d 为021xk21(,0)EABE21(,0)Ek。32AB2211()()
3、xy2241kA2kd2223141kkA解得 满足式此时 。39k053x思维规律：直线过定点设直线的斜率 k，利用韦达定理法，将弦的中点用 k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将 k 确定，进而求出 的320x坐标。例题 2、已知椭圆 的左焦点为 F， O 为坐标原点。12yx第 2 页 共 56 页（）求过点 O、 F，并且与 相切的圆的方程；2x（）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用
4、几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和 x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于 0，设出弦 AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦 AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦 AB 的斜率，得到线段 AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点 G 的坐标。 解：(I) a 2=2，b 2=1，c=1，F(-1，0)，l:x=-2.圆过点 O、F,圆心 M 在直线 x=- 上21设 M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=t,21213由|OM|=r，得 ，解得 t= ，所求圆的方程为 (x+ )2+(y )
5、2= .)(2t2149(II)由题意可知，直线 AB 的斜率存在，且不等于 0,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k0)，代入 +y2=1，整理得(1+2k 2)x2+4k2x+2k2-2=0直线 AB 过椭圆的左焦点 F， x方程一定有两个不等实根,设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点 N(x0，y 0)，则 x1+x1=- ,24k02(,kx02(1)kx AB 垂直平分线 NG 的方程为 令 y=0，得)(100xky2201Ckxy2214k.021,0cx点 G 横坐标的取值范围为（ ） 。0,技巧提示：直线过定点设直线的斜率 k，利用韦达定理，将弦的
6、中点用 k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦 AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于 k 的函数） 。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。第 3 页 共 56 页练习 1：已知椭圆 )0(1:2bayxC过点 )23,1(，且离心率 21e。（）求椭圆方程；（）若直线 )(:kml与椭圆交于不同的两点 M、 N，且线段 的垂直平分线过定点 )0,81(G，求 k的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到 的关系式，再根据“过点 )23,1(”得到 的第 2 个关系式
7、，解,ab,ab方程组，就可以解出 的值，确定椭圆方程。,ab第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出 的不等式，再根据韦达定理，得,km出弦 MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点 )0,81(G，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得 的等式，用 k 表示 m 再代入不等式，就可以求出 k 的,km取值范围。解：（） 离心率 21e， ，即 （1） ；2134ba2ba又椭圆过点 )3,(，则 ， （1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。292423b2143xy（）设 ，弦 MN 的中点 A1,
8、(,)MxyN0(,)xy由 得： ， 直线 )0(:kmxyl与椭圆交于不同的两点，234km2234841kxm，即 （1）26()1)023k由韦达定理得： ，则 ，1212284,33kxx2002 2443,34kkmxyxk直线 AG 的斜率为： ，22441338AGmkKk由直线 AG 和直线 MN 垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得214A2348km第 4 页 共 56 页，即 ，则 。2234()38k210k510k或老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门
9、路。本题解决过程中运用了两大解题技ykxm巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习 2、设 、 分别是椭圆 的左右焦点是否存在过点 的直线 l 与椭圆交于不同的两点1F22154xy(5,0)AC、D，使得 ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由CD分析：由 得，点 C、D 关于过 的直线对称，由直线 l 过的定点 A(5,0)不在 的内部，可以22 2F 2154xy设直线 l 的方程为： ，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率 k 的取值范围，由韦达(5)
10、ykx定理得弦 CD 的中点 M 的坐标，由点 M 和点 F1 的坐标，得斜率为 ，解出 k 值，看是否在判别式的取值范围内。1解：假设存在直线满足题意，由题意知，过 A 的直线的斜率存在，且不等于。设直线 l 的方程为：，C 、D ，CD 的中点(5),0ykx1(,)xy2(,)M 。0由 得： ，2()45ykx222(45)0150kxk又直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D ，则，即 。22=(0)()1)k25由韦达定理得： ，21212500,44kkxx则 ，M( ， )。12002 225,()()45kxykk 2k2045k又点 ，则直线 的斜率为 ，2F(,)2MF2
11、220451MFk根据 得： ，即 ，此方程无解，即 k 不存在，也就是不存在满足条件的直线。2CD21FkA2k老师提醒：通过以上 2 个例题和 2 个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。第 5 页 共 56 页题型二：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直
12、线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题 3、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于:(2)lxt
13、 lM、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点 A1、A 2 的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA 2 的方程，直线PA1 和椭圆交点是 A1(-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线上，相当于知道了点 P 的横坐标了，由直线 PA1、PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线:(2)lxt的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率
14、， ,则得32cea。3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消1(,)M2(,)N1AM1k1AM1(2)ykx12()4ykxy 整理得 221214640kxk是方程的两个根，和则 ， ，即点 M 的坐标为 ，214kx21184kx124ky212184(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 2284(,)1k， 直线 MN 的方程为： ，12(),()ppyktyt12t121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212x 4t又 ， 椭圆的焦点为 ，即t40t(3,0)4t3
15、t第 6 页 共 56 页故当 时， MN 过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程43t的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点 M 的横坐标：22121()640kxk，12184再利用直线 A1M 的方程通过同点的坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；124ky其实由 消 y 整理得 ，得到 ，即2()4ykx222(14)60kx2164kx， 很快。281kx221k不过如果看到：将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标2164x12k用 1x，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。228
