1、 【由于本试题为 word 版本，可能存在乱码或排版问题，为方便大家查看，可以点击全屏查看。 】 2018 年 江西 高考 数学 冲刺模拟试卷【含答案】 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3至 4 页，共 150 分。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标 号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作
2、答。在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件 ,AB互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24SR 如果事件 ,AB，相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 343VR n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n knnP k C p p 第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
3、有一项是符合题目要求的 3 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A 50 B 45 C 40 D 35 答案： B 【解析】 仅参加了一项活动的学生人数 =50-(30+25-50)=45, 故选 B. 4 函数 ( ) (1 3 ta n ) c o sf x x x 的最小正周期为 A 2 B 32 C D2答案： A 【解析】 由 ( ) ( 1 3 t a n ) c o s c o s 3 s i n 2 s i n ( )6f x x x x x x 可得最小正周期为2 ,故
4、选 A. 5 已知 函数 ()fx是 ( , ) 上的偶函数，若对于 0x ，都有 ( 2 ( )f x f x） ，且当0,2)x 时， 2( ) log ( 1f x x），则 ( 2 0 0 8) (2 0 0 9 )ff 的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 答案： C 【解析】 1222( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 9 ) ( 0 ) ( 1 ) l o g l o g 1f f f f ,故选 C. 6 若 1 2 2 nnn n nC x C x C x 能被 7 整除，则 ,xn的值可能为 A 4, 3xn B 4, 4xn C 5, 4xn D 6, 5xn 答案
5、： C 【解析】 1 2 2 (1 ) 1n n nn n nC x C x C x x , 当 5, 4xn时 , 4(1 ) 1 6 1 3 5 3 7nx 能被 7 整除 , 故选 C. 7.设 1F 和 2F 为双曲线 221xyab( 0, 0ab)的两个焦点 , 若 12FF， ， (0,2)Pb是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为 A 32 B 2 C 52 D 3 答案： B 【解析】 由 3tan 6 2 3cb 有 2 2 2 23 4 4 ( )c b c a ,则 2ce a,故选 B. 8 公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS .若 4a 是 37
6、aa与 的等比中项 , 8 32S ,则 10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 答案： C 【解析】 由 24 3 7a aa 得 21 1 1( 3 ) ( 2 ) ( 6 )a d a d a d 得 1 3 0ad , 再由81 568 322S a d 得 12 7 8ad则 12, 3da , 所以yxO( , )Pxy( ,0)Qx1 0 1 901 0 6 02S a d ,.故选 C 9 如图， 在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中， 错误 的为 A . AC BD B . AC 截面 PQMN C . AC BD D . 异
7、面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 答案： C 【解析】 由 PQ AC ， QM BD ， PQ QM 可得 AC BD ，故 A 正确； 由 PQ AC 可得 AC 截面 PQMN ，故 B 正确； 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成的角，故 D 正确； 综上 C 是错误的，故选 C . 10 甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A 16 B 14C 13 D 12答案： D 【解析】 所有可能的比赛分组情况共有 22424 122!CC种，
8、甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种，故选 D . 11 如图所示，一质点 ( , )Pxy 在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在 x 轴上的投影点 ( ,0)Qx 的运动速度 ()V Vt 的图象大致为 A B C D 答案： B 【解析】 由图可知，当质点 ( , )Pxy 在两个封 闭曲线上运动时，投影点 ( ,0)Qx 的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A 错误；质点 ( , )Pxy 在终点的速度是由大到小接近 0，故 D 错误；质点 ( , )Pxy 在开始时沿直线运动，故投影点 ( ,0)Qx 的速度为常数，因此 C是错误的，故选 B . PQMNABCD
9、O()Vtt O()VttO()VttO()Vtt12 若存在 过点 (1,0) 的直线与曲线 3yx 和 2 15 94y ax x 都相切，则 a 等于 A 1 或 25-64B 1 或 214C 74 或 25-64D 74 或 7 答案： A 【解析】 设过 (1,0) 的直线与 3yx 相切于点 300( , )xx ，所以切线方程为 320 0 03 ( )y x x x x 即 230032y x x x，又 (1,0) 在切线上，则 0 0x 或0 32x， 当 0 0x 时，由 0y 与 2 15 94y ax x 相切可得 2564a ， 当0 32x时，由 27 2744
