1、第四章 生产论1. 下面(表 41)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表 41可变要素的数量 可变要素的总产量 可变要素的平均产量 可变要素的边际产量1 22 103 244 125 606 67 708 09 63(1)在表中填空。(2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答：(1)利用短期生产的总产量(TP) 、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表 42 所示：表 42可变要素的数量 可变要素的总产量 可变要素的平均产 量 可变要素的边际产 量1 2 2 22 12 6 103 24 8 12
2、4 48 12 245 60 12 126 66 11 67 70 10 48 70 8f(3 4) 09 63 7 7(2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表 42 可见，当可变要素的投入量从第 4 单位增加到第 5 单位时，该要素的边际产量由原来的 24 下降为 12。2. 用图说明短期生产函数 Qf(L ， eq o(K,sup6() )的 TPL 曲线、AP L 曲线和MPL 曲线的特征及其相互之间的关系。解答：短期生产函数的 TPL 曲线、 APL 曲线和 M
3、PL 曲线的综合图如图 41 所示。图 41由图 41 可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP L 曲线呈现出先上升达到最高点 A 以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的 MPL 曲线出发，可以方便地推导出 TPL 曲线和 APL 曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。关于 TPL 曲线。由于 MPLeq f(dTPL,dL) ，所以，当 MPL0 时，TP L 曲线是上升的；当 MPL0 时，TP L 曲线是下降的；而当 MPL0 时，TP L 曲线达最高点。换言之，在 LL 3 时，MP L 曲线达到零值的 B 点与 TPL 曲线达到最大值的 B点是相互对应的。此外，在
4、 LL 3 即 MPL0 的范围内，当 MPL 0 时，TP L 曲线的斜率递增，即 TPL 曲线以递增的速率上升；当 MPL0 时， TPL 曲线的斜率递减，即 TPL 曲线以递减的速率上升；而当MP0 时，TP L 曲线存在一个拐点，换言之，在 LL 1 时， MPL 曲线斜率为零的 A 点与TPL 曲线的拐点 A是相互对应的。关于 APL 曲线。由于 APLeq f(TPL,L) ，所以，在 LL 2 时，TP L 曲线有一条由原点出发的切线，其切点为 C。该切线是由原点出发与 TPL 曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是 APL 的最大值点。再考虑到 APL 曲线
5、和 MPL 曲线一定会相交在 APL 曲线的最高点。因此，在图 41 中，在 LL 2 时，AP L 曲线与 MPL 曲线相交于 APL 曲线的最高点 C，而且与 C点相对应的是 TPL 曲线上的切点 C。3. 已知生产函数 Qf(L， K)2KL0.5L 20.5K 2， 假定厂商目前处于短期生产，且 K10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TPL 函数、劳动的平均产量 APL 函数和劳动的边际产量 MPL 函数。(2)分别计算当劳动的总产量 TPL、劳动的平均产量 APL 和劳动的边际产量 MPL 各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候 APLMP L？它的值又是
6、多少？解答：(1)由生产函数 Q2KL0.5L 20.5K 2，且 K10，可得短期生产函数为Q20L0.5L 20.510 220L0.5L 250于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TP L20L0.5L 250劳动的平均产量函数：AP LTP L/L200.5L50/L劳动的边际产量函数：MP LdTP L/dL20L(2)关于总产量的最大值：令 dTPL/dL0，即 dTPL/dL20L0解得 L20且 d 2TPL/dL210所以，当劳动投入量 L20 时，劳动的总产量 TPL 达到极大值。关于平均产量的最大值：令 dAPL/dL0，即 dAPL/
7、dL0.550L 2 0解得 L10(已舍去负值)且 d 2APL/dL2100L 3 0所以，当劳动投入量 L10 时，劳动的平均产量 APL 达到极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数 MPL20L 可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量 L0 时，劳动的边际产量 MPL 达到极大值。(3)当劳动的平均产量 APL 达到最大值时，一定有 APLMP L。由(2)已知，当 L10 时，劳动的平均产量 APL 达到最大值，即相应的最大值为AP L 的最大值200.51050/10 10将 L10 代入劳动的边际产量函数 MPL20L，
8、得 MPL201010。很显然，当 APLMP L10 时，AP L 一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L10。4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要
9、素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。5. 已知生产函数为 Qmin2L， 3K。求：(1)当产量 Q 36 时，L 与 K 值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为 PL2，P K5，则生产 480 单位产量时的最小成本是多少？解答：(1)生产函数 Qmin2L， 3K表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有 Q2L3K 。因为已知产量 Q36，所以，相应地有 L18，K 12。(2)由 Q2L 3K，且 Q480，可得L240，K160又因为 PL2，P K5，所以有CP LLP KK2240516
