1、 Y.P.M 数学竞赛讲座 1 竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:表达形式:代数式:z=a+bi(a,bR);三角式:z=r(cos+isin)(r0,R);指数式:z=re i(r0,R);欧拉公式:ei=cos+isin,R.共轭与模: = ; = ; = ;|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|;|z1z2|=|z1|z2|;| |=21z21z)(21z z;z =|z|2=| |2;z= zR;|z|=|Re(z)| zR.|21
2、 运算法则:乘法:r 1(cos1+isin2)r2(cos2+isin2)=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2);除法: )sin(co2211r= (cos(1-2)+isin(1-2);乘方:r(cos+isin) n=rn(cosn+isinn);开方:z n=r(cos+isin) z2r = (cos +isin )(k=0,1,2,n-1).nknk2.辐角与三角:辐角性质:定义:若 z=r(cos+isin)(r0,R),则 称为复数 z 的辐角,记为 Argz;特别地,当 0,2)时,则 称为复数 z 的辐 角主值, 记为 argz;运算:Argz 1+Argz2=
3、Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg( )=Arg(z1 );nArgz=1z2zArgzn;性质:若 z=cos+isin,则 1+z=2cos (cos +isin );1-z=-2sin (cos +isin ).单位根:定义:方程 xn=1 的 n 个根叫做 n 次单位根,分别记为 k(k=0,1,2,n-1); k=(cos +isin )(k=0,n2k1,2,n-1);性质 :0=1;k=1k;kj=k+j;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1, 1,12, 1n-1;1+1+12+ 1n-1=0,(x-1)(x-1)(x-12)(x- 1n-1)=xn-
4、1.基本结论:实系数 n 次方程的虚根 与其共轭复数 成对出现;若|z 1|=|z2|=|zn|,且 z1+z2+zn=0,则 z1,z2,zn对应 的点是正 n 边形的顶点,且正 n 边形的中心在坐标原点;若复数 z1,z2对应的点分别为 Z1,Z2,且 z1=z0z2,则Z1OZ2=argz0,或 argz0-.3.复数与几何:基本原理:点的对应:复数 z=x+yi 与点 Z(x,y)成一一对应;向量对应:复数 z=x+yi 与向量 =(x,y)成一一对应;OZ距离公式:复数 z1,z2对应的点分 别为 Z1,Z2,则|Z 1Z2|=|z1-z2|;旋转公式:复数 z1,z2对应的点分别为
5、 Z1,Z2,向量 绕点21zZ1逆 时针旋转 角,再伸长 r(r0)倍,则所得向量 中的 Z 对应的复数 z=z1+r(z2-z1)(cos+isin).z线性结论:定比分点:若复数 z,z1,z2对应的点分别为 Z,Z1,Z2,点 Z 分有向线段 的比为 (-1),则 z= ;三z 12z点共线:若复数 z,z1,z2对应的点分别为 Z,Z1,Z2,则三点 Z,Z1,Z2共线的充要条件是:Z=Z 1+(1-)Z2;平行条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分 别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z 1-z2=(z3-z4);垂直条件:若复数 z1,z2,z3
6、,z4对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z 1-z2=(z3-z4)i.2 Y.P.M 数学竞赛讲座 几何结论:三角形面积:若复数 z1,z2,z3对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则Z 1Z2Z3的面积= 复数(z 1 +z2 +z3 )的23zz虚部;三角形形状:若复数 z1,z2,z3对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则Z 1Z2Z3为正三角形的充要条件是:z 12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1;或 z1+z2+2z3=0;三角形相似:若复数 z1,z2,z3对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,复数 w1,w2,w3对应的点分别为 W
