1、本科生毕业论文（设计）题目 : 基于压缩感知的磁共振成像欠采样恢复方法对比与分析姓名 : 张作恒学院 : 基础医学院专业 : 生物医学工程班级学号 : 生物医学工程指导教师 : 王伟 职称 : 实验师2014 年 6 月 10 日南京医科大学教务处制摘要I摘要磁共振成像（MRI）技术属无创伤、无射线检查，具有对比分辨率高，多方位、多参数采集及功能成像等优势，然而，MRI 技术是一种速度相对较慢的成像模式，数据采集的时间过长是其最大缺点。压缩感知（Compressed Sensing，CS ）理论是近年来新兴的研究方向，它指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不
2、相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架下，采样速率不决定于信号的带宽，而决定于信息在信号中的结构和内容。目前，基于 CS 理论的 MRI 技术尚处于理论研究阶段，很多关键问题需要解决，主要包括：k 空间部分采样方式的确定，不同类型成像的稀疏性表达，相关的快速优化算法，以及从医学临床的角度对重建图像质量进行评价。本文首先简要介绍了 MRI 技术的基本原理和 CS 理论的基本概念。从 k 空间重建原理、k 空间的欠采样填充轨迹、MRI 图像的稀疏化方法、相关
3、的恢复重建算法的角度对基于 CS 理论的 MRI 技术的发展过程进行了详细说明 ；之后选取脑部断层 MR 图像进行仿真，对 k 空间分别进行矩形 FOV、放射状、螺旋状和 Propeller 轨迹欠采样，并通过 5 种恢复算法进行恢复重建，并从均方误差、峰值信噪比、结构化相似度和运算时间等客观指标方面进行比较分析，最终得出 k 空间欠采样选择放射状欠采样轨迹、稀疏化方法选择 6 层 haar 小波变换，恢复算法选择线性 Bregman 法可以在较短恢复时间内取得较优恢复效果的结论；最后对基于 CS 理论的 MRI 技术下一步的研究和应用进行展望。关键词：压缩感知，磁共振成像，k 空间欠采样，恢
4、复算法AbstractIIAbstractMagnetic resonance imaging (MRI)inspection has no trauma and no X-ray.With high contrast and resolution, it possesses the advantages of multiparameter, comprehensive and functional imaging.However, magnetic resonance imaging (MRI) technology is a kind of relatively slow imaging
5、mode.Its biggest drawback is the long scan time.Theory of Compressed Sensing (CS) is proposed in recent years. It pointed out that as long as the signal is compressible or in a transform domain is sparse, a observation matrix unrelated to transform bases can project high dimensional signal to a low
6、dimensional space, and then solving an optimization problem can reconstruct the original signal from these few projection with high probability. It can be proved that the projection contains enough information to reconstruct signal.Under the theoretical framework, the sampling rate is determined by
7、the structure and content of information in the signal, instead of the bandwidth of the signal.So far, the MRI technology based on the theory of the CS was still in the stage of theoretical research. A lot of key problems need to be solved,including: the k-space undersampling way, sparse representat
