1、1第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理微分中值定理为基础 ,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、费马引理：设函数 在点 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如果对()fx00
2、()Ux0x任意的 ，有 （或 ） ，那么 。0U()f0()f()f证：不妨设 时， ，对于 ，有0x0()fx0xUx，故当 时， ；00()(fxf0)(f当 时， ，0)(fx由保号性，0000()()limxffxfxf，故 。 0()fx罗尔定理（Rolle）：如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续 （2）在开区间 内可()fx,ab(,)ab导， （3） ，则至少存在一点 ，使得 在该点的导数ab()fx等于零： =0()f证明：由于 在 上连续，故在 上 有最大值 和最小值 。x,ab()fxMm 时，则 时， ，故 ， ，Mmab()fxm0(,)xab2即 内任一点均可作为
3、 ，(,)ab()0f当 时，因为 ，故不妨设 （或设Mm()fab()fabM） ，则至少存在一点 ，使 ，因 在 内可导，()f()fx,ab所以 0 0()()()li lim)x xfxffxff f 因 ，故 ， ，所以 。fM)f0f(0注：1、证明一个数等于 0 往往证其 ，又 ，或证明其等于它的相反数2、称导数为 0 的点为函数的驻点（或稳定点，临界点） 。3、罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.例： ,1()0xf()fx1,(),0,1fx,在 不 连 续 0,在 不 可 导 ()f图：4、罗尔定理中 这个条件是相当特
4、殊的,它使罗尔定理的应用受到()fab限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.例 1：不求导数, 判断函数 的导数有几个零点及()1(2)3,fxx这些零点所在的范围.解：因为 ，所以 在 上满足罗尔定理()230ff,的三个条件，所以在 内至少存在一点 ，使 ，即 是 的1, 11()01()fx一个零点，又在 内至少存在一点 ，使 ，即 是 的一个零点，(2,3)22()f2(f又 为二次多项式，最多只能有两个零点，故 恰好有两个零点fx )x分别在区间 ， 内。1,(,)3
5、例 2：证明方程 有且仅有一个小于 1 的正实根.510,x证: 1) 存在性 .设 则 在 0 , 1 连续 , (),f()fx(0),()3.ff由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根0,02) 唯一性 .假设另有 为端点的区间满11(,),x1(),f使 ()fx在 以 01,足罗尔定理条件 至少存在一点0x在 之 间 .使但 矛4()5f,故假设不真!二、拉格朗日中值定理1）Lagrange 中值定理（或有限增量定理，微分中值定理） ：如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续， （2）在开区间 内可导。()fx,ab(,)ab则至少存在一点 ，使(,)ab()()ffa证明：构
6、造辅助函数 ()()()fxf xa则 在 上连续，在 内可导，且,ab,b()0b所以至少存在一点 ，使 ，即()()0，所以()fafb()()fafa显然 时，此公式也成立，此公式称为 Lagrange 公式。ba注 1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在,b内某点 处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局(,)部与整体的纽带.2：直线 ，故(): ()fbaAByfax既为有向线段 值的函数。()MNxf直 线 M43：当 时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中()fab值定理的特殊情形。几何意义：若连续曲线 的弧 上除端点外处处具有不垂直于
7、 轴的()yfxABx切线，那么这弧上至少有一点 C，使曲线在 点处切线平行于弦 。ABLagrange 公式变形：设 ， ，则有在,ab,ab或 上就有,x(0)xx(0)（ ）)()ff1或记 ，则有 ，故也叫有限增量定理(xyfx注： 当 不是很小，而是有限时，)dfdy定理：如果函数 在区间 I 上的导数恒为零，则 （ ，C 为常(fx ()fxI数）证：对 ， ， （设 ） ，则由 Lagrange 公式有12I12222()(),()fxffxx由 ，有 ，所以 ，0 1)f(fCxI推论：连续函数 在区间 上有 ，则(,fxgI)(g()fxgC证：对 ，设 ，则 ，所以I)()
8、Ffx0Ff，即()FxC(fxC例 3：证明 arcsinros(1),2xx证：设 ()c,fx,则 在 上由推论可知 arsirsxC5令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立.2C(1),2f1,例 4：证明当 时， 。xln()1xx证：设 ，则 在 上连续，在 内可导，所以至少有()ln)ff0,(0,)x一点 ，使 ，即 ，0,x()fxln1(f因 ，当 时， 。1()f,)x1f所以 。ln()x例 5：设 在 上连续，在 内二阶可导，连接点f,ab(,)ab的直线和曲线 交于点（ ） ， ，证明(,)(,)ayfx,()cfacb在 内至少存在一点 ，使 。,
9、b()0证明：因 在 上连续，在 内可导，又因为 ，所以至少()fx,ab,abc存在一点 ，使1c1()fcf至少存在一点 ，使2(,)2()fcb因为点 ， ， 在同一直线上，所以 。又(,)afbf(,)cf 12()ff因为 在 内可导，故在 内可导，且在 上连续，yx(, 12, 2,由 Rolle 定理，至少有一点 ，使 ，()()0xff1(,)ab二、柯西中值定理柯西中值定理：如果函数 及 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()fxF,ab(,)ab在 内的每一点处均不为零，那么在 内至少有一点 ，使()Fx,ab(,)6成立。()()fbafF证明：构造辅助函数 ()()
10、 ()fbaxfaFxa则 在 上连续，在 内可导，且 ，那么由罗尔定理，,()0b至少存在一点 ，使 。(,)ab()0即 所以 ()()ffF ()()ffaFb设 为： ，其它与 Lagrange 辅助函数设法相同。AB()XxYfab注：1）Lagrange 定理是柯西中值定理 的情况()Fx2）：因 中 是同一个字母，若分子、分母分别使用 Lagrange 定理，则()fF为两个字母。 RoleLagrneCauchyAA推:f(a)=b:F(x)例 5：设函数 在0, 1上连续, 在(0, 1)内可导 . 试证明至少存在一点使(0,1).()2(1)0ff证: 问题转化为证 ()(
11、)2ff2fx设 则 在 0, 1 上满足柯西中值定理条件2(),Fx(),fxF因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使 (1)0()2ff7即 ()2(1)0ff课堂练习：1、设 为满足 的实数, 试证明方123,na 121()032naa程12coscos)naxx在 内至少存在一个实根.(0,)22、设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明: ()fxab()ab()0fab存在 , 使 成立.()ff3、设函数 在 上连续, 在 内可导, 且 若存在()fxab()ab()0fab常数 使得 试证至少存在一点 使得,c()0fc,()f8罗尔（Rolle，16521719）
