1、 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时 , 有一、 无穷小运算法则定理 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证 : 考虑两个无穷小的和 . 设当 时 , 有当 时 , 有取 则当因此这说明当 时 , 为 无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 : 无限个 无穷小之和 不一定 是无穷小 !例如，( P56 , 题 4 (2) )解答见课件第二节 例 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证 : 有限个 无穷小之和仍为无穷小 . 定理 2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
2、 . 证 : 设又设 即 当时 , 有取 则当 时 , 就有故 即 是 时的 无穷小 .推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 求解 : 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是 的 渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 极限的四则运算法则则有证 : 因 则有(其中 为 无穷小 ) 于是由 定理 1 可知 也是无穷小 , 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论 : 若 且则 ( P45 定理 5 )利用保号性定理证明
3、 .说明 : 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示 : 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 4 . 若 则有提示 : 利用极限与无穷小关系定理及本节 定理 2 证明 .说明 : 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 . ( C 为常数 )推论 2 . ( n 为正整数 )例 2. 设 n 次多项式 试证证 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 无穷小(详见 P44)定理 5 . 若 且 B0 , 则有证 : 因 有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理 , 得为 无穷小 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 6 . 若 则有提示 : 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理 3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