8、ion of different image, the relevant fast optimization algorithm and the clinical evaluation of reconstruction image quality.This paper first briefly introduces magnetic resonance imaging (MRI) technology and the CS theory.From the aspects of k-space reconstruction, k-space undersampling, sparse met
9、hods and reconstruction algorithms of MRI, this paper reviews the development of MRI techniques based on the theory of the CS. After performing brain MR image simulation, using the FOV,radial,spiral,Propeller undersampling trajectory of k-space and 5 recovery algorithms, the reconstructed images are
10、 compared each other and analysed from mean square error, peak signal-to-noise ratio and structural similarity and computing time to concluded that choosing radial undersampling trajectory of k space, haar wavelet transform, linear Bregman recovery algorithm can recover images well in a shorter reco
11、very time. Finally, the research and application of MRI technology based on the theory of CS is also prospected.Key words: Compressed Sensing, magnetic resonance imaging, k-space undersa-mpling, reconstruction algorithmII目录III目 录摘要 .IAbstract.II第 1 章 绪论 .11.1 磁共振成像技术与压缩感知理论 .11.1.1 磁共振成像技术 .11.1.2 压
12、缩感知理论 .11.1.3 基于压缩感知理论的磁共振成像 .21.2 主要研究内容和章节安排 .3第 2 章 磁共振成像原理 .52.1 核磁共振理论 .52.1.1 原子核的磁性 .52.1.2 磁共振的基本原理 .62.1.3 弛豫和弛豫时间 .72.2 磁共振成像 .82.2.1 磁共振成像的空间定位 .82.2.2 k 空间与磁共振图像重建 .92.3 本章小结 .10第 3 章 压缩感知基本理论 .113.1 信号的稀疏表示 .113.2 压缩观测 .143.2.1 随机矩阵 .153.2.2 确定性矩阵 .163.2.3 结构随机矩阵 .163.3 重建算法 .173.3.1 基追
13、踪法 .173.3.2 匹配追踪法 .183.3.3 正交匹配追踪法 .193.4 本章小结 .22第 4 章 基于 CS 理论的 MRI 技术 .23目录IV4.1 K 空间的欠采样填充轨迹 .234.2 MRI 图像常用稀疏化方法 .254.3 MRI 欠采样恢复算法 .254.3.1 直接填零法 .264.3.2 二维 OMP 法 .264.3.3 快速收缩阈值法 .264.3.4 线性 Bregman 法 .294.3.5 共轭梯度法 .314.4 本章小结 .32第 5 章 压缩感知效果对比 .335.1 图像重建质量的客观评价方法 .335.1.1 均方误差（mean square
14、 error，MSE ） .335.1.2 峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR) .335.1.3 结构化相似度（structural similarity，SSIM） .335.1.4 运算时间 .345.2 实验与分析 .345.3 本章小结 .42第 6 章 结论和展望 .43附录 A 图表索引 .45附录 B 评价数据 .47参考文献 .53综 述 .57致 谢 .63绪论1第 1 章 绪论1.1 磁共振成像技术与压缩感知理论1.1.1 磁共振成像技术磁共振成像（MRI，magnetic resonance imaging）是根据生物体磁性核（氢