12、简介：罗尔是法国数学家。1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特，1719 年 11 月 8 日卒于巴黎。罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得。1682 年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。1685 年进入法国科学院，担任低级职务，到 1690 年才获得科学院发给的固定薪水。此后他一直在科学院供职，1719 年因中风去世。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方
13、程的研究。罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。1700 年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集” 。瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论。约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。直到 1706 年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值。罗尔于
14、1691 年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。一百多年后，0)(xf 0)x(f即 1846 年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家 F.A.雷维里（R-evelli）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。17 岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766 年以前） 、柏林时期（17661786） 、巴
15、黎时期（17871813） 。拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过 500 篇。拉格朗日的学术生涯主要在 18 世纪后半期。当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主9流是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者1变分法 这
16、是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760 年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法” 。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法” 。变分法这个分支才真正建立起来。2微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出
17、历史性贡献，在1774 年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由 G.达布等人完成的。除此之外，他还是一阶偏微分方程理论的建立者。3方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的 N.H.阿贝尔和 E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的
18、一般方程为何不能用代数方法求解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.4.数论著 拉格朗日在 1772 年把欧拉 40 多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。后来还证明了著名的定理：n 是质数的充要条件为（n-1）!+1 能被 n 整除。5函数和无穷级数 同 18 世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数同是多项式的推广。泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。分析力学的创立者拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法。天体力学的奠基者首先在建立天体运动方
19、程上，他用他在分析力学中的原理，建议起各类天体的运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛作用。在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。10总之，拉格朗日是 18 世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。但主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用。使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用，促使力学和天文学（天
20、体力学）更深入发展。由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。柯西（Augustin Louis Cauchy ，17891857）业绩永存的数学大师19 世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛，与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要推伟大的数学定柯西。柯西 1789 年 8 月 21 日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日，拉普拉斯交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西
21、日后必成大器。拉格朗日向其父建议“赶快给柯西一种坚实的文学教育” ，以便他的爱好不致反他引入岐途。父亲加强了对柯西的文学教养，使他在诗歌方面也表现出很高的才华。1807 年至 1810 年柯西在工学院学习。曾当过交通道路工程师。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究，柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的青华，也柯西对付类科学发展所作的巨大贡献。1821 年柯西提出极限定义的 方法，把极限过程用不等式来刻划，后经维尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫 定义。当今所有微积分的教科书
22、都还（至少是在本质上）沿用着栖西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。他对微积分的解释被后人普遍采用。柯西对定分作了最系统的开创性工作。他把定积分定义为和的“极限” 。在定积分运算之前，强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念，运动和直觉了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛性理论。会后，拉普拉斯急忙赶回家中，根据栖西的严谨判别法，逐一检查其巨著天体力学中所用到的级数是否都收敛。栖西在其它方面的研究成果也很丰富。复变函数的微积分理论就是由他创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有 27 卷，其论著有 800 多篇。在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。
