1、Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU1Chapter 5 定积分计算Abstracts:留数定理及其应用定积分、积分主值一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations)1留数的定义：设 是函数 的孤立奇点(isolated singularity)，即除过0z)(zf点以外函数 是解析的，则 在 的留数定义为0zf )(zf0，其中 为绕 的闭曲线（ 积分沿正方向进1Res(
2、)d2cfzi?cc行）且内部无其它奇点，记号为 或 .0)(Reszf)(es0zf（1）有限远孤立奇点的留数： 在 邻域 内（不含r其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 次幂项 的110)(z系数 称为 在奇点 的留数。即 .1a)(zf0 0 1Res()d2cfzfai?此定义基于如下的事实：，其中 .kkzzf0)( 101()kkcfaziz令函数 沿以孤立奇点 为中心的一个圆周 积分f0，kckckc zazazf ddd)( 00而 所以 .02 (1),kci?1()2cfia?可见，级数中仅仅 项对积分有贡献，积分后唯有 这个101za 1系数留下来，
3、故名之为留数(residue).（2）无穷远点的留数： 在以 为中心，环 内（不)(zf0zR含其它奇点）的罗朗级数展开的 次幂项 的系数 的反号称110)(z1a为 在 点的留数。即 （此定义直)(zfRes()d2cffi?Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU2观） 。这是因为：对于无穷远点，以 为展开中心、在区域z里展开的罗朗级数与以 为中心、在区域 展zR0zR开的罗朗级数有相同的形式: 换言之，以 为中().kkfzaz0心
4、、在区域 展开罗朗级数亦可，其中 任意（实际为Rzbb的邻域） 。(Chapter 1:无穷远点只有一个，其模 ，而幅角不z 定)。同时注意到，对无穷远点的邻域来讲, 的正方向为顺时针方向。因Rc此， 1()dddd2.clokwise lcis lockwise counter lkwisRRRRkkkk cfzazazazia?2 留数定理：如果 在区域 D 中有 个孤立奇点 ，而除)(zf nz,21了这些奇点外， 是解析的，那么其中 分别是围绕奇点 的小圆周(反方向, 与外界 同nc,21 nz,21 l方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchys theorem） ，可以得到,1
5、1()d()dRes()kn kkl cfzfzifz?是区域 D 的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要l它包围 个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。n留数定理 ：如果函数 在闭曲线 所围的区域内，除具有有限个孤)(zfl立奇点(isolated singularities) 外是解析的，在 上也是(1,2)kn l 1212()d()()dRessRes(),ncccnnkkfzfzfzifffz ?Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite
6、integrals YLMaPhys.FDU3解析的，则 沿 的回路积分（逆时针方向）等于 在 内所有奇)(zfl )(zfl点的留数之和的 倍，即 2i1()d2Res.nkl kfzif?2 留数定理的推论：若 在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇zf点外处处解析，则 在全平面上全部留数之和为零（挖去所有奇点并且(计及无穷远点）： 1()Res)Res()s()0.knkzffzf说明：* 留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系，体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关联这个性质的又一表现，即它是单(复)通域 Cauchy 定理的推广(
7、变形)。* Laurent series 的负幂次由有限内环 内的奇异性引起，其积分方向为r;r?Laurent series 的正幂次由有限内环 以外(即外环 以外甚至直接至 )的奇rR异性引起，其积分方向为 .R?* 可以是函数 的奇点亦可以不是奇点，只要存在 它就是无z)(zf 1,a穷远点的留数 es.3留数的求法（Residue calculations ）(定义是定义，定理是定理，计算留数是另一回事)。(1) 罗朗级数法: 一般地，对于本性奇点，例如 中含指数函数、三角)(zf函数（ ）等，虽然极点是高阶的，罗朗级数展开有无穷多项，,sinze但是我们仅仅需要与 相关的项即可，这样
8、往往比较简单。1a(2)可去奇点：若 是 的可去奇点( ), 有限, 则b)zfblim()zbfRes0.Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU4注意：即使 点是 的可去奇点，其留数也不一定为 ，除非)(zf 0在一切有限远点的留数之和为 . 例如， ,)(zf 0zf/1)(, .1Res1)0(esf(3)高阶极点(Multiple pole，high order pole)：若 是 的 m 阶极b)(zf)点，即 ，0( )(m
9、mkkazzf则 .zfbzbfb1dli!)(Res证明: 如果 是 的 阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是zzf,)0( )(1 mmkkmm abzbaf 111() ,zbfzz 1 1 11dd 2.mmkmkmkkkfabazb 取极限 后右端只留下 项，即 . 所以bz1!.zfbzmaf mb11dli!)(Res(4) 单阶极点 (Simple pole): 当 时, 为单极点 .zfbfzli)(Res特别地，如果 可以写成 的形式，其中 和 均在 点解)(zf)(zQPPQ析，而且 为 的一阶零点，即 那么b()0,z(),()0,z.)()(lim)(lilim)(Re
