概率论与数理统计习题参考答案.doc

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1、概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 1 页 (共 101 页 ) 概率论与数理统计参考答案（附习题）第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（ 1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（ 2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（ 3） 10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（ 4）测量一汽车通过给定点的速度 . 解：所求的样本空间如下（ 1） S= 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12 （ 2） S= (x, y)| x2+y20 2. 设 A

2、、 B、 C 为三个事件，用 A、 B、 C 的运算关系表示下列事件：（ 1） A 发生， B 和 C 不发生；（ 2） A 与 B 都发生，而 C 不发生；（ 3） A、 B、 C 都发生；（ 4） A、 B、 C 都不发生；（ 5） A、 B、 C 不都发生；（ 6） A、 B、 C 至少有一个发生；（ 7） A、 B、 C 不多于一个发生；（ 8） A、 B、 C 至少有两个发生 . 解：所求的事件表示如下 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4 )( 5 ) ( 6)( 7 )( 8)A B C A B C AB C A B CAB C A B CA B B C A

3、 CAB BC CA3在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则（ 1）事件 AB 表示什么？（ 2）在什么条件下 ABC=C 成立？（ 3）在什么条件下关系式 CB 是正确的？（ 4）在什么条件下 AB 成立？解：所求的事件表示如下（ 1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员 . （ 2）当全校运动员都是三年级男生时， ABC=C 成立 . 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 2 页 (共 101 页 ) （ 3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式 CB 是正确的

4、. （ 4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时， AB 成立 . 4设 P(A) 0.7， P(A B) 0.3，试求 ()PAB 解由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以 P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3, 所以 P(AB)=0.4, 故 ()PAB = 10.4 = 0.6. 5. 对事件 A、 B 和 C，已知 P(A) = P(B) P(C) 14， P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18 求 A、 B、 C 中至少有一个发生的概率 . 解由于 , ( ) 0 ,A B C A B P A B故 P(ABC)

5、 = 0 则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) 1 1 1 1 50 0 04 4 4 8 8 6. 设盒中有只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A 两球颜色相同， B 两球颜色不同 . 解由题意，基本事件总数为 2abA ，有利于 A 的事件数为 22abAA ，有利于 B的事件数为 1 1 1 1 1 12a b b a a bA A A A A A, 则 2 2 1 1222( ) ( )a b a ba b a bA A A AP A P BAA7. 若 10 件产品中有件正品，

6、3 件次品 , （ 1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（ 2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率 . 解（ 1）设 A=取得三件次品则 331 0 1 016( ) ( )1 2 0 7 2 0或者 CAP A P A. （ 2）设 B=取到三个次品 , 则 333 27() 10 1000PA. 8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语， 35 人会讲日语， 32 人会讲日语和英语， 9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（ 1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（ 2）此人只会

7、讲法语的概率 . 解设 A=此人会讲英语 , B=此人会讲日语 , C=此人会讲法语根据题意 , 可得概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 3 页 (共 101 页 ) (1) 3 2 9 2 3( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 P A B C P A B P A B C (2) ( ) ( ) ( )P AB C P AB P AB C ( ) 0 1 ( )P A B P A B 1 ( ) ( ) ( )P A P B P A B 4 3 3 5 3 2 5 41 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9. 罐中有 12 颗围

8、棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求：（ 1）取到的都是白子的概率；（ 2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（ 3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（ 4）取到三颗棋子颜色相同的概率 . 解 (1) 设 A=取到的都是白子则 38312 14( ) 0 .2 5 555 CPA C. (2) 设 B=取到两颗白子 , 一颗黑子 2184312( ) 0 .5 0 9CCPB C. (3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子 ( ) 1 ( ) 0 .7 4 5 P C P A. (4) 设 D=取到三颗子颜色相同 3384312( ) 0.27 3CC

9、PD C. 10. （ 1） 500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少 (1 年按 365 日计算 )？（ 2） 6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解 (1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日 , 则 500500364( ) 1 ( ) 1 0 . 7 4 6365 P A P A(2)设所求的概率为 P(B) 4 1 26 1 26 11( ) 0 .0 0 7 312CCPB11. 将 C， C， E， E， I， N， S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE的概率 p. 解由于两个 C，两个 E 共有 22AA

10、种排法，而基本事件总数为 77A ，因此有 222277 0 .0 0 0 7 9 4AAp A概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 4 页 (共 101 页 ) 12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率 . 解要 4只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 445 2C 中取法 . 设 A=4 只手套都不配对，则有 4454102 80() 210CPA C 13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为 11ip i， i=1， 2， 3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则