7、1,W2,W3,则 Z1Z2Z3W1W2W3的充要条件是: = ;四点共圆:若复数 z1,z2,z3,z4对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则四点32wZ1,Z2,Z3,Z4共圆的充要条件是: : R.143z2二、典型问题1.复数概念例 1:(2006 年全国高中数学联赛试题 )若对一切 R,复数 z=(a+cos)+(2a-sin)i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为 .解析:类题:1.(2010 全国高中数学联赛黑龙 江初赛试题) 已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数,则实数 m 的值为 .21z(2011年全国高中数学联赛湖南初 赛试题) 已知复数z 1满
8、足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z2为实数的条件是z 2= .2.(1999 年全国高中数学联赛河南初 赛试题) 若 为纯虚数,则|z|= .31z3.(2011 年全国高中数学联赛浙江初 赛试题) 如果复数(a+2i)(1+i)的模为 4,则实数 a 的值为 .4.(1994 年全国高中数学联赛试题 )给出下列两个命题:设 a,b,c 都是复数 ,如果 a2+b2c2,则 a2+b2-c20;设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2-c20,则 a2+b2c2.那么下述说法正确的是( )(A)命题正确,命题也正确 (B)命题正确,命题错误 (C)命题错误,
9、命题也错误 (D)命题错误,命题正确5.(2010 年全国高中数学联赛浙江初 赛试题) 设 z 是虚数,w=z+ ,且 -10)倍,则所得向量 中的 Z 对应的复数 z=z1+r(z2-z1)(cos+isin).z线性结论:定比分点:若复数 z,z1,z2对应的点分别为 Z,Z1,Z2,点 Z 分有向线段 的比为 (-1),则 z= ;三z 12z点共线:若复数 z,z1,z2对应的点分别为 Z,Z1,Z2,则三点 Z,Z1,Z2共线的充要条件是:Z=Z 1+(1-)Z2;平行条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分 别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z 1
10、-z2=(z3-z4);垂直条件:若复数 z1,z2,z3,z4对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z 1-z2=(z3-z4)i.2 Y.P.M 数学竞赛讲座 几何结论:三角形面积:若复数 z1,z2,z3对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则Z 1Z2Z3的面积= 复数(z 1 +z2 +z3 )的23zz虚部;三角形形状:若复数 z1,z2,z3对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则Z 1Z2Z3为正三角形的充要条件是:z 12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1;或 z1+z2+2z3=0;三角形相似:若复数 z1,z2,z3对应的点分别为
11、Z1,Z2,Z3,复数 w1,w2,w3对应的点分别为 W1,W2,W3,则 Z1Z2Z3W1W2W3的充要条件是: = ;四点共圆:若复数 z1,z2,z3,z4对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则四点32wZ1,Z2,Z3,Z4共圆的充要条件是: : R.143z2二、典型问题1.复数概念例 1:(2006 年全国高中数学联赛试题 )若对一切 R,复数 z=(a+cos)+(2a-sin)i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为 .解析:|z|2 (a+cos) 2+(2a-sin) 24 2acos-4asin3-5a 2 -2 asin(+)3-55a2 2 |a|35-5a
12、2 ( |a|-1)( |a|+3)0 a- , .55类题:1.(2010 全国高中数学联赛黑龙 江初赛试题) 已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数,则实数 m 的值为 .21z(2011年全国高中数学联赛湖南初 赛试题) 已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z2为实数的条件是z 2= .2.(1999 年全国高中数学联赛河南初 赛试题) 若 为纯虚数,则|z|= .31z3.(2011 年全国高中数学联赛浙江初 赛试题) 如果复数(a+2i)(1+i)的模为 4,则实数 a 的值为 .4.(1994 年全国高中数学联赛试题 )给