10、s bPzbzff bzbz Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU5（5）根据定义： ，其中 为绕 一圈的闭曲线1Res()d2cfbfzi?cbz且其内部无其它奇点，积分 沿正(沿奇点的反)方向进行。c5. 例题（Examples）Example 1. 求函数 在 ， ， 点的留数。zef1)(01z解 分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点。0,1z法一（Expand to the Laurent series）： 是 的本性奇点，因
11、此，将 在 的邻域作罗朗级数展0z)(zf )(zf0开 232311()!,fz zz .1!321)0(Resef 0and1!znz 设 并且 （其余的 虽然复杂，但是我们用不到） ，则10()nznc0cnc10()(1).z nnef z故 1Rs.ace （全复平面留数之和为零） 。 e(0)s()R()0fff1.法二（Formula）： 是 的一阶极点，因此z)(zfMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU611Res()
12、lim.zzef 将 在 的邻域作罗朗级数展开)(f1/232311!1(),zfzezzz .ResfExample 2. 求函数 在 点的留数。51)(zf解一 234155511() ,!zz zzeef Rs1.4!2f解二 是 的五阶极点，因此z)(zf51 451ddes(1)limlim.! !2zzz zeef（X）Example 3. 求函数 在 点的留数。321)(zfi解 是 的三阶极点，因此21(),zizi)(f2 23332d1d1Res()lim.! 6z zifizz（X）Example 4. 求函数 的留数。3sin()1fz解 是 的三阶极点， 是本性奇点，
13、因此1z)(zfMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU7211dRes()limsinsi2|sin2.! zzf zi.f（X）Example5. 求函数 在 ( 为整数)的留数。zfsin)(n解一 是 的单极点，因此nzz1Res()limlim1.sinsnnznzf解二 () .icoznznf Example 6. Find the residue of at .41/sii解一 是 的单极点，因此zi)(f42i11sin
14、sinsiReslmli4zih().(2)8z zei解二 334snsisin1Re i().41zizifi Example 7. 求函数 (实常数 )的留数。2()imef0解 是 的一阶极点， 是本性奇点（高振荡） ，因此izzfzRes();Res();22imimzzi ief f es()snh.2ifff(X) Example 8. 求函数 ( )的留数。21)(zf1,解 是 的一阶极点， 是二阶极点， 解析，因此,z)(zf 0(fMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on def
15、inite integrals YLMaPhys.FDU8222(1)(1)(/)Res) ;zf2();zf是 在 附近 Taylor 展式中的一次项 的系数Res(0f2()f01az1:222 221(1)() ()() .zzz z z (放心取 项21Res(0) ;f 21)z0).s()es()Rs0).ffff二、留数定理在定积分计算中的应用(Residue theorems application to the definite integral calculations)A. 基本思路与方法：目标：为了计算实函数 在整个实轴上或实轴上某一线段)(xfI 上的积分 ，可分为以
16、下三个步骤（方法）：bad)(f1将 看作复变函数 当 的特殊情况，即将xf )(zfx延拓至复平面 ( 和 之间有千丝万缕的关)(F()z系) 。2将实积分路径改变为复平面闭曲线，其内部为 D或做变换，将 ab变为闭曲线，或补一段 使其成为闭曲线。bMa3 在 D 上对 或 应用留数定理计算闭路上的积分，这样就把实轴()Fzf上 的积分转化为计算 在 D 内奇点的留数以及 了。即xf )(zf bMad)(zfbabMa()dd()2Res.jl jfxffzif?baKey:(fzse thLma 1,nd 3blow)B. 基本类型:Methods of Mathematical Phy
17、sics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU91. ，其中 是 的有理式。xRdcos,in20 )cos,(inxRxcos,in方法：作单位园变换 ， ，即将 的直线路径变为单位ixez2020圆周 路径。并且 ，则1z 11sin, cos, dzzxxzi i.1120 1si,cod,2zRxRzii ?令 ，那么1(),2Fzii.20 z1sn,codRes()RxFExample 1. .xIsi02解一 .（简单！）d)co(10I解二 2122 31 z1230()sindd
18、8()()Re=()().8zzIx ziii i ?展 开Example 2. .)b(a dcosin20 xbaI解,其中 21 2 222 11()zzziFaibi biab2212, ,zz12.z韦大定理: 的两个根 满足 .0AxBC12,x1212/,/xCAxBA在单位圆 内 有两个孤立奇点: （二阶奇点） ， （一阶奇)1(z(zF0zzMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMaPhys.FDU10点） 。 （一阶奇点）在单位圆 外。
19、因此，我们有2z(1)z220dRes()lim).z aFFbiib计 算1 21( .zzz计 算21122es()Rs)2.Ii iabb三个引理：引理 1(大圆弧引理): 如果 在区域 D： ，)(zf zR上连续，且当 时， 一致地趋于 ，21)arg(z)(faK简记为 则 ，其中 是以 为圆心，,fK12d)(limiKzfRC RCa为半径，夹角为 的圆弧，R121,arg().zz证明：因为 ，所以12diRC()()d d().R RRRCCKfziKfzzafzzfa由于当 ， 时， 一致地趋于 ， 这意味着任21)arg(z)(fK给 ，存在与 无关，D 内各向同性的 ，使当0a0M时， ，所以zRMKzf)(（ 大模之比 ，仅仅积分相1212d)( RCiKf ,iaRe/1R位即可） ，即 （方向正向） 。d)(lmizfRC