15、核）在磁场中表现出的共振特性成像的高新技术 1。MRI 是以核磁共振（Nuclear Magnetic Resonance，NMR）这一物理现象为理论基础的，之所以省去“核”字，是为了突出这一检查技术不存在对人体有害的电离辐射的优点，使之区别于要使用 X 射线的放射科检查以及要使用放射性核素的核医学检查。从 NMR 的发现到 MRI 设备的诞生，这中间经历了几代物理学家及医学家长达数十年的辛勤努力。1946 年美国物理学家布洛赫（Felix Bloch）和珀赛尔（Edward Purcell）分别独立地发现核磁共振现象，并荣获 1952 年诺贝尔物理学奖。1972 年美国内科医生达玛迪安（Ra
16、ymond Damadian）提出利用磁共振原理测定活体组织的纵向弛豫时间 T1 和横向弛豫时间 T2 的方法，以及用于医学诊断的设想。1973 年，美国州立大学教授劳特伯（Paul Lauterbur）首次使用梯度磁场进行空间编码，产生了第一幅磁共振图像。从此，成像概念发生了质的飞跃。尤其近年来，随着超导技术、低温技术、电子技术、成像技术和计算机等相关技术的进步，MRI 技术得到了飞速的发展。 MRI 系统已经成为当今医学影像领域最先进、最昂贵的诊断设备之一。目前以分子探针和谱成像为标志的MRI 分子影响学使成像进入一个新的层次。然而，数据采集时间较长仍然是磁共振成像技术的最大缺点，由于成像
17、速度慢，使该项检查的适用范围大为减少，例如不适合运动器官和危重病人的检查；对于躁动或者丧失自制能力的患者，如不使用镇静剂，也是难以成像；儿科的某些应用同样受到限制。缩短成像时间不仅可以提高效率和病人的舒适度、减少时间依赖性伪影，还是实现心血管检查、功能信息获取、实时温度检测与介入手术成像等动态成像的关键。因此缩短成像时间一直以来都是磁共振成像技术发展的重要目标之一。现在的研究者致力于通过分析 k 空间图像数据的冗余性，从而减少成像所需的采集数据，达到缩短成像时间的目的。本文论述的部分 k 空间重建就是针对部分 k 空间采集技术的重建方法。部分 k 空间采集技术就是在 k 空间数据时，只采集 k
18、 空间数据，以达到缩短扫描时间的一种应用广泛的扫描采集技术。1.1.2 压缩感知理论近几年来出现的一种新颖的理论Compressed sensing（也称为绪论2Compressive sampling)2-7使得采样速率低于信号带宽两倍时精确恢复信号成为可能。它指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架下，采样速率不决定于信号的带宽，而决定于信息在信号中的结构和内容。事实上，压缩感知
19、理论的某些抽象结论源于 Kashin 创立的范函分析和逼近论 8，最近由Candes，Romberg 4，Tao 9和 Donoho5等人构造了具体的算法并且通过研究表明了这一理论的巨大应用前景。压缩感知理论是应用数学与信号处理领域中一个非常新的研究方向，自从2006 年有了正式的论文发表之后，迅速引起了国内外相关领域研究者的高度重视，在医疗成像 10、光学/遥感成像 11,12、无线通信 13,14、目标识别 15、雷达探测 1619、地震数据重建 20、图像融合 21、冷链物流检测 22、声音信号的采集与压缩 23,24等领域均受到高度关注，并被美国科技评论评为“2007 年度十大科技进展
20、” ，D Donoho 因此还获得了“2008 年 IEEE IT 学会最佳论文奖” 。该领域的先驱者有加州大学洛杉矶分校的 Terence Tao、加州理工大学的Emmanuel Candes、斯坦福大学的 David Donoho、以及莱斯大学的Richard Baranink 等。国内关于这方面的研究则刚刚起步，发表的论文甚少，但中科院电子所、西安电子科技大学、燕山大学、西南交通大学、华南理工大学、北京交通大学等单位的一些研究所已经着手开始研究。在硬件实现上，Rice 大学的 Baranink 教授等研制出单像素相机 25和 A/I 转换器 26，吸引了国内外众多媒体的眼球。随后也有一些
21、硬件方面的相继报道，例如，麻省理工学院 Wald 教授等人研制出 MRIRF 脉冲设备 27，麻省理工学院Freeman 教授等人研制出编码孔径相机 28，伊利诺伊州立大学 Milenkovic 等人研制出 DNA 微阵列传感器 29等等，然而，由于缺乏有效的压缩感知矩阵判别理论，除 Rice 大学的单像素相机（硬件成本昂贵，重建算法效率低下）外，其他硬件均缺乏严格的理论分析。经过近两年的发展，压缩感知在理论方面已经取得了许多重要的成果，许多研究者已经将之投入到实际应用当中，如信息、医学等学科。1.1.3 基于压缩感知理论的磁共振成像如今，成像在医疗诊断方面起到了着非常重要的作用。现在临床 M
