1、 1不定积分内容概要名称主要内容不定积分的概念设 ， ，若存在函数 ，使得对任意()fxxI()Fx均有 I()Ff或 ，则称 为 的一个原函数。()dxfd()xf的全部原函数称为 在区间 上的不定积分，f I记为 ()()fxdFC注：（1）若 连续，则必可积；（2）若f均为 的原函数，则 。故不(),FxG()x()FxGC定积分的表达式不唯一。性质性质 1： 或 ；()()dfxf()()dfxfdx性质 2： 或 ；FCFC性质 3： ， 为()()()fxgdxfxgdx,非零常数。第一换元积分法（凑微分法）设 的 原函数为 ， 可导，则()fu()Fu()x有换元公式： ()()
2、()fxdfxdxC第二类换元积分法设 单调、可导且导数不为零，()xt有原函数 ，则 f()Ft1()()()xdftdCx不定积分 计算方法分部积分法()uvuxvxvdu 2有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，
3、几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题 4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！(1) 2dx思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。521x解： 53222dxC(2) 31()x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 11411333222()()dxdxxdxC3(3) 2x（ ）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。3解： 2231lnxxxddC（ ）(4) (3)思路:根据不
4、定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153222()xdxdxxC(5) 421思路:观察到 后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分422313xx项，分别积分。解： 422323113arctnxdxdxxC(6) 2思路:注意到 ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，2221xx分别积分。解： 221arctn.1xddxxC注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7) xdx341（ -+）2思路:分项积分。解： 3412xxdxxd34（ -）23
5、1ln| .4C(8) 22()1dxx思路:分项积分。解： 2 22 2311()33arctn2rsi.1dxdxdxxCx(9)4思路: ？看到 ，直接积分。x17248xx解： 71588.dC(10) 21()x思路:裂项分项积分。解： 222221111() arctn.()dxdxdxxC(11) 1xe解： 2()1().xxxxxeddeCe(12) 3x思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然 。3xxe（ ）解： 33.ln()xxxeedC（ ）（ ）(13) 2cot思路:应用三角恒等式“ ”。22cots1x解： 22ct(cs1)xdxdC(1
6、4) 35x思路:被积函数 ，积分没困难。2253xx（ ）解： ()235 .ln2xxxxddC （ （ ） ）(15) 2cos思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解： 21s1cssin.2xxddxC(16) o思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解： 22111sectan.cs2csdxdxxdC(17) oin思路:不难，关键知道“ ”。22oscsin(cosin)(cosin)xxxx5解： cos2(cosin)sico.inxdxdxC(18) 2思路:同上题方法，应用“ ”，分项积分。22cossinxx解： 222 22cossin1i
7、nicoxdd2ecota.xC(19) 1()xd思路:注意到被积函数 ，应用公式(5)即可。222111xxx解： 21()arcsin.1xddCx(20) 2cos1x思路:注意到被积函数 ，则积分易得。2221coscs1ecxx解： 221costanse.2xddC2、设 ，求 。()arcofxC()fx知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质 1： 即可。()()dfxf解：等式两边对 求导数得：x2211(),()xffx3、设 的导函数为 ，求 的原函数全体。()fxsin()fx知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
8、思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知， 1()sincosfxdxC所以 的原函数全体为： 。()fx 12sindxxC（ ）4、证明函数 和 都是 的原函数21,xeshxeceh-知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。6解： ，而2xxechs2 2xxxxddeshec1()5、一曲线通过点 ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒2,3数，求此曲线的方程。知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即
9、可。解：设曲线方程为 ，由题意可知： ， ；()yfx1()dfx()ln|fxC又点 在曲线上，适合方程，有 ，2(,3)e 23ln(,eC所以曲线的方程为 ()ln|1.fx6、一物体由静止开始运动，经 秒后的速度是 ，问：t 23(/)tms（1） 在 秒后物体离开出发点的距离是多少？3（2） 物体走完 米需要多少时间？60知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为： ，()yft则由速度和位移的关系可得： ，233()tftCdt又因为物体是由静止
10、开始运动的， 。3(0),()fft(1) 秒后物体离开出发点的距离为: 米；3 327(2)令 秒。360tt习题 4-21、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解： 234111()(73);2();(2);dxxdxdx7222 2111(4)();5(ln|);(6(35ln|);78ta29arct.cosxxddxede xtt d2、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分
11、基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！（1） 3ted思路:凑微分。解： 33311()ttteeC(2) (5)xd思路:凑微分。解： 33 411()(5)()(35)20xxxCd(3) 2d思路:凑微分。解： 111(32)ln|32|.3xdxxC(4) 5思路:凑微分。解： 1 23 33311 1(5)(5)()(5).5dxdxxdxC(5) (sin)bae思路:凑微分。解： 11(sin)sin()()cosx x xb bbaedaxdeaeC(6) cot思路:如果你能看到 ，凑出 易解。1()t2dt()dt8
12、解： cos2cos()2sintdtdtC(7) 10tanex思路:凑微分。解： 102101tasectan(t)tan.xdxxC(8) l思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。解： (ln|)(ln|)l|n|lndxxdxxC(9) 22ta1x思路:本题关键是能够看到 是什么，是什么呢？就是 ！这有一定难21dx 21xd度！解： 22222tan1tan1ln|cos1|xdxxCd(10) sicox思路:凑微分。解：方法一：倍角公式 。sin2icosxxcl|2t|sincosidxdC方法二：将被积函数凑出 的函数和 的导数。taxanx22o11sectl|tan|
13、sicsinctnxxdxC方法三： 三角公式 ，然后凑微分。siox22siicscosisinconcoinndxx dxdxl|li|ln|ta|Cx(11) xde思路:凑微分： 。2221()xxxxedde解： 22arctn()xxxxdeCee(12) cos()9思路:凑微分。解： 22211cos()cossinxdxdxC(13) 23思路:由 凑微分易解。22211(3)6xdxdx解： 122222(3) 1()()363 xxCxx(14) cos()inttd思路:凑微分。解： 2 2 211cs()icos()incos()s()ttttdtdt31o.C(15
14、) 4xd思路:凑微分。解： 3344444 41313()ln|1|.11xxdddxdxxC(16) 3sinco思路:凑微分。解： 332si11cos.cxddxC(17) 920x思路:经过两步凑微分即可。解： 9 1010102021021 arcsin()2()xxdxdxdC(18) 294x思路:分项后分别凑微分即可。解： 22211949494xxdddx1022 2222114238913arcsin()94.xddxxxC（ ） （ ）（ ）(19) 21dx思路:裂项分项后分别凑微分即可。解： 2 11()12()()2dxdxdxx(11(2)(2)ln.21 2x xddxC (20) 2(45)x思路:分项后分别凑微分即可。解： 22 2145114(45)(45)()5()xdxddxx（ ） （ ） 21()ln| .() Cxx(21) 210()d思路:分项后分别凑微分即可。解： 2221010101010()()()() (xddxxdx98910)()()(xx9798911.()4()()Cx(22) 8xd思路:裂项分项后分别凑微分即可。解： 2844444111()()21()xdxdxddxx