10、01 280即生产 480 单位产量的最小成本为 1 280。6.假设某厂商的短期生产函数为 Q35L8L 2L 3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为 L6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L) eq f(Q(L),L) 358LL 2边际产量函数：MP(L)eq f(dQ(L),dL) 3516L3L 2(2)首先需要确定生产要素 L 投入量的合理区间。在生产要素 L 投入量的合理区间的左端，有 APMP，于是，有358L L 235 16L 3L 2。解得 L0 和 L4。L0 不合理，舍去，故取 L4。
11、在生产要素 L 投入量的合理区间的右端，有 MP0，于是，有 3516L3L 20。解得 L eq f(5,3) 和 L 7。Leq f(5,3) 不合理，舍去，故取 L7。由此可得，生产要素 L 投入量的合理区间为4,7。因此，企业对生产要素 L 的使用量为 6 是处于短期生产的合理区间的。7.假设生产函数 Q3L 0.8K0.2。试问：(1)该生产函数是否为齐次生产函数？ (2)如果根据欧拉分配定理，生产要素 L 和 K 都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？ 解答：(1)因为f(L，K)3(L) 0.8(K)0.2 0.80.2 3L0.8K0.23L 0.8K0.2
12、f(L，K)所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。(2)因为MP Leq f(dQ,dL) 2.4L 0.2 K0.2MP Keq f(dQ,dK) 0.6L 0.8K0.8所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为MP LLMP KK2.4L 0.2 K0.2L0.6L 0.8K0.8 K2.4L 0.8K0.20.6L 0.8K0.23L 0.8K0.2可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。8.假设生产函数 Q min5L,2K。 (1)作出 Q50 时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技
13、术替代率函数。 (3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数 Qmin5L,2K是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图 42 所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为 K/L5/2 。图 42当产量 Q50 时，有 5L2K50，即 L10，K25。相应的 Q50 的等产量曲线如图 42 所示。(2)由于该生产函数为固定投入比例，即 L 与 K 之间没有替代关系，所以，边际技术替代率 MRTSLK 0。(3) 因为 Qf(L，K) min5L,2Kf(L，K)min5L,2Kmin5L,2K所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。9.已知柯布道格拉斯生
14、产函数为 QAL K。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为 Qf(L，K)AL Kf(L，K)A(L) (K) ALK所以当 1 时，该生产函数为规模报酬递增；当 1 时，该生产函数为规模报酬不变；当 1 时，该生产函数为规模报酬递减。10. 已知生产函数为(a)Q5L eq f(1,3) Keq f(2,3) ；(b)Qeq f(KL,KL) ；(c)QKL 2；(d)Qmin3L， K。求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。(2)当 PL1，P K1，Q1 000 时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答：(1)( a)关于生产函数 Q5L eq f(1,3) Keq f(2,3) 。
15、MP Leq f(5,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3)MP Keq f(10,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3)由最优要素组合的均衡条件eq f(MPL,MPK) eq f(PL,PK) ，可得eq f(5,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3) ,eq f(10,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3) ) eq f(PL,PK)整理得eq f(K,2L) eq f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为Keq blc(rc)(avs4alco1(f(2PL,PK) L(b)关于生产函数 Qeq f(KL,KL) 。MP Leq f(K(KL
16、)KL,(KL) 2) eq f(K2,(KL) 2)MP Keq f(L(KL)KL,(KL) 2) eq f(L2,(KL) 2)由最优要素组合的均衡条件eq f(MPL,MPK) eq f(PL,PK) ，可得eq f(K2/(KL) 2,L2/(KL) 2) eq f(PL,PK)整理得eq f(K2,L2) eq f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,PK)eq f(1,2) L(c)关于生产函数 QKL 2。MP L2KLMP KL 2由最优要素组合的均衡条件eq f(MPL,MPK) eq f(PL,PK) ，可得eq