22、RI 的几个研究热点是加速 MR 功能成像、卡尔曼滤波重建磁共振实时动态成像、插值法加速二维多层面成像、分割算法快速成像、加速超极化 3D MR 波谱成像、加速 MR 电影成像、高空间分辨率并行采集成像等 30。绪论3在 MRI 领域，由于扫描仪器所采集的不是直接的图像像素，而是由图像经过全局傅里叶变换将原始采集的时域图像转化得到的频域图像。运用压缩感知理论可以大大减少采样数据量，从而为后续数据传输、处理和存储减小压力，降低对硬件的需求；此外，该技术创新地改变医学信息的获取方式，可以将速度提高到原来的几千倍，在能保证令人满意的空间分辨率的情况下，缩短扫描时间，减少病人在扫描过程中的不适；在保持
23、原有采样时间的基础上，可以进一步提高现有设备的空间分辨率，使医生的诊断更为可靠，故其在临床 MRI 的应用备受关注。磁共振成像应用范围广，对于不同成像部位以及成像的不同类型，可能会对 k 空间数据欠采样方法、图像稀疏化方法以及恢复重建算法的选择产生影响，因此，针对成像部位和类型的差异选择合适的压缩感知方案十分重要。1.2 主要研究内容和章节安排本文主要针对压缩感知理论在磁共振成像技术中的应用进行了研究，并且通过多种磁共振图像进行仿真。研究内容主要包括以下几个方面：（1） 从数据稀疏化、数据采样、数据恢复三个方面学习压缩感知理论的基本概念；（2） 磁共振成像技术的基本原理以及数据采样方式；（3）
24、 分析磁共振成像数据的稀疏性并对比使用多种稀疏变换的成像效果；（4） 磁共振成像数据 k 空间欠采样轨迹的选择；（5） 基于压缩感知的磁共振成像的信号重构恢复算法；（6） 从均方误差、峰值信噪比、结构化相似度和运算时间四个方面分析压缩感知应用于 MRI 的优越性，并得出最优的稀疏化方法、 k 空间欠采样轨迹以及恢复算法。本文共分为六章，主要内容安排如下：第 1 章是绪论，对磁共振成像技术与压缩感知理论的基本原理、发展历史与现状以及本课题的研究意义做了简要介绍；第 2 章介绍了磁共振成像技术的基本原理，重点对空间编码技术、k 空间的特性做了较为详细的介绍，为之后的 k 空间欠采样方法的研究做好必
25、要准备；第 3 章阐述了 CS 理论的基本要素， CS 理论中常用的欠采样方法、稀疏化方法以及恢复重建算法，结合 lena 图像和批量离子浓度检测分别说明稀疏化方法和恢复算法的优劣；第 4 章介绍基于 CS 理论的 MRI 技术的几种常用 k 空间欠采样方法、稀疏绪论4化方法以及恢复重建算法；第 5 章介绍均方误差、峰值信噪比、结构化相似度和运算时间四个客观评价指标，将多种欠采样轨迹、稀疏表示和恢复算法相互结合，在四种欠采样率情况下恢复图像，并从上述评价指标方面进行对比，得出最优压缩感知方案；第 6 章对本文所做的工作进行总结和展望。磁共振成像原理5第 2 章 磁共振成像原理本章主要介绍了磁共
26、振成像的基本原理 31，主要包括核磁共振、磁共振信号的产生与检测、磁共振成像的空间编码与图像重建等内容。对 k 空间采样过程以及 k 空间的特性做了较为详细的介绍，为后面基于 CS 的 MRI 的 K 空间欠采样做好理论上的准备。2.1 核磁共振理论世界是物质的，物质是由分子构成的，分子又是由原子构成的。原子由原子核和核外电子组成，原子核由带正电荷的质子和不带电荷的中子组成。核磁共振所要研究的对象就是原子核，而且是具有磁性的原子核。磁共振成像是以核磁共振为理论基础的，为了突出这一检查技术不存在对人体有害的电离辐射的优点，使之区别于要使用 X 射线的放射科检查以及要使用放射性核素的核医学检查，因
27、此将“核”字省去。2.1.1 原子核的磁性在微观世界中，电子、中子、质子和原子核等微观粒子除了具有一定的大小、电荷、质量等属性外，还有一种固有属性-自旋，用自旋角动量（spin angular momentum）描述。为便于理解，微观粒子的自旋运动可以简单地看成微观粒子的自旋，虽然实际情况并非如此。微观粒子除了具有自旋角动量外，还具有轨道角动量（orbital angular momentum） 。原子核的自旋 的取值是离散的、不连续的、也就是说是量子化的：IL(2-1)1(ILI其中， 为原子核的自旋量子数（spin quantum number） ，取整数和半整I数： ， 为普朗克常数。 大小取决于 值，不同的原子核 值不同。2/hIII处于静磁场中的原子核，它的自旋在空间所取的方向也是离散的、不连续的，具有空间量子化的性质，即 在静磁场方向只能有若干个特定的取向，取IL向的数量取决于 值的大小，为 种，这也使得 在静磁场方向（ 方向）I12ILz的投影值 有 个不同的分量，分别为：zL12(2-2)ImIz 、 1,其中， 为核自旋磁量子数（spin magnetic quantum number） 。Im原子核可看成是具有一定质量与体积的均匀带点球体，因此原子核的自旋运动会产生绕核心旋转的环形电流，继而会在其周围空间产生磁场，所以自旋
