1、1第八章 一阶电路分析由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。含一个电感或一个电容加上一些电 阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁诺顿等效电路来代替（如图 81 和 82 所示）。图 8-1 图 8-2我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 动态电 路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。动态电路分析的基本方
2、法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。81 零输入响应一、RC 电路的零 输入响应图 8-3(a)所示电路中的开关原来连接在 1 端， 电压源 U0 通过电阻 Ro对电容充电，假设在开关转换 以前， 电容电压已经达到 U0。在 t=0 时开关迅速由 1 端转换到 2 端。已经 充电的电容脱离电压源而与 电阻 R 并联，如图(b)所示。图 8-3我们先定性分析 t0 后电容电压 的变化过程。当开关倒向 2 端的瞬间，电容电压不能跃变，即由于电容与电阻并联，这使得 电阻电压与电容电压相同，即电阻的电流为0C)(0UuR2该电流在电阻中引起的功率和能量为电容中的能量
3、为随着时间的增长，电阻消耗的能量需要 电容来提供， 这造成 电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值 uC(0+)=U0 逐渐减小到零的变化过程。 这一 过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由 KVL 得到由 KCL 和电阻、电容的 VCR 方程得到代入上式得到以下方程这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解 为代入式(81) 中，得到特征方程其解为称为电路的固有频率。于是电容电压变为式中 K 是一个常量，由初始条件确定。当 t=0+时上式变为根据初始条件求得最后得到图 83(b)电路的零输入响应为R
4、Ui0)(tdiRWtitp 022)()()( )(1)(Ctt0RutuCid)18(0dCtustKte)()28(01R3Cs中0 te)(CRttut)0(0C)(Uu0K3从式 84 可见，各电压电流的 变化快慢取决于 R 和 C 的乘积。令 t =RC，由于 t 具有 时间的量纲，故称它 为 RC 电路的时间常数。引入 t 后，式 84 表示为图 84 RC 电路零输入响应的波形曲 线下面以电容电为例 ，说明电压的变化与时间常数的关系。tceUtu0)(当 t=0 时，u C(0)=U0，当 t= 时 ，uC( )=0.368U0。表 81 列出 t 等于0， ，2 ，3 ，4
5、，5 时的 电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过 45 的时间就可以认为放电过程基本结束。t 0 23 45 uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0 0电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我 们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。例如在电容电压初始值 U0 不 变的条件下，增加电容 C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间 加长；若增加电阻 R，电阻电
6、 流减小， 电阻消耗能量减少，使放电过程的时间 加长。这就可以解释当时间常数 t=RC 变大，电容放电过程会加长的原因。例 8-1 电路如图 85(a)所示，已知电容电压 uC(0-)=6V。t=0 闭合开关，求 t 0 的电 容电压和电容电流。)c48()0( e)( bda 0CRtUtiuttRtt )c58(0 e)(bda0CR ttiutt 22R1d)e(d)(CtRtiW4图 8-5解：在开关闭合瞬间，电容电压 不能跃变，由此得到将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其 电 阻值为得到图(b)所示电路，其 时间常数为根据式 85 得到电阻中的电流 iR(t)可以用与 i
7、C(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)二、RL 电路的零输入响应我们以图 86(a)电路为例来 说明 RL 电路零输入响应的计 算过程。图85 例81 V6)0()(Cuk13oRs. 02630mAe6.d)()(V203 C2 0UtuittttmAe2.6.3)( 00Cttti 5图 8-6电感电流原来等于电流 I0，电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由 1 端倒向 2 端，换路后的 电路如图(b)所示。在开关转换瞬间，由于电感电 流不能跃变，即 iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻 R 时引起能量的消耗，这就造成电感电
8、流的不断减少，直到电流变为零为止。综上所述，图(b)所示 RL 电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化 过程相应的是各电压电流从初始 值，逐 渐减小到零的过程。列出 KCL 方程代入电感 VCR 方程得到以下微分方程这个微分方程与式(81)相似，其通解 为代入初始条件 iL(0+)=I0 求得 K=I0最后得到电感电流和电感电压的表达式为其波形如图所示。RL 电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于 =L/R 具有时间的量纲，称 为 RL 电路的时间常数。图 8-7例 8-2 电路如图 88(a)所示，开关 S1 连接至 1 端已经很久，t=0
9、时开关 S 由 1 端倒向 2 端。求 t0 时的电感电流 iL(t)和电感电压 uL(t)。0LRiuidtiuLR)68(it)(e)(tKtitR)b78( d)(a 0L 0teItiutRt6图 8-8解：开关转换瞬间，电感电流不能 跃变，故将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为根据式 87 得到电感电流和电感电压为通过对 RC 和 RL 一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数 规律衰减到零，一般表达式为因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一
