1、 习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 1学 而 思 则 优高中数学圆锥曲线专题复习（1）-椭圆一、知识 要点回顾1. 椭圆的定义1. 第一定义：满足 的动点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆1212PFaFP12,F2a2. 第二定义：到一个定点 与到一定直线 的距离之比等于小于 1 的正数 的点的轨迹叫椭圆le其中 是椭圆的一个焦点， 是相应于 的准线，定义式： 10e2. 椭圆的标准方程（1）焦点 在 轴上：12,Fx210yab焦点 ， ，且满足：0c,22c（2）焦点 在 轴上： 12,2x焦点 ， ，且满足： （3）统一形式： F,2ab210,AxByAB【注】 为椭圆的定
2、型条件，对 三个值中知道任意两个，可求第三个，其中,ab,cabc3. 椭圆的参数方程焦点在 轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为： （ 为参数）x osinxayb（其中 为椭圆的长轴长， 为椭圆的短轴长）2a2b4 椭圆的简单几何性质以椭圆 为例说明（1）范围： ，20xybaxby（2）对称性：椭圆的对称轴: 轴， 轴；对称中心：原点xy(0,)O（3）顶点：长轴顶点： ， ，短轴顶点： ，1,Aa2,1B20,b（4）离心率： 。 【注】 ； 越大，椭圆越扁；ce椭 圆 上 任 一 点 P到 焦 点 的 距 离点 到 相 应 准 线 的 距 离 e21bea（5）准线：椭圆有左，右两条准
3、线关于 轴对称。左准线： 右准线：y2axc2xc（6）焦半径：椭圆上任一点 到焦点的距离。左、右焦半径分别为0,x， 焦半径范围： a-cPF a+c10rPFae20rPFae1F21PxlyF1 1F21F21Pxly习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 2学 而 思 则 优5 点与椭圆的位置关系已知椭圆 ，点 ，则：21xyCab； 0(,)Pxy20201xyab点 在 椭 圆 C外点 在 椭 圆 上点 在 椭 圆 内6 关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点 与两个焦点 所构成的 称为焦点三角形。P12,F12P设 ，则有： ，当 （即 为短轴顶点）时， 最大，此时2F12cos
4、brr2cosba 的面积120initaScy 22bcPb（2）经过焦点 或 的椭圆的弦 ，称为焦点弦。设 ，1FAB12(,),AxB的中点为 ，则弦长 （左焦点取“+” ，右焦点取“-” ）AB0(,)Mxy20aee当 轴时， 最短，且min7、 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去 ，得到关于 的一元二次方程yx设交点坐标为 ，则有 ，以及 ，还可进一步求出 。 在涉及弦长，中点，12(,),xy0A121,12,y对称，面积等问题时，常用此法2 点差法 ：设交点坐标为 代入椭圆方程，并将两式相减，可得 ，在涉及斜率、中点、12,(,)x
5、y 1212bxa范围等问题时，常用此法二、考试热点分析考点 1：考定义例 1（1）如图，把椭圆2156xy的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于 234567,PP七个点， F是椭圆的一个焦点则 123PFF_(2)已 知 P 是椭圆 上的一个动点， 分别是左1921,右.焦点，则 的最小值为 FP21cos2F 1 P 2F 1 AB习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 3学 而 思 则 优（3）已知椭圆2:1(0)xyCab 的离心率为 32，过右焦点 F且斜率为 (0)k 的直线与 C相交于 AB、 两点若AFB，则 k（ ） （A）1 （B） （C）
6、3 （D）2练习一：(1)“ mn”是“方程 21mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (2)椭圆 内有一点 P（1，-1）F 是椭圆的右焦点，又椭圆上有一点 M 使 MP+2MF 的值最小，则 M 点的坐标为 342yx（3）短轴长为 5，离心率 32e的椭圆两焦点为 F1，F 2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为（ ）A.3 B.6 C.12 D.24（4）已知 为椭圆216xy上的一点， ,MN分别为圆 2(3)xy和圆 2(3)4xy上的点，则 PN的最
7、小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 考点 2：考标准方程或准线方程例 2 根据下列条件，写出椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8； 和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点，且经过点 (2，3)； 中心在原点，焦点在 x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是 奎 屯王 新 敞新 疆510(4)若椭圆21yab的焦点在 轴上，过点（1，12）作圆2+=1xy的切线，切点分别为 A,B，直线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 （5） （2013 山东）椭圆 的左、右焦点分别是 ,
8、离心率为 ,过 且垂直于 轴的直线被椭2:xyCab(0)12F31Fx圆 截得的线段长为 1.()求椭圆 的方程; 练习二:(1)如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.(2)（2013 新课标 1（理）已知椭圆 的右焦点为 ,过点 的直线交椭圆于 两点.若 的中2:1(0)xEab(30)F,AB点坐标为 ,则 的方程为（ ）A B C D ()24536xy217xy218xy2189xy(3)椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3则这个椭圆的方程为 (4)从椭圆 ,(ab0)上一点 M