11、 P(x=2)为多少？解设 Ai = 第 i 个零件不合格， i=1,2,3, 则 1() 1iiP A p i所以 ( ) 1 1ii iP A p i 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2 ) ( ) ( ) ( )P x P A A A P A A A P A A A 由于零件制造相互独立，有： 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A ， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A 1 1 1

12、 1 2 1 1 1 3 1 1, ( 2 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4Px 所以 14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解设 A=目标出现在射程内， B=射击击中目标， Bi =第 i 次击中目标 , i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式 12( ) ( ) ( )( ) ( ) ( | )( ) ( ( ) | )P B P A B P A BP A B P A P B AP A P B B A另外 , 由于两次

13、射击是独立的 , 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A) P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.7 0.84 = 0.588 15. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2， 3， 4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率 . 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一

14、章第 5 页 (共 101 页 ) 解设 Ai =一批产品中有 i 件次品， i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次品 , C=产品中次品不超两件 , 由题意 0191 491 1050192 482 1050193 473 1050194 461 1050( | ) 01( | )516( | )4939( | )98988( | )2303P B ACCP B ACCCP B ACCCP B ACCCP B AC由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组 , 由全概率公式 40( ) ( ) ( | ) 0 . 1 9 6 iiiP

15、B P A P B A由 Bayes 公式 000111222( ) ( | )( | ) 0()( ) ( | )( | ) 0. 25 5()( ) ( | )( | ) 0. 33 3()P A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB故 20( ) ( | ) 0 .5 8 8 iiP C P A B16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%， 10%和 90%的概率分别为 0.8， 0.15， 0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率

16、） . 解设 B=三件都是好的， A1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%，则 A1, A2, A3 是两两互斥 , 且 A1+ A2 +A3= , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式 31333( ) ( ) ( | )0 . 8 0 . 9 8 0 . 1 5 0 . 9 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 8 6 2 4 iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 , 这批货物的损坏率

17、为 2%, 10%, 90%的概率分别为 313233( ) ( | ) 0 .8 0 .9 8( | ) 0 .8 7 3 1( ) 0 .8 6 2 4( ) ( | ) 0 .1 5 0 .9 0( | ) 0 .1 2 6 8( ) 0 .8 6 2 4( ) ( | ) 0 .0 5 0 .1 0( | ) 0 .0 0 0 1( ) 0 .8 6 2 4 iiiiP A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2. 概率论与数理

18、统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 6 页 (共 101 页 ) 17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含 0， 1 和 2 件残次品的箱各占 80%， 15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（ 1）一次通过验收的概率；（ 2）通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解设 Hi=箱中实际有的次品数 , 0,1,2i , A=通过验收则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有： 04231 4244222 424(

19、| ) 1,5( | ) ,695( | )138P A HCP A HCCP A HC(1)由全概率公式 20( ) ( ) ( | ) 0 . 9 6 iiiP A P H P A H(2)由 Bayes 公式得 00( ) ( | ) 0 . 8 1( | ) 0 . 8 3( ) 0 . 9 6 i P H P A HP H A PA18. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻（ 1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（ 2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解设 5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的

20、, 因此本题可以看作是 5重伯努利试验 . 由题意，有 p=0.1, q=1p=0.9, 故 (1) 2 2 31 5 5( 2 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) 0 . 0 7 2 9 P P C (2) 2 5 5 5(3 ) ( 4 ) (5 )P P P P 3 3 2 4 4 1 5 5 05 5 5( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) 0 . 0 0 8 5 6C C C 19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为 0.4，比赛时可以采用三局

21、二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？解在三局两胜时 , 甲队获胜的概率为 332 2 1 3 3 0( 2) ( 3 )( 0.6) ( 0.4) ( 0.6) ( 0.4) 0.648 AP P PCC 在五局三胜的情况下 , 甲队获胜的概率为 5 5 53 3 2 4 4 1 5 5 05 5 5( 3 ) ( 4) ( 5 )( 0.6) ( 0.4) ( 0.6) ( 0.4) ( 0.6) ( 0.4) 0.68 2 BP P P PC C C 因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大 . 20. 4 次重复独立试验中事件 A 至少出现一次的概率

22、为 6581 ，求在一次试验中 A概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 7 页 (共 101 页 ) 出现的概率 . 解设在一次独立试验中 A 出现一次的概率为 p, 则由题意 0 0 4 444 65( 0 ) (1 ) 1 81 P C p q p解得 p=1/3. 21.（ 87， 2 分）三个箱子，第一个箱子中有 4 只黑球 1 只白球，第二个箱子中有 3 只黑球 3 只白球，第三个箱子有 3 只黑球 5 只白球 . 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为解设 B “取出白球”