13、出下列两个命题:设 a,b,c 都是复数 ,如果 a2+b2c2,则 a2+b2-c20;设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2-c20,则 a2+b2c2.那么下述说法正确的是( )(A)命题正确,命题也正确 (B)命题正确,命题错误 (C)命题错误,命题也错误 (D)命题错误,命题正确5.(2010 年全国高中数学联赛浙江初 赛试题) 设 z 是虚数,w=z+ ,且 -1w2,则 z 的实部取值范围为 .z1解:设 z=a+bi w=a+bi+ =a+ +(b- )i.由-1w2 w 为实数 b- =0 b=0,或 a2+b2=1.2bai2ba2ba2ba当 b=0 时,a0,w=a
14、+ |w|2,不符合-1w2;当 a2+b2=1 时,w=2a,由-1w2 - a1.1 12.代数形式例 2:(1995 年全国高中数学联赛试题 )设 , 为一对共轭复数 ,若|-|=2 ,且 为实数,则|= .32解析:设 =a+bi(a,bR) =a-bi =a 2+b2R,-=2bi,|-|=2 |b|= , = 为实数323)( 3=(a+bi)3=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i 为实数 3a2b-b3=0 |a|=1 |=2.类题:1.(2011 年全国高中数学联赛江 苏初赛试题) 复数(1+i) 4+(1-i)4= .(2005 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 计算
15、: = .！iii10210Y.P.M 数学竞赛讲座 3 2.(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀 请赛( 高二)试题) 已知 i2=-1,在集合s|s=1+i+i 2+i3+in,nN中包含的元素是 .3.(2007 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 复数数列a n满足 a1=0,an=an-12+i(n2,i 为虚数单位,则它的前 2007 项的和= .4.(2000 年湖南高中数学夏令营试题 )设复数数列z n满足 z1=i,zn+1=-zn2-i,则|z 2000|= 5.(1991 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 使复数 z= 成为实数的所有 x 构成的集合是 .ixxxc
16、os)tan(is解:复数 z= 为实数 sinx+sin2x+i(2cos2xsinx-tanx)(cosx+i)为实数 sinx+sin2xixxxcostan2(ins +(2cos2xsinx-tanx)cosx=0 sin2x+cos2xsin2x=0 sin2x=0 sinx=0(cosx0) x=k.3.三角形式例 3:(1999 年全国高中数学联赛试题 )给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3满足: ,求|az 1+bz2+cz3|的值.|1321zz解析:由|z 1|=|z2|=|z3|=1,可设 z1=cos+isin,z 2=cos+isin,z 3=cos+i
17、sin + + =cos(-)+2z31zisin(-)+cos(-)+isin(-)+cos(-)+isin(-)=1 sin(-)+sin(-)+sin(-)=0 2sin cos -2sin cos =0 sin sin sin =0.22222当 sin =0 时,=2k+ z1=z2,由 + + =1 + =0 ( )2+1=0 = i |az1+bz2+cz3|=|(a+b 1z321z31z13z13zic)z1|= ;同理可得:当 sin =0 时,|az 1+bz2+cz3|= ;当 sin =0 时,|az 1+bz2+cz3|=2)(cba)(acb2.2)(c类题:1.
18、(1992 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 设 A、B、C 为ABC 的三内角 ,则复数 的AiCiBi2snco1)s)(s2(虚部是 .解: = =2 =2AiiCBi2snco1)s)(s2( )sin(cos2)si(c)i(cosAC Acosisnco)()(cos(A+B+C)+isin(A+B+C)=-2 ,虚部是 0.ACBcos ACBco2.(1992 年湖南高中数学夏令营试题 )已知复数 z1,z2满足|z 1|=|z2|=1,z1-z2=cos150+isin150,则 = .21z解:设 z1=cos+isin,z 2=cos+isin z1-z2=(cos-cos)+(sin-sin)i=cos15 0+isin150 cos-cos=cos150,sin-sin=sin15 0 (cos-cos) 2+(sin-sin) 2=1 cos(-)= ,sin-21sin= =cos(-)+isin(-)= i.231z 133.(2000 年全国高中数学联赛河北初 赛试题) 设|z 1|=|z2|=a(a0),且 z1+z2=m+mi,其中 m 为非零实数.则 z13z23的值是 .解:设 z1=acos+aisin,z 2=acos+aisin, 由 z1+z2=m+mi a(cos+cos)=m,a(sin+sin)=m cos+cos=