16、4(,)1k本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N1AM上，进而得到 ，由直线 MN 的方程 得直线与 x12kt211yyxx轴的交点，即横截距 ，将点 M、N 的坐标代入，化简易得212xy，由 解出 ，到此不要忘了考察 是否满足 。4xt34t43t2t另外：也可以直接设 P(t，y 0)，通过 A1，A 2 的坐标写出直线 PA1，PA 2 的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出 M、N 的坐标，再写出直线 MN 的方程。再过点 F，求出 t 值。例题 4、 （07 山东理）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦
17、点距离的最大值为3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆mkxyl：C 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，mkxyl：并且椭圆的右顶点和 A、B 的连线互相垂直，证明直线 过定点，就是通过垂直建立 k、m 的一次函数关系。l第 7 页 共 56 页解（I）由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab， （II）设 ，由 得3,1ac2,13acb2412(,)(,)AxyB2341yk
18、xm， ，22(4)84()0kxm2261(3430mkk0（注意：这一步是同类坐标变换）121223,3xk（注意：这一步叫同点纵、横坐标间2212121123(4)()()()kykxx的变换） 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，,0D1ADBk， ，121yx2112()4yxx， ，解得2223(4)(3)604mkmk22760mk，且满足12,72当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；k:()lykx(,0)当 时， ，直线过定点7m272,7综上可知，直线 过定点，定点坐标为l(,0).名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直
19、角” ，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为 ，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出 ，1 mkxyl：是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。练习：直线 和抛物线 相交于 A、B，以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线mkxyl： 2ypx过定点，并求定点的坐标。l：分析：以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA OB，若设 ，则 ，再通过12(,)(,)xyB120xy，将条件转化为 ，再22121211()()()ykxmkxmx 2()kmk通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到 ， ，解出 k、m 的等式，就可以了。212x第 8 页
20、共 56 页解：设 ，由 得， ， （这里消 x 得到的）12(,)(,)AxyB2ykxmp20ypm则 （1）由韦达定理，得： ，2480pmk1212pmpyykk，则 ， 以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA OB，即212122 2()yyyxkA，可得 ，则 ，120121212()0m22()0kmpk即 ，又 ，则 ，且使（1）成立，2kmp0kkp此时 ，直线恒过点 。(2)lyxpx： (2,0)名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题 5、 （07 山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解
21、的内容理解透，在高考中考取 140 多分，应该不成问题。本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换韦达定理，同点纵、横坐标变换-直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？题型三：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题 5、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，直线21xya
22、b(0)(23,0)BC 过椭圆的中心 O，且 ， ，如图。0BCA(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCACA0BC2AO又 点 C 的坐标为 。 A 是椭圆的右顶点， 3,0)(3,)(23,0)，则椭圆方程为： 将点 C 代入方程，得 ，2a21xyb,24b第 9 页 共 56 页椭圆 E 的方程为 (II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，214xy3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线
23、PC 的方程为：kk，即 ，由 消 y，整理得：3()ykx3()yx2(1)30ykx是方程的一个根，2 2(1)619180kk即 同理可得：29833PxA2(3)Px29183()Qkx(1)1QPQykkk()P 213()22989833()()x 26(13)kPQyk则直线 PQ 的斜率为定值 。13方法总结：本题第二问中，由“直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线 PC3x的斜率为 k，就得直线 QC 的斜率为-k。利用 是方程3的根，易得点 P 的横坐标：22(13)6(1)980xxk，再将其中的 k 用-k 换下来，就得到了点 Q 的
24、横坐标：298()Pk，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。213()Qxk接下来，如果分别利用直线 PC、QC 的方程通过坐标变换法将点 P、Q 的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接计算 、 ，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，PQyPx一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。练习 1、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x
25、 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于:(2)lxt lM、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。第 10 页 共 56 页解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消1(,)Mx2(,)N1AM1k1AM1(2)ykx12()4ykxy 整理得 是方程的两个根 则 ，22121(4)640kxk1x和2164k2118k，即点 M 的坐标为1221218(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点
26、 N 的坐标为2284(,)1k， 直线 MN 的方程为： ，12(),()ppyktyt12t121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212x 4t又 ， 椭圆的焦点为 ，即 故当 时，MN 过椭圆的焦点。t40t(3,0)4t3tt方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一个根，结合韦达定理得到22121)640kxk点 M 的横坐标：，利用直线 A1M 的方程通过坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；21184kx 12yk再将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标 ，如果216k12k用 1x 2284(,)1k在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。