17、f(2KL,L2) eq f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,2PK) L(d)关于生产函数 Qmin(3L， K)。由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有 3LK，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为 K3L。(2)(a)关于生产函数 Q5Leq f(1,3) Keq f(2,3) 。当 PL 1，P K1，Q1 000 时，由其扩展线方程 Keq blc(rc)(avs4alco1(f(2PL,PK) L 得K2L代入生产函数 Q5Leq f(1,3) Keq f(2,3) 得5Leq f(1,3) (2L
18、)eq f(2,3) 1 000于是，有 Leq f(200,r(3,4) ，K eq f(400,r(3,4) 。(b)关于生产函数 Qeq f(KL,KL) 。当 PL 1，P K1，Q1 000 时，由其扩展线方程 Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,PK)eq f(1,2) L 得KL代入生产函数 Qeq f(KL,KL) ，得eq f(L2,LL) 1 000于是，有 L2 000，K2 000 。(c)关于生产函数 QKL 2。当 PL 1，P K1，Q1 000 时，由其扩展线方程 Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,2PK) L 得Keq f
19、(1,2) L代入生产函数 QKL 2，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(L,2) L21 000于是，有 L10eq r(3,2) ，K5eq r(3,2) 。(d)关于生产函数 Qmin3L， K。当 PL 1，P K1，Q1 000 时，将其扩展线方程 K3L，代入生产函数，得K3L1 000于是，有 K1 000，Leq f(1 000,3) 。11. 已知生产函数 QAL 1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答：(1)因为 Qf(L ，K) AL eq f(1,3)
20、Keq f(2,3) ， 于是有f(L，K)A(L)eq f(1,3) (K)eq f(2,3) Aeq f(1,3) eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(2,3) ALeq f(1,3) Keq f(2,3) f(L，K)所以，生产函数 QALeq f(1,3) Keq f(2,3) 属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以eq o(K,sup6() 表示；而劳动投入量可变，以 L 表示。对于生产函数 QALeq f(1,3)eq o(K,sup6() eq f(2,3) ，有MP Leq f(1,3) ALeq f(2,3)eq o(K,su
21、p6() eq f(2,3)且 eq f(dMPL,dL) eq f(2,9) ALeq f(5,3)eq o(K,sup6() eq f(2,3) 0这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量 MPL 是递减的。类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以eq o(L,sup6() 表示；而资本投入量可变，以 K 表示。对于生产函数 QAeq o(L,sup6()eq f(1,3) Keq f(2,3) ，有MP Keq f(2,3) Aeq o(L,sup6()eq f(1,3) Keq f(1,3)且 eq f(dMPK,dK) eq f(2,
22、9) Aeq o(L,sup6()eq f(1,3) Keq f(4,3) 0这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量 MPK 是递减的。以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。12. 令生产函数 f(L，K) 0 1(LK)eq f(1,2) 2K 3L，其中0 i1，i0,1,2,3。(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解答：(1)根据规模报酬不变的定义f(L，K)f(L，K) (0)于是有f(L，K) 0 1(L)(K)eq f(1,
23、2) 2(K) 3(L) 0 1(LK)eq f(1,2) 2K 3L 0 1(LK)eq f(1,2) 2K 3L(1) 0f(L ，K)(1) 0由上式可见，当 00 时，对于任何的 0，有 f(L， K)f(L， K)成立，即当0 0 时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)在规模报酬不变，即 00 时，生产函数可以写成f(L ，K) 1(LK)eq f(1,2) 2K 3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为MP L(L，K)eq f(f(L，K),L) eq f(1,2) 1Leq f(1,2) Keq f(1,2) 3MP K(L，K)eq f(f(L，K),K) eq f(1
24、,2) 1Leq f(1,2) Keq f(1,2) 2而且有eq f(MPL(L，K),L) eq f(2f(L， K),L2) eq f(1,4) 1Leq f(3,2) Keq f(1,2)eq f(MPK(L，K),K) eq f(2f(L，K),K 2) eq f(1,4) 1Leq f(1,2) Keq f(3,2)显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。13. 已知某企业的生产函数为 QLeq f(2,3) Keq f(1,3) ，劳动的价格w2，资本的价格 r1。求：(1)当成本 C3 000 时，企业实现最大产量时的 L、K 和 Q 的均衡值。(2)当产量 Q 800 时，企业
