1、 学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 坐标系与参数方程 知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,(0):xyA点 P(x,y)对应到点 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.()Pxy2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫OOx做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐
2、标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设 M 是平面内一点,极点 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始边,OOx射线 为终边的角 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对 叫做点 M 的极坐标,x(,)记作 .(,)一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.0,特别地,当点 在极点时,它的极坐标为 (0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的M极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极0,2 ()坐标 表示的点也是唯一确定的.(,)3.极坐标和直角坐标的互
3、化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： (2)互化公式:设 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 ,极坐标是 ( ),M()xy,)0于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 直角坐标 (,)xy极坐标 (,)互化公式cosiny22ta(0)xy在一般情况下,由 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.taM4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆r(02)r圆心为 ,半径(0)为 的圆r2cos()2r圆心为 ,半()2径为 的圆rsin(0)r
4、过极点,倾斜角为的直线(1)()()RR或(2) 00和学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 过点 ,与极轴(0)a垂直的直线cos()2a过点 ,与极()2a轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的()2),(),()唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 点 可以表示为,(,)4M等多种形式,其中,只有 的极坐标满足方5(,2)(,2)444或 或 - (,)4程 .二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
5、坐标 都是某个变数 的函数,xyt,并且对于 的每一个允许值 ,由方程组所确定的点 都在这条曲线上,那()xftygt ()M么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于,xyt参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求,xyt()xft学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 出另一个变数与参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与()y
6、gt()xftyg普通方程的互化中,必须使 的取值范围保持一致.,x注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速OrM0 O圆周运动，设 ，则 。(,)xycos()in为 参 数这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度。r0M圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，(,)ab22()()xaybr它的参数方程为： 。cosinxary为 参 数4椭圆的参数方程以坐
7、标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数Ox21(0),xyab方程为 ，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方cos()inxayb为 参 数 程是 其参数方程为 其中参数 仍为离心角，21(0),acos(),inxbya为 参 数 通常规定参数 的范围为 0，2 ） 。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的 02范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有02，在其他象限内类似。025双曲线的参数方程学而通 黄冈教育 教师：
8、 赵映雄 学生： 以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为 其Ox21(0,),xyab参数方程为 ，其中sec()tanxyb为 参 数 30,),.2且焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为21(,),yxab以上参数 都是双曲线上任意一点的cot(0,).sxbeya为 参 数 ， 其 中 且 离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为2(0)ypx2().xpty为 参 数7直线的参数方程经过点 ，倾斜角为 的直线 的普通方程是 而0(,)Mxy()2l00tan(),yx过 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为 。0, l0cosixt
9、(t为 参 数注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方0(,)Myl程为 ，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点0cosinxty()t为 参 数 tl0为终点的有向线段 的数量，当点 在 上方时， 0；当点 在(,)M00tM下方时， 0；当点 与 重合时， =0。我们也可以把参数 理解为以 为原0tMt 0点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的l单位长度相同。选修 4-4数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A 组学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B 组数
10、学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C 组数学选修 4-4 坐标系与参数方程基础训练 A 组一、选择题1若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）12()3xty为 参 数A B23C D2下列在曲线 上的点是（ ）sin2()coixy为 参 数A B C D 1(,)31,)4(2,3(1,3)3将参数方程 化为普通方程为（ ）2sin(xy为 参 数A B C Dyx2(3)yx2(01)yxy4化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）2cos0A B C D y2或 1x201y或 xy5点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ ）M(,3)MA B C D (2,)32(2,)3(
11、2,),(3kZ6极坐标方程 表示的曲线为（ ）cosinA一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 二、填空题1直线 的斜率为_。34()5xty为 参 数2参数方程 的普通方程为_。()2()tte为 参 数3已知直线 与直线 相交于点 ，又点 ，13:4xtly为 参 数 2:45lxyB(1,2)A则 _。AB4直线 被圆 截得的弦长为_。12()xty为 参 数 24xy5直线 的极坐标方程为_。cosin0x三、解答题1已知点 是圆 上的动点，(,)Py2xy（1）求 的取值范围；2x（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。0
12、xyaa2求直线 和直线 的交点 的坐标，及点1:()53xtly为 参 数 2:30lxyPP与 的距离。(,)Q3在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。216xy210xy学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 数学选修 4-4 坐标系与参数方程综合训练 B 组一、选择题1直线 的参数方程为 ， 上的点 对应的参数是 ，则点 与l ()xatyb为 参 数 l1P1t1P之间的距离是（ ）(,)PabA B C D 1t12t1t12t2参数方程为 表示的曲线是（ ）()2xty为 参 数A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线3直线 和圆 交于 两点，1()32xtt
13、y为 参 数 216xy,AB则 的中点坐标为（ ）ABA B C D (3,)(,)(3,)(3,)4圆 的圆心坐标是（ ）5cosinA B C D 4(,)3(5,)3(5,)35(,)35与参数方程为 等价的普通方程为（ ）21xty为 参 数A B 4221(0)4yxxC D 21(0)yx2(,2)y6直线 被圆 所截得的弦长为（ ）()ty为 参 数 22(3)(1)5xy学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： A B C D 9814082934二、填空题1曲线的参数方程是 ，则它的普通方程为21()xty为 参 数 ,t0_。2直线 过定点_。3()14xaty为 参 数
14、3点 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值为_。P(,)21xy2xy4曲线的极坐标方程为 ，则曲线的直角坐标方程为_。tancos5设 则圆 的参数方程为 _。()ytx为 参 数 240xy三、解答题1参数方程 表示什么曲线？cos(incs)()y为 参 数2点 在椭圆 上，求点 到直线 的最大距离和最小距离。P2169xyP342xy3已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)P6（1）写出直线 的参数方程。（2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积。l42yx,ABP,学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 数学选修 4-4 坐标系与参数方程.提高训练 C 组一、选择题1把方程 化为以 参数的参数方程是（ ）1xytA B C D 21tysin1xtycos1xtytan1xy2曲线 与坐标轴的交点是（ ）5()2xt为 参 数A B 1(0,),、 10,(,)52、C D 48、 89、3直线 被圆 截得的弦长为（ ）12()xty为 参 数 2xyA B 55C D 9104若点 在以点 为焦点的抛物线 上，(3,)PmF24()xty为 参 数则 等于（ ）A B 2C D 455极坐标方程 表示的曲线为（ ）cos0A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线6在极坐标系中与圆 相切的一条直线的方程为（ ）4sin
