1、2010 年江苏高考数学试题一、填空题1设集合 A1，1，3，Ba2 ， a24 ，A B 3，则实数 a 的值为 2设复数 z 满足 z（23i） 64i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 3盒子中有大小相同的 3 只小球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 4某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有 根在棉花纤维的长度小于 20mm5设函数 f（x ）x（e xae x ） （xR）是偶函数，则实数 a
2、 的值为 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 上一点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右 焦214xy点的距离为 7右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 8函数 的图像在点（a k， ak2）处的切线与 轴交点的横坐标2(0)yxx为 ， 其中 ， 若 ，则 的值是 1kN161359在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到24xy直线 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 1250xyc10设定义在区间 上的函数 的图像与 的图像的(,)6osyx5tanyx交点为 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 sinyx的图像交于点
3、 P2，则线段 P1P2 的长为 11已知函数 则满足不等式 的 x 的取值范围是 ,0()xf 2(1)(fxfO度 度 m度 度度 度0.060.050.040.030.020.0140353025201510512设实数 满足 3xy 28，4 9，则 的最大值是 ,xy2xy34xy13在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c若 ，则 的6cosaCbtantCAB值是 14将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S周2(，则 S 的最小值是 二、解答题15 （14 分 ）在平面直角坐标系 中，已知点 A（1，2） ，B（2
4、，3） ，C （2，1） xOy（1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数 t 满足 ，求 t 的值()0ABtC16 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离17 （14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H（单位 m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 高度h 4m，仰角ABE ， ADE （1）该小组已经测得一 组 、 的值， 1.24， 1.20，请据此算出 H 的值；tantan（2）该小组分析若干测得的数据后，
5、发现适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位 m） ，使 与之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为 125m，试问 d 为多少时， 最大D CBAP dD BEA18 （16 分）在平面直角坐标系 中，如 图 ，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦xOy2195xy点为 F，设过点 T（t，m）的直线 TA、TB 与此椭圆分别交于点 M（x 1，y 2） ，N （x 2，y 2） ，其中 m0， y10， y2cSk 都成立求证：c 的最大值为 9220 （16 分）设 f(x)是定义在区间（1，）上的函数，其导函数为 如果存在实数 a 和函()fx数 h(x)，其中 h(x)对任意的
6、x（1，）都有 h(x)0，使得 = h(x)(x2ax+1)，则称函f数 f(x) 具有性质 P(a)（1）设函数 ，其中 b 为实数2ln()1bfxx（）求证：函数 f(x)具有性质 P(b)；（）求函数 f(x)的单调区间（2）已知函数 g(x)具有性质 P(2)给定 x1，x 2（1， ） ，x 1x2，设 m 为实数，=mx1+（1m）x 2，=（1m ）x 1+mx2，且 1，1，若|g( )g() |g(x1)g( x2)|，A BO Fyx求 m 的取值范围【理科附加题】21【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答
7、的前两题评分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过点 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C，若 DA=DC，求证 AB=2BCB选修 42：矩 阵与变换（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）.设 k 为非零实数，矩阵 M ，N ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到的点分别为 01k 1A1、B 1、C 1，A 1B1C1 的面积是ABC 的面积的 2 倍，求实数 k 的值C选修 44：坐标系与参数方
8、程（本小题满分 10 分）在极坐标系中， 已知圆 与直线 相切，求实数 a 的值2cos3cos4in0aD选修 45：不等式证明选讲（本小题满分 10 分）设 是非负实数，求证： ,ab32()abab【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤22 （10 分）某工厂生产甲 、乙两种产品，生产甲产品一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%.生产 1 件甲产品，若是一等品可获利 4 万元，若是二等品则要亏损 1 万元 ；生产 1 件乙产品，若是一等品可
9、获利 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元.设生产各件产品相互独立（1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；（2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率BOCAD23 （10 分）已知ABC 的三边长都是有理数（1）求证： 是有理数；cosA（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数参考答案11 22 3 430 511264 763 821 9 （13，13） 10 2311 1227 134 14(1,2)15本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力满分 14 分16本小题主要考查直
10、线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力满分 14 分解：（1） 因为 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PDBC由BCD ，得 BCDC，90又 PD DCD，PD 平面 PCD，DC 平面 PCD，所以 BC平面 PCD因为 PC 平面 PCD，故 PCBC（2）连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h因为 ABDC，BCD ，所以ABC9090从而由 AB2，BC1，得 的面积 BC1ABCS由 PD平面 ABCD 及 PD1，得三棱锥 PABC 的体积 133ABCVSPD因为 PD平面 ABCD，DC 平面 A
11、BCD，所以 PDDC17本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考察数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.满分 14 分解：（1）由 ，得,tantatanHhHABDABDA及ttth解得： an41.24tt0H因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m（2）由题设知 ，得 ，dABtand由 ，所以,tantthhDd得 =antan() ()1t 2()Hhd当且仅当 ，即 时，上式取等()Hhd()15(4)5h号）所以当 时， 最大.5tan()因为 ，则 ，所以当 时， 最大02025d故所求的 是 m.d18. 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与
12、椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力满分 16 分解：由题设得 (3,0)(,2,0)ABF（1）设点 ，则Pxy22,(3)xyPBxy由 ，得 化简得 42F()4,92x故所求点 P 的轨迹为直线 .92x由 解得 13562yx7103y所以点 T 的坐标为 .(7,)（3）由题设知，直线 的方程为 ，直线A(3)12myx的方程为B(3)6myx点 满足1,M112(3)95yx221 1(3)(3)5xxmA因为 ，则1，解得213395xxA214038mx若 ，则由 ，得 ，此时直线 的方程为12x22403608m及 210mMN，过点 (,)D若 ，则 ，
13、直线 的斜率12x10mMD22401083Dkm直线 的斜率 ，得 ，所以直线 过 点来源：学科网ND22100364NDkmMDNkD因此直线 必过 轴上的点Mx(,)19本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力满分 16 分解：（1）由题设知： 11()()nSdand，则当 时，2n2113nnaSSadn 由 ，得 ，解得2132211)（ 故当 时， ，2nd又 ，所以数列 的通项公式为21ada2()nad（2）由 及 ，得 ，1()nS0nS于是，对满足题设的 ， ，有km,2222()9()mn kmnSddS所以 的最大值cax9另一方面，任取实数 设 为偶数，令 ，则 符合2k31,2knknm,条件，且 2 221()()()(94)mnSdd 于 是，只要 ，即当 时，就有2294ka9ka21mnkSdS所以满足条件的 ，从而cmax2c因此 的最大值为 9220本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合 能力满分 16 分因为2 21 22441,14bbx xb所以当 时， ；所以当 时， ； 时2(,)(xf02(,)(xf02x()0fx