25、实现最小成本时的 L、K 和 C 的均衡值。解答：(1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件eq f(MPL,MPK) eq f(w,r)其中 MP L eq f(dQ,dL) eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3)MP Keq f(dQ,dK) eq f(1,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3)w2 r1于是有 eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3) ,eq f(1,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3) ) eq f(2,1)整理得 eq f(K,L) eq f(1,1)即 KL再将 KL 代入约束条件 2L1
26、K 3 000，有2LL 3 000解得 L *1 000且有 K *1 000将 L*K *1 000 代入生产函数，求得最大的产量Q *(L *)eq f(2,3) (K*)eq f(1,3) 1 000eq f(2,3) eq f(1,3) 1 000本题的计算结果表示：在成本 C3 000 时，厂商以 L*1 000，K *1 000 进行生产所达到的最大产量为 Q*1 000 。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。eq o(max,sdo4(L，K) Leq f(2,3) Keq f(1,3)s.t. 2L1 K3 000L(L，K， )Leq f(2,3) Keq f(1
27、,3) (3 000 2L K)将拉格朗日函数分别对 L、K 和 求偏导，得极值的一阶条件eq f(L,L) eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3) 2 0(1)eq f(L,K) eq f(1,3) Leq f(2,3) K eq f(2,3) 0(2)eq f(L,) 3 0002LK0(3)由式(1)、式(2)可得eq f(K,L) eq f(1,1)即 KL将 KL 代入约束条件即式(3)，可得3 0002LL 0解得 L *1 000且有 K *1 000再将 L*K *1 000 代入目标函数即生产函数，得最大产量Q *(L *)eq f(2,3) (K*)
28、eq f(1,3) 1 000eq f(2,3) eq f(1,3) 1 000在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。(2)根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件eq f(MPL,MPK) eq f(w,r)其中 MP Leq f(dQ,dL) eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3)MP Keq f(dQ,dK) eq f(1,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3)w2 r 1于是有 eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3) ,eq f(1,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3) ) eq f(2,1)整理得 eq f(K
29、,L) eq f(1,1)即 KL再将 KL 代入约束条件 Leq f(2,3) Keq f(1,3) 800，有Leq f(2,3) Leq f(1,3) 800解得 L *800且有 K *800将 L*K *800 代入成本方程 2L1KC，求得最小成本C *280018002 400本题的计算结果表示：在 Q 800 时，厂商以 L*800，K *800 进行生产的最小成本为 C* 2 400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。mieq o(n,sdo4(L，K) 2LKs.t. Leq f(2,3) Keq f(1,3) 800L(L，K，)2L K(800 Leq f(
30、2,3) Keq f(1,3) )将拉格朗日函数分别对 L、K 和 求偏导，得极值的一阶条件eq f(L,L) 2eq f(2,3) Leq f(1,3) Keq f(1,3) 0(1)eq f(L,K) 1eq f(1,3) Leq f(2,3) Keq f(2,3) 0(2)eq f(L,) 800L eq f(2,3) Keq f(1,3) 0(3)由式(1)、式(2)可得eq f(K,L) eq f(1,1)即 KL将 KL 代入约束条件即式(3)，有800Leq f(2,3) Leq f(1,3) 0解得 L 800且有 K 800再将 L*K *800 代入目标函数即成本等式，得最
31、小的成本C 2L 1K 280018002 400在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。图 43解答：以图 43 为例，要点如下：(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图 43 中，只有一条等成本线 AB；此外，有三条等产量曲线 Q1、Q 2 和 Q3 以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。(2)在约束条件即等成本线 AB 给定的条件下，先看等产量曲线 Q3，该曲线处于 AB 线以外，与 AB 线既无交点又无切点，所以，等产量曲线 Q3 表示的产量过大，既定的等成本线 AB 不可能实现 Q3 的产量。再看等产量曲线 Q1，它与既定的 AB 线交于 a、b 两点。在这种情况下，厂商只要从 a 点出发，沿着 AB 线往下向 E 点靠拢，或者从 b 点出发，沿着AB 线往上向 E 点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在等成本线 AB 与等产量曲线 Q2 的相切处 E 点，实现最大的产量。由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是 MRTSLKeq f(w,r) ，且整理可得eq f(MPL,w) eq f(MPK,r) 。