9、 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1，A、B 分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM 奎 屯王 新 敞新 疆12byax设 Q 是椭圆上任意一点，当 QF2AB 时，延长 QF2 与椭圆交于另一点 P，若F 2PQ 的面积为 20 ，求此时椭圆的方程 奎 屯王 新 敞新 疆3习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 4学 而 思 则 优*高考真题1.【2012 四川】椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，当 的周长最大时， 的面积2143xyFxmABFFAB_。2.【2012 高考真题全国卷理 3】 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为（ ）A
10、 + =1 B + =1 C + =1 D + =1216xy21x8y28xy21x4y3.【2012 高考江苏 19】如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， 已oy21(0)ab1(0)Fc， 2()，知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率求椭圆的方程；(1)e， 32， e4.【2013 上海】本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分)已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ,C1( 0)F， 2(1 )，短轴的两个端点分别为 (1)若 为等边三角形,求椭圆 的方程 ( 椭圆 的方程 为 )1B、 FB
11、243xy考点 3：考几何性质例 3.（1） 在 ABC 中， 3,2|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e (2)（成都 2012 届二诊）已知 A,B 为椭圆 的左、右顶点，C 点的坐标为（0，b),直线 与1()xyab axl2:,则椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)DPDx平 分且交 于 点与轴 交 于 点 , 21293练习三（1）已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆2nymx的离心率为 (2)已知 M 是椭圆 上一点， 、 为它的左、右焦点且有 ,则椭圆的离心率的范围是 21()xyab1F2 02
12、1MF（3） （2010 四川理数）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP2()x的垂直平分线过点 ，则椭圆离心 率的取值范围是 w_m( )（A） （B） （C ） F20,10,2 21,（D） 1,2习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 5学 而 思 则 优(4)（2013 福建（理）椭圆 的左.右焦点分别为 ,焦距为 2c,若直线 与椭圆 的一2:1(0)xyab12F3()yxc个交点 M 满足 ,则该椭圆的离心率等于_ 【答案】 1221F 1考点 4：中点弦问题例 4:(1).已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为
13、( )A.3 B.2 C. D.230236(2)已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点，则 L 的方程是_.3692y高考真题1.【2012 高考真题江西理 13】椭圆 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1，F 2。若 ， ，)0(12bayx 1A2F成等比数列，则此椭圆的离心率为_.BF12.【2012 高考江苏 8】在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 xOy214xym5m3.（2013 四川卷（理）已知椭圆 : 的两个焦点分别为 ,且椭圆 经过点 .C21,(0)ab2(,0)(1FC41(,)3P()求椭圆 的离心率 ;考
14、点 5：考直线与椭 圆位置关系例 5:（1） 若直线 和O 相离,则过点 的直线与椭圆 的交点个数为( )4nymx42yx),(nm1492yxA. 至多一个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个（2） 椭圆 上的点到直线 2xy7 距离最近的点的坐标为（ ）2x y 1A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） 434314317D （ ， ）7（3） 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 ，21(0)xyab14则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 232练习五习惯成就未来
15、细节决定成败！ 高中数学 6学 而 思 则 优（1） 设集合 A(x，y)| ，B(x，y)|y3 x，则 AB 的子集的个数是( )2146xyA4 B3 C2 D1（2） 已知对 kR，直线 ykx10 与椭圆 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是（ ）15xym（A） （B） （C） （D）0,1,5,5（3） 过椭圆214xy的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 四点，则四边形 面积的最小值为（ ,ABCABCD） （A） (B) 35 (C) 325 (D) 325(4).已知双曲线21xy的准线过椭圆214xyb的焦点，则直线 ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ( ).