10、直要将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。82 零状态响应初始状态为零，仅仅由独立电 源(称为激励或输入)引起的响 应，称为零状态响应。本节只讨论由直流 电源引起的零状态响应。一、RC 电路的零状 态响应图 8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，u C(0-)=0。t=0 时开关闭合，RC 串联电路与直流电压源连 接， 电压源通过电阻对电容充 电。其电压电流的变化规律，可以通 过以下计算求得。(a) t0 的电路图 8-9其电压电流的变化规律，可以通 过以下计算求得。以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程A1.0)()0(Liims2H.3中R)0( Ve210.d)(
11、e3331L 0 ttiuIttttft e)(SCRUui)8(dt7这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即式中的 uCh(t)是与式（88）相 应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即式(89)中的 uCp(t)是式(88)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令将它代入式(88)中求得因而式中的常数 K 由初始条件确定。在 t=0+时由此得到代入式(810)中得到零状态响应为其波形如图(810)所示。图 810 RC 电路的零状态响应曲线从上可见，电容电压由零开始以指数 规律上升到 US，经过
12、一个时间常数变化到(1-0.368) US=0.632US，经过(45)t 时间后电容电压实际上达到US。电容电流则从初始值 US/R 以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 t =RC。当时间常数 t 越大，充 电过 程就越长。)9()CphCt)0(e)( htKtRtstQtu)(Cp )8(dSCUtSp)(t )108(e CphCtutRt0)0(SU)e1() CRttu)b8(0ed)( a1 S CSttiuRtt)e1()Cttu C(ti8例 8-3 电路如图 8-11(a)所示，已知电容电压 uC(0-)=0。t=0 打开开关，求 t0 的 电容电压
13、uC(t),电容电流 iC(t)以及电阻电流 i1(t)。图 8-11解：在开关闭合瞬间，电容电压 不能跃变，由此得到先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电 路，其中电路的时间常数为当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得按照式(811)可以得到为了求得 i1(t)，根据 图（a）所示电路，用 KCL 方程得到二、RL 电路的零状态响应RL 一阶电路的零状态响应与 RC 一阶电路相似。图 8-12 所示电路在开关转换前，电感电流为零，即 iL(0-)=0。当 t=0 时开关由 a 倒向 b，其电感电流和电感电压的计算如下：图 812 RL 电路的零
14、状态响应以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答 为30oRV12ocU0)(Cu)0(Cu3oRV12ocUs30F04612)(ocC)0(Ae4.030d)( )(Ve413 1 6C c tuti tUttt )().)(41 StIti tSLIiRU)128( 0dtt3e)()( S S LphLIKItiti tt9式中 t =L/R 是该电 路的时间常数。常数 K 由初始条件确定，即由此求得最后得到 RL 一阶电路的零状 态响应为其波形曲线如图 813 所示。图 813 RL 电路零状态响应的波形曲线例 84 电路如图 8-14(a)
15、所示，已知电感电流 iL(0-)=0。t=0 闭合开关，求 t0 的 电感电 流和电感电压。图 8-14解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示 电路。由此电路求得时间常数为按照式(814)可以得到假如还要计算电阻中的电流 i(t)，可以根据图(b) 电路，用欧姆定律求得例 8-5 图 8-15(a)为一个继电器延时电路的模型。已知继电器线圈参数为：R =100W，L=4H，当线圈 电流达到 6mA 时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通 时间称为延时时间。 为
16、了改变 延时时间，在电路中串联一个电位器，其电阻 值可以从零 到 900W 之间变化。若US=12V，试求 电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围。0)0(SLIiiSIK)e1( tLRti)b48()0ed)( a (1S LtIRtiutt0)(0Liis5.84oRA)e1(.)20Ltti)V.0d)(e1.202L ttiuttt A)e5.0124e36)(V)( 20tttti 10图 8-15解：开关闭合前，电路处于零状 态， iL(0-)=0。开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即 iL(0+)=iL(0-)=0。将 电路用图 8 15(b)所示诺顿等效电路代替
17、，其中电感电流的表达式为设 t0 为延时时间，则有由此求得当 Rw=0W 时，t =0.04s当 Rw=900W 时 ，t =0.004s83 完全响应由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称 为 全响应。下面讨论 RC 串联电路在直流电压 源作用下的全响应。 电路如 图 8-16(a)所示，开关连接在 1 端为时已经很久， uC(0-)=U0。t=0 时开关倒向 2 端。 t 0 时的电路如图 8-16(b)所示。图 8-16为了求得电容电压的全响应，以 电容电压 uC(t)为变量，列出图(b)所示电路的微分方程其解为代入初始条件oWscWo RUIRS)e1( oSLtUimA6)e1( oS0L0tiS0lni s05.216l4.)(1l 30Lo0 it m7.ln.)(ln3S0o0Uit)158()0dSCtUutRS phe)()(KttRCt
