1、1直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式： ，其中 是点 的中点坐标。1212,yx,xy12(,)(,)ABxy，2、弦长公式：若点 在直线 上，12()()AB， 0kb则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，12ykxbykxb， 222221111()()()()()Bxkxkx2214kx或者 22222111112()()()()()Ayxyykk。21122()4k3、两条直线 垂直：则1122:,:lyxblykxb12k两条直线垂直，则直线所在的向量 10vA4、韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ，则 。2()axca12,x1212,bcxa
2、常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 与椭圆 始终有交点，求 的取值范围:1lykx2:14xyCmm解：根据直线 的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆 过动点 ，如果直线:l 2:14xyC0),4m（ ， 且和椭圆 始终有交点，则 ，即 。:1lykx2:4xyCm1， 且 4且规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： : 01l过 定 点 （ ， ）(1)ykx过 定 点 （ ， ）:2l过 定 点 （ ， 2）题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在
3、一点 E( ,0)，使得 是等边三角形，若存l2yx0xABE在，求出 ；若不存在，请说明理由。0x解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。2设直线 ， ， ， 。:(1)lykx01(,)Axy2(,)B由 消 y 整理，得22(1)0kxxk由直线和抛物线交于两点，得 242()1即 10k由韦达定理，得： 。212,kx12x则线段 AB 的中点为 。2(,)k线段的垂直平分线方程为： 21()2yxkk令 y=0,得 ，则02121(,0)E为正三角形，ABE到直线 AB 的距离 d 为 。2(,)k3AB2211()xy224kA21dk222341kA解得 满足式913k此时
4、。05x题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；3（II ）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线:(2)lxtlMN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,cb从而椭圆的方程为214xy（II ）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消 y 整理得1(,)M2(,)N1AM1k1A1(2)ykx12()4
5、ykx2121(4640kxk是方程的两个根，和 214kx则 ， ，2118k12ky即点 M 的坐标为 ，12214(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k12(),()ppyktyt，21t直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4xt又 ，t40t椭圆的焦点为 (3,)，即4t4t故当 时，MN 过椭圆的焦点。3t4题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中21xyab(0)a(23,
6、0)心 O，且 ， ，如图。0A(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCAO0A2C又 (3,)点 C 的坐标为 。A 是椭圆的右顶点，(2,0)，则椭圆方程为：3a21xyb将点 C 代入方程，得 ，(3,)24b椭圆 E 的方程为21xy(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即3()yx，1k5由 消 y，整理得：23(1)0ykx
7、是方程的一个根，2(1)6()91830kxkx291833PxA即2()Pk同理可得： 29183()Qkx()3(1)PPQyxkxk()23PQxk 213()k229839183(1)()PQkx 236()k13PQyx则直线 PQ 的斜率为定值 。题型五：共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M： 于 P、Q 两点，且 ,求实数 的取值范围。2194xyDQl=url解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2),QDPl=ur(x1,y1-3)= (x2,y2-3)即 123()xyl+-方法一：方程组消元法又 P、 Q 是椭圆 + =1 上的点29x4y22221
8、()(3)194xylll= -=6消去 x2，可得22(3)14yylll+-=-即 y2= 156l又 2 y2 2，Q2 23l-解之得： 15则实数 的取值范围是 。l ,方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为： ，3,0ykx由 消 y 整理后，得23496ykx()540P、Q 是曲线 M 上的两点22()(9)kk21480即 95由韦达定理得： 12122445,9kxxk121()2254()(9)k即 2223641(1)9k由得 ，代入，整理得2095，2361()解之得 5当直线 PQ 的斜率不存在，即 时，易知 或 。0x51总之实数 的取值范围是
9、 。l1,57题型六：面积问题例题 6、已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 。12yx,363（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值。2解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意c63a， 所求椭圆方程为 。1b213xy（）设 ， 。1()Axy， 2()B，（1）当 轴时， 。 3（2）当 与 轴不垂直时，x设直线 的方程为 。ABykm由已知 ，得 。231k2(1)4把 代入椭圆方程，整理得 ，yxm22(3)630kxkm， 。12631k21x2221()ABk2
10、22361()()km222221()3)()931mkk。242 12(0)34961696k8当且仅当 ，即 时等号成立。当 时， ，219k3k0k3AB综上所述 。maxAB当 最大时， 面积取最大值 。O max1322SAB题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。（）依题意
11、，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得 消.2pkxy去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 21xpSSACNBAN 21214)(xpx .84kk.2min0pSkABN与与（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 径的圆相交于点 P、Q，PQ 的中点为 H，则与ACtO,与与2, 1yxOPQH9212)(21pyxACPO .1py,211pyaaH22OP= 211)(4)(4pyapy ,2
12、a22)(PHQ= .42apya令 ，得 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 ，0pPQ与, 2py即抛物线的通径所在的直线.解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得 22212122 844)( pkxxkxkAB .22p又由点到直线的距离公式得 .21kpd从而， ,212212 kpABSABN.2max0pkABN与与（）假设满足条件的直线 t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为10将直线方程 y=a 代入得,0)()(011ypx ).()2(4)(4,121 apyayax 与设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（x 2,y2）,Q（x
13、 4,y4）,则有 .)()2()()(4113 apyapayxPQ 令 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 .Qpa与与,2,0 2py即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8、 （如图（21）图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足： 6.MN（）求点 P 的轨迹方程；（）若 ,求点 P 的坐标.21cosMN解：()由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆.因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b= ，25a所以椭圆的方程为21.9xy()由 得,cosPMNPA2.NA因为 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N 构成三角形.在 PMN 中，cos1, 4,MN由 余 弦 定 理 有22cos.NP将代入，得224(2).MPA故点 P 在以 M、 N 为焦点，实轴长为 的双曲线 上.321xy
