1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 高中数学基础知识汇总包头市第十五中学 贾成文第一部分 集合1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ ；2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3 （1）含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n-2；（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情;BABA A况。（3） );()();
2、()( BCACCIIIIII 4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分 函数与导数1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意2baab义（斜率、距离、绝对值的意义等） ；利用函数有界性（ 、 、 等） ；导xsinxco数法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为 a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x
3、)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；)(xgfy)(gu)(ufy分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。)(ufy)(xgu4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 是奇函数 ；)(xf1)(0)()()( xfxffxff 是偶函数 ；奇函数 在原点
4、有定义，则 ；)(xf 0)(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义： 在区间 上是增函数 当 时有)(xfM,21Mx21x0)(21xff；0)(2121 xff 0)(21ff 在区间 上是减函数 当 时有)(xf ,2xx0)(21xff；0)(2121 xff 0)(21ff单调性的判定 定义法：注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；)(21xff导数法（见导数部分） ；复合函数法（见 2 （2） ） ；图像法。注：证明单调性主要用
5、定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数） ，则称函数x)(xfTfT学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 为周期函数， 为它的一个周期。)(xfT所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ；2:sinTxy 2:cosTxy Txy:tan ； ；|:)(),i( AA |:t函数周期的判定定义法（试值） 图像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论 或 的周期为 ；)()(axff)0()(axff )(
6、xfa2 的图象关于点 中心对称 周期为 2 ；y0,bb 的图象关于直线 轴对称 周期为 2 ；)(xf x)(xf 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为 4y),(ab)(xf；ba8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；指数函数： ；xy)R)1,0(ayx对数函数: ；正弦函数: ；1,0(logaa sin余弦函数： ；（6）正切函数： ；一元二次函数：xycs xyta；02bxa其它常用函数： 正比例函数： ；反比例函数： ；特别的)0(kxy )0(kxyxy1 函数 ；a学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网
7、9二次函数：解析式：一般式： ；顶点式： ， 为顶点；cbxaxf2)( khxaf2)(),(零点式： 。)(21二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换： 平移变换： ， 左“+”右“-” ；)()(axfyxfy)0( 上“+”下“-” ；,k 伸缩变换： ， （ 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的)()(xfyxfy)0倍；1 ， （ 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的)()(xAfyxfy)倍；A 对称变换： ；
8、；)(f )0,( )(xfy)(xfy 0y)(xf ； ；xy x1 翻转变换： 右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉） ；|)()(fxfy)(fy 上不动，下向上翻（| |在 下面无图象） ；|xyx11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）)(f的对称点仍在图像上；学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 （2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点)(xfy)(g)(xfy关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；)(xy注：曲线 C1:f(x,y
9、)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2 方程为：f(2ax,2by)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为：f(2a x, y)=0;曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(ya,x+a)=0( 或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR） y=f(x)图像关于直线 x= 对称； ba特别地：f(a+x)=f(ax) （xR） y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；函数 y=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x= 对称；212函数零点的求法：直接法（求 的根） ；图
10、象法；二分法.0)(xf13导数 导数定义：f(x)在点 x0 处的导数记作 ；xffxfyx )(lim)(0000常见函数的导数公式: ； ； ；C1)(nn cos)s ； ； ； ；xsin)(coaxl)( xe axaln1(lg 。x1l导数的四则运算法则： ;)(;)(;)( 2vuuvuv （理科） 复合函数的导数： xxy导数的应用： 利利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数；)(0)(xfxf )(0)(xfxf学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就
11、未来！ 高考网 为常数； )(0)(xfxf利用导数求极值：求导数 ；求方程 的根；列表得极值。)(xf 0)(xf利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有） ；得最值。14 （理科） 定积分 定积分的定义： )(lim)(1inbafabdxf 定积分的性质： （ 常数） ；babadxfkf k ；badxffx)()()( 2121 （其中 。bcbacaxfdf)( )bc微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）： aaFFf (|)()(定积分的应用：求曲边梯形的面积： ； dxgSb| 求变速直线运动的路程： ；求变力做功： 。badtv)( baW)(第三部分 三角函数
12、、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度1801)80(157弧长公式： ；扇形面积公式： 。RlRlS22三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：P),(yxrOP|cos,sinrrytan3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限” ；5 对称轴： ；对称中心：)sin(xAy2kx； )(0,(Zk学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 对称轴： ；对称中心： ； )cos(xAykx )(0,2(Zkk6同角三角函数的基本关系：
13、 ；xxtancosi;1ssin227两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ;sincosi)i( 。;sincos)cos( tan1tta8二倍角公式： ；c2in ；22 si1sss 2tt。9正、余弦定理：正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）RCcBbAa2sinisinABC注： ； ；cbi:i: Rcbasin2,si,si。cbainsinsiinsi 余弦定理： 等三个；注： 等三个。Acbo22bcaA2cos10。几个公式:三角形面积公式：；)(21,)()(sin21 capcbpaCabhSABC 内切圆半径 r= ；外接圆直径 2R=cSAB ;sinsinCBA1
14、1已知 时三角形解的个数的判定： ba,学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 Ab aCh其中 h=bsinA, A 为锐角时：ab 时，一解（锐角） 。第四部分 立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。1:22表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S 侧 +2S 底 ；侧面积：S 侧 = ；体积：V=S 底 h rh锥体：表面积：S=S 侧 +S 底 ；侧面积：S 侧 = ；体积：V= S 底 h：l3台体：表面积：S=S 侧 +S 上底 S 下底 ；侧面积：S 侧 = ；体积：lr)(V= （ S+ ）h；31
15、S球体：表面积：S= ；体积：V= 。24R34R3位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理 4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行 线面平行。平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤- -。找或作角；。求角）异面直线所成角的求法： 平移法：平移直线，构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用
16、向量法，转化为两直线方向向量的夹角。直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义） ；先求斜线上的点到平面距离 h，与斜线段长度作比，得 sin 。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点） ，作出平面角，再求解；三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小； cosS注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上
17、述方法；理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。5.求距离：（步骤- -。找或作垂线段；。求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键） ，再求解； 等体积法；理科还可用向量法： 。|nABd球面距离：（步骤）（）求线段 AB 的长；（）求球心角AOB 的弧度数；()求劣弧 AB 的长。6结论：从一点 O 出发的三条射线 OA、OB 、OC，若AOB= AOC，则点 A 在平面BOC 上的射影在BOC 的平分线上；立平斜公式(最小角定理公式 )：
18、 ;coscos21正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则 S 侧 cos =S 底 ；长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：,cos2 +cos2 +cos2 =1；sin 2 +sin2 +sin2 =2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有,cos2 +cos2 +cos2 =2；sin 2 +sin2 +sin2 =1 。正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：a 高： ；对棱间距离： ；相邻两面所成角余弦值： ；内切球h36231 A学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网
19、半径： ；外接球半径： ；a126a46第五部分 直线与圆1直线方程点斜式： ；斜截式： ；截距式： )(xkybkxy1byax；两点式： ；一般式： ， （A，B 不全为 0） 。1212xy 0CA（直线的方向向量：（ ，法向量（),AB),B2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系：4直线系直线方程 bkxy0CByAx平行直线系 mm垂直直线系 xky1yx相交直线系 0)(2211 CBACBA直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率2211:bxkyl21,bk121k21,l 且 不可写成011CBA,121BA021B （验证） 分式:22xl C
