1、第 1 页（共 23 页）高中数学椭圆题型归纳一椭圆的标准方程及定义1已知椭圆 + =1上一点 P到椭圆的一个焦点的距离为 3，则点P到另一个焦点的距离为（ ）A2 B3 C5 D72、已知椭圆的标准方程为 ，并且焦距为 6，则实数 m的值为 3求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点分别为（0，2） ， （0，2） ，经过点（4， ） （2）经过两点（2， ） ， （ ）4求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在 x轴上，长轴长等于 12，离心率等于 ；（2）椭圆经过点（6，0）和（0，8） ；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10和 45设 F1，F 2分别是椭圆 + =1的左，
2、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M的坐标为（6，4） ，则|PM|+|PF 1|的最大值为 第 2 页（共 23 页）二、离心率1、已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，F 1PF2=90，则椭圆离心率的取值范围是 2设 F1、F 2是椭圆 E： + =1（ab0）的左右焦点，P 是直线x= a上一点，F 2PF1是底角为 30的等腰三角形，则椭圆 E的离心率为（ ）A B C D3已知点 F1、F 2是双曲线 C： =1（a0，b0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P在双曲线 C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF 1|3|PF 2|，则双曲线 C的离心率的取值
3、范围为（ ）A （1，+） B ，+） C （1， D （1， 三、焦点三角形1、已知椭圆 + =1左，右焦点分别为 F1，F 2，点 P是椭圆上一点，且F 1PF2=60求PF 1F2的周长求PF 1F2的面积第 3 页（共 23 页）2已知点（0， ）是中心在原点，长轴在 x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为 ，椭圆的左右焦点分别为 F1和 F2（1）求椭圆方程；（2）点 M在椭圆上，求MF 1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点 P，使 =0，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由四、弦长问题1、已知椭圆 4x2+y2=1及直线 y=x+m（1）当直线与椭圆有公共点时，
4、求实数 m的取值范围（2）求被椭圆截得的最长弦的长度2、设 F1，F 2分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1斜率为 1的直线 与 E相交于 A，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列（1）求 E的离心率；（2）设点 P（0，1）满足|PA|=|PB|，求 E的方程五、中点弦问题第 4 页（共 23 页）1、 已知椭圆 + =1的弦 AB的中点 M的坐标为（2，1） ，求直线 AB的方程，并求 AB的长六、定值、定点问题1、已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴，l 与 C有两个交点 A，B，线段 AB的中点为 M（1）证明：直线 O
5、M的斜率与 l的斜率的乘积为定值；（2）若 l过点（ ，m） ，延长线段 OM与 C交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形？若能，求此时 l的斜率；若不能，说明理由七、对称问题1已知椭圆方程为 ，试确定 m的范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线 y=4x+m对称第 5 页（共 23 页）高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析一选择题（共 3小题）1 （2016 春马山县期末）已知椭圆 + =1上一点 P到椭圆的一个焦点的距离为 3，则点 P到另一个焦点的距离为（ ）A2 B3 C5 D7【分析】先根据条件求出 a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论【解答】解：设所求距
6、离为 d，由题得：a=5根据椭圆的定义得：2a=3+dd=2a3=7故选 D【点评】本题主要考查椭圆的定义在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口2 （2015 秋友谊县校级期末）设 F1、F 2是椭圆E： + =1（ab0）的左右焦点，P 是直线 x= a上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则椭圆 E的离心率为（ ）A B C D 第 6 页（共 23 页）【分析】利用F 2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据 P为直线 x= a上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F 2PF1是底角为 30
7、的等腰三角形，|PF 2|=|F2F1|P 为直线 x= a上一点2（ ac）=2ce= =故选：B【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题3 （2016衡水模拟）已知点 F1、F 2是双曲线C： =1（a0，b0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P在双曲线 C的右支上，且满足|F 1F2|=2|OP|，|PF 1|3|PF 2|，则双曲线 C的离心率的取值范围为（ ）第 7 页（共 23 页）A （1，+） B ，+） C （1， D （1， 【分析】由直角三角形的判定定理可得PF 1F2为直角三角形，且PF1PF 2，运用双曲线的定义，可得|PF 1|
8、PF 2|=2a，又|PF 1|3|PF 2|，可得|PF 2|a，再由勾股定理，即可得到c a，运用离心率公式，即可得到所求范围【解答】解：由|F 1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有PF 1F2为直角三角形，且 PF1PF 2，可得|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF 1|PF 2|=2a，又|PF 1|3|PF 2|，可得|PF 2|a，即有（|PF 2|+2a） 2+|PF2|2=4c2，化为（|PF 2|+a） 2=2c2a 2，即有 2c2a 24a 2，可得 c a，由 e= 可得1e ，故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运
9、用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题二填空题（共 3小题）4已知椭圆的标准方程为 ，并且焦距为 6，则实数 m第 8 页（共 23 页）的值为 4 或 【分析】由题设条件，分椭圆的焦点在 x轴上和椭圆的焦点在 y轴上两种情况进行讨论，结合椭圆中 a2b 2=c2进行求解【解答】解：椭圆的标准方程为 ，椭圆的焦距为 2c=6，c=3，当椭圆的焦点在 x轴上时，25m 2=9，解得 m=4；当椭圆的焦点在 y轴上时，m 225=9，解得 m= 综上所述，m 的取值是 4或 故答案为：4 或【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合
10、理运用5 （2016漳州一模）设 F1，F 2分别是椭圆 + =1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点 M的坐标为（6，4） ，则|PM|+|PF 1|的最大值为 15 【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF 2|2a+|MF 2|，由此可得结论【解答】解：由题意 F2（3，0） ，|MF 2|=5，由椭圆的定义可得，第 9 页（共 23 页）|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF 2|=10+|PM|PF 2|10+|MF 2|=15，当且仅当 P，F 2，M 三点共线时取等号，故答案为：15【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题6已知
11、 F1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，F 1PF2=90，则椭圆离心率的取值范围是 【分析】根据题意，点 P即在已知椭圆上，又在以 F1F2为直径的圆上因此以 F1F2为直径的圆与椭圆有公式点，所以该圆的半径 c大于或等于短半轴 b的长度，由此建立关于 a、c 的不等式，即可求得椭圆离心率的取值范围【解答】解P 点满足F 1PF2=90，点 P在以 F1F2为直径的圆上又P 是椭圆上一点，以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，F 1、F 2是椭圆 的焦点以 F1F2为直径的圆的半径 r满足：r=cb，两边平方，得 c2b 2即 c2a 2c 22c2a 2两边都除以 a2，得 2e21，第 10 页（共 23 页）e ，结合 0e1， e1，即椭圆离心率的取值范围是 ，1） 故答案为： ，1） 【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于 90度的情况下，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和解不等式的基本知识，属于中档题三解答题（共 9小题）7 （2013 秋琼海校级月考）已知椭圆 + =1左，右焦点分别为F1，F 2，点 P是椭圆上一点，且F 1PF2=60求PF 1F2的周长求PF 1F2的面积【分析】根据椭圆的方程求得 c，利用PF 1F2的周长 L=2a+2c，