16、A. ,K B. ,KC. 2,K D. 2,K(5)设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，过 点作 的垂线分别交椭圆于 ，交 轴于 ，且20xyabFAFPxQ（1）求椭圆的离心率。 （2）若过 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆的方程。85APQ ,Q30xy练习四:已知椭圆的中心在原点 ，短轴长为 ，右准线交 轴于点 ，右焦点为 ，且 ，过点 的直线O2xAF2OA交椭圆于 两点（1）求椭圆的方程（ 2）若 ，求直线 的方程l,PQ0PQl（3）若点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过定点（4）求 的最大面积xP习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 7学 而 思 则 优课后巩固1. 如图所
17、示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 1AB与 BF 交于 D,且 901BD,则椭圆的离心率为( ) A 23 B 5 C 2 D 32. 设 F1、F 2 为椭圆 42x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F 1PF2 面积为 1 时，21P的值为( ) A、0 B、1 C 、2 D、33.椭圆 369xy的一条弦被 (4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( ) A 20 B 10xy C 20xy D 280xy4.在 BC 中， ， 3tan4若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 e 5. 已知 21,F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 3:1:2121
18、PFFP, 则此椭圆的离心率为 _6.在平面直角坐标系中，椭圆2xyb1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 7、已知椭圆 )0(12abyax与过点 A(2，0)，B(0 ，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 23e求椭圆方程8.已知 A、B 分别是椭圆 12byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P 2,1(）在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 （ 1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求siniABC的值。BAC习惯成就未来
19、 细节决定成败！ 高中数学 8学 而 思 则 优9. 已知长方形 ABCD, AB=2 2,BC=1.以 AB 的中点 O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy.(1)求以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的标准方程; (2) 过点 P(0,2)的直线 l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在 ,求出直线 l的方程;若不存在,说明理由.10.已知椭圆 的离心率为 ，一条准线 :C21(0)xyab2:2lx（1）求椭圆 的方程；（2）设 O 为坐标原点， 是 上的点， 为椭圆 的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 O
20、M 为直径的圆 交于 两点MlFCD,PQ若 ，求圆 的方程； 若 是 l 上的动点，求证：点 在定圆上，并求该定圆的方程6PQDMPO xyA BCD图 8QO xMyPF习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 9学 而 思 则 优高中数学圆锥曲线复习（1）-椭圆参考答案例 1 （1)35 (2） （3） B 练习一：(1)C (2) ( ,-1) (3)B (4) B 例 2 解 焦点位置可在 x 轴上，也可在 y91362轴上，因此有两解： 奎 屯王 新 敞新 疆 焦点位置确定，且为（0， ） ，设原方程为 ,(ab0)，由已知条件1262xyx或 512byax有 ,故方程为 奎 屯王
21、 新 敞新 疆 设椭圆方程为 ,(ab0)由题设条件有 14952ba,ba152xy12yx50ca及 a2=b2+c2，解得 b= ,故所求椭圆的方程是 奎 屯王 新 敞新 疆 (4) 63或 32（5) (6)10, 02 142yx14yx练习二:(1)解析(0,1). 椭圆方程化为 2x+ ky=1. 焦点在 y 轴上，则 k22，即 k0，0 k1. (2)【答案】D (3) (4)解 可用待定系数法求解 奎 屯王 新 敞新 疆 b=c,a= c，可设椭圆方程为 奎 屯王 新 敞新 疆 PQAB,192 12cyxk PQ=- ，则 PQ 的方程为 y= (x-c)，代入椭圆方程整
22、理得 5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得 ,又点 F1 到1baAB 2 cPQ526PQ 的距离 d= c ,由 故所求椭圆方程为 奎 屯王 新 敞新 疆36dPQSF1534c,5302c， 得 02yx*高考真题 1.【答案】3【解析】当直线 过右焦点时 的周长最大， ；将 所以 .xmFAB1m13FABS2.【答案】C【解析】椭圆的焦距为 4，所以 因为准线为 所以椭圆的方程为 ，选 C.2,c4x482yx3.解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得 ， 。2=cabe， (1)e， 2221=1=1ecbabab2=1ca由点 在椭圆上，得 椭圆的方程为 。32e，2
23、2422443330a 2xy考点 3：考几何性质例 3.（1） 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 3sin|1ACBSAC，2|AC， 2cos|2| ACBAB, 23| e(2)D习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 10学 而 思 则 优练习三（1）解析由 02mn4，椭圆 12nymx的离心率为 2(2) （3）D 1,高考真题 1.【答案】 【解析】椭圆的顶点 ,焦点坐标为 ，所以5)0(,(ABa)0,(21cF， ,又因为 ， ， 成等比数列，所以有caBFA11,211F21，即 ，22)(4ca所以 ，离心率为 .2.【答案】2。 【解析】由
24、得55e214xym。22=4=4ambcm， ， ，即 ，解得 。考点 4：中点玄问题 例 4:(1)C (2)x-2y+8=025cea24=02考点 5：考直线与椭圆曲线位置关系例 5、1B【解析】由题意可得， ，则 ，所以点 在以原点为圆心，以 2 为半径的圆内的点，2nm2n),(nmP而椭圆的长半轴长为 3，短半轴长为 2，所以圆 内切于椭圆，即点 在椭圆内，所以过点 的直线与椭圆一定相交，42P它们的公共点的个数为 2，故选 B2B【解析】设和椭圆相切且和直线平行的直线为 ，联立椭圆方程得 ，因为直线和椭圆相切，yxb22980xb所以 ，由图可知 ，直线为 ，解226430,3
25、bb33y得切点坐标为 ，此点就是所求点，故选 B.1,（3）C【解析】设外层椭圆方程为 ，则切线 AC 的方程为221(0,)()xyabmmay=k1（x-ma） ，切线 BD 的方程为 y=k2x+mb，则由 消去 y 得2)kx ，因为=（ ） 24 （ ）=0，整理22()bakx34211kx31ak21()bak2421mab得 .12mA由 消去 y 得 + + ，2)()ybxa22()bakx2mbkx220因为=（ -4 （ ，整理得 .所以 ，k2)02(1)bkmaA421bka因为 ，所以 ， ，所以12421a234ceae= ,故选 C.3yxfx() =3F2F1OB1