23、， iA “球取自第 i 个箱子”， .3,2,1i 321 , AAA 是一个完全事件组， .3,2,1,3/1)( iAP i 5/1)|( 1 ABP ， 2/1)|( 2 ABP ，8/5)|( 3 ABP ，应用全概率公式与贝叶斯公式 ,12053)852151(31)|()()( 3 1 i ii ABPAPBP .5320)( )|()()|( 222 BP ABPAPBAP 22.（ 89， 2分）已知随机事件 A 的概率 5.0)( AP ，随机事件 B 的概率 6.0)( BP及条件概率 8.0)|( ABP ，则和事件 BA 的概率 )( BAP 解 7.0)|()()(

24、)()()()()( ABPAPBPAPABPBPAPBAP . 23.（ 90， 2 分）设随机事件 A ， B 及其和事件 BA 的概率分别是 4.0 ， 3.0 和6.0 . 若 B 表示 B 的对立事件，那么积事件 BA 的概率 )( BAP 解 BA 与 B 互不相容，且 .BBABA 于是 .3.0)()()( BPBAPBAP 24. （ 92 ， 3 分）已知 41)()()( CPBPAP ， 0)( ABP ，161)()( BCPACP ，则事件 A ， B ， C 全不发生的概率为解从 0)( ABP 可知， 0)( ABCP . 概率论与数理统计习题参考答案

25、（仅供参考）第一章第 8 页 (共 101 页 ) )()()()()()()()( A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP .8501611610414141 25.（ 93， 3 分）一批产品共有 10 件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为解设事件 iB “第 i 次抽出次品”， .2,1i 则 ,12/2)( 1 BP 12/10)( 1 BP ， .11/2)|(,11/1)|( 1212 BBPBBP 应用全概率公式 )|()()|()()( 1211212 BBPBPBBPBPBP .6111212101111

26、22 26.（ 94， 3 分）已知 A ， B 两个事件满足条件 )()( BAPABP ，且 pAP )( ，则 )(BP 解 ).()()(1)()( ABPBPAPBAPBAP 因 )()( BAPABP ，故有 .1)(1)(,1)()( pAPBPBPAP 27.（ 06， 4 分）设 A ， B 为随机事件，且 0)( BP ， 1)|( BAP ，则必有（） A )()( APBAP B )()( BPBAP C )()( APBAP D )()( BPBAP 解选（ C） 28.（ 05， 4 分）从数 1， 2， 3， 4 中任取一个数，记为 X ，再从 1， 2， X

27、中任取一个数，记为 Y ，则 )2(YP 解填 .4813 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 9 页 (共 101 页 ) 29.（ 96， 3 分）设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 %1 和 %2 ，现从由 A和 B 的产品分别占 %60 和 %40 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品属 A 生产的概率是解设事件 C “抽取的产品是次品”，事件 D “抽取的产品是 A 生产的”，则 D 表示“抽取的产品是工厂 B 生产的” . 依题意有 .02.0)|(,01.0)|(,40.0)(,60.0)( DCPDCPDPDP 应用贝叶斯可以

28、求得条件概率 .7302.04.001.06.0 01.06.0)|()()|()( )|()()|( DCPDPDCPDP DCPDPCDP 30.（ 97， 3 分）袋中有 50 只乒乓球，其中 20 只是黄球， 30 只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是解设事件 iA “第 i 个人取得黄球”， 2,1i . 根据题设条件可知 .4920)|(,4919)|(,5030)(,5020)( 121211 AAPAAPAPAP 应用全概率公式 .524920503049195020)|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPA

29、PAP 31.（ 87， 2 分）设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p 。现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为；而事件 A 至多发生一次的概率为 . 解由于每次试验中事件 A 发生的概率都是 p ，并且 n 次试验相互独立 . 这是 n重伯努利试验概型 . 若 iB “ n 次试验中事件 A 发生 k 次”，则 .,2,1,0,)1()( nkqpCBP knkknk 事件 A 至少发生一次的概率为 .)1(1)(1 0 npBP 事件 A 至多发生一次的概率为 .)1()1()()( 110 nn pnppBPBP 32.（ 88， 2 分）设三次独立实验中，事件

30、A 出现的概率相等 . 若已知 A 至少出概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 10 页 (共 101 页 ) 现一次的概率等于 2719 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为 . 解设事件 A 在一次试验中出现的概率为 p ，这是一个 3重伯努利试验概型 . 因此在三次独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 .)1(1 3p 依题意，有 ,2719)1(1 3 p 解之得 .3/1p 33.（ 89， 2 分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和 0.5. 现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为解设事件 A “甲射中”， B “乙射中”

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