10、yx与 2 15 94y ax x 相切可得 1a ，所以选 A . 2018 年 江西 高考 数学 冲刺模拟试卷 第卷 注意事项： 第卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题 上作答，答案无效。 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上 13 已知向量 (3,1)a ， (1,3)b ， ( ,2)ck ，若 ()a c b 则 k = 答案： 0 【解析】 因为 (3 , 1),a c k 所以 0k . 14 体积为 8 的 一个 正方体，其全面积与球 O 的表面积相等，则球 O 的体积等于 答案： 86 【解析】 设球的半径
11、为 R ，依题 设有 2236( 8) 4 R ，则 2 6R ，球的体积为 3234 4 6 8 633R 15 若不等式 24 ( 1)x k x 的解集为区间 ,ab ，且 1ba,则 k 答案： 32 【 解析】 由数形结合，半圆 24yx在直线 ( 1)y k x之下必须 212, 1xx，则直线( 1)y k x过点 (1, 3) ，则 32k 16 设直线系 : c o s ( 2 ) s i n 1 ( 0 2 )M x y ,对于下列四个命题： A 存在一个圆与所有直线相交 B 存在一个圆与所有直线不相交 C 存在一个圆与所有直线相切 D M 中的直线所能围成的正三角形面积都
12、相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 答 案： ABC 【解析】 因为 c o s ( 2 ) s in 1xy 所以点 (0,2)P 到 M 中每条直线的距离 221 1c o s s ind 即 M 为圆 C : 22( 2) 1xy 的全体切线组成的集合 ,所以存在圆心在 (0,2) ,半径大于 1 的圆与 M 中所有直线相交 , 也存在圆心在 (0,2) ,半径小于 1 的圆与 M 中所有直线均不相交 , 也存在圆心在 (0,2) ,半径等于 1 的圆与 M 中所有直线相切 , 故 ABC 正确 , 又因 M 中的边能组成两类大小不同的正三角形 ,故 D 错误 , 故命题
13、中正确的序号是 ABC 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 设函数 329( ) 62f x x x x a （ 1）对于任意实数 x ， ()f x m 恒成立，求 m 的最大值； （ 2） 若方程 ( ) 0fx 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围 解： (1) 2( ) 3 9 6 3 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x , 因为 ( , )x , ()f x m , 即 23 9 (6 ) 0x x m 恒成立 , 所以 8 1 1 2 (6 ) 0m , 得 34m ，即 m 的最大值为
14、 34 (2) 因为 当 1x 时 , ( ) 0fx ;当 12x时 , ( ) 0fx ;当 2x 时 , ( ) 0fx ; 所以 当 1x 时 , ()fx取极大值 5(1) 2fa; 当 2x 时 , ()fx取极小值 (2) 2fa ; 故当 (2) 0f 或 (1) 0f 时 , 方程 ( ) 0fx 仅有一个实根 . 解得 2a 或 52a . 18 （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 12.若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个
15、“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助 求： (1) 该公司的资助总额为零的概率； （ 2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率 解： （ 1）设 A 表示资助总额为零这个事件，则 611()2 64PA （ 2）设 B 表示资助总额超过 15 万元这个事件，则 6 6 61 1 1 1 1( ) 1 5 62 2 2 3 2PB 19 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 6A ， (1 3) 2cb （ 1）求 C ； （ 2）若 13CB CA ，求 a ,b ， c 解： （ 1）由 (1 3) 2cb 得 1 3
16、sin2 2 sinbBcC 则有 55sin( ) sin c os c os sin6 6 6sin sinC C CCC = 1 3 1 3c ot2 2 2 2C 得 cot 1C 即 4C . （ 2） 由 13CB CA 推出 cos 1 3ab C ；而 4C , 即得 2 132 ab , OAPBCMD则有 2 132(1 3) 2sin sinabcbacAC 解得 2132abc 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， 4PA AD，2AB 以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交
17、PD 于点 M （ 1）求证：平面 ABM 平面 PCD ； （ 2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角； （ 3）求点 O 到平面 ABM 的距离 解： 方法（一）： （ 1）证：依题设，在以为直径的球面上，则 . 因为平面，则，又， 所以平面，则，因此有平面，所以平面平面 . （）设平面与交于点，因为，所以平面，则， 由（ 1）知，平面，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影， 所以 PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角， 且 PNM PCD t a n t a n 2 2PDP N M P C D DC 所求角为 arctan2 2 （ 3）因为 O 是 BD 的中点，
18、则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（ 1）知，平面于 M，则 |DM|就是 D 点到平面 ABM 距离 . 因为在 Rt PAD 中， 4PA AD， PD AM ，所以 M 为 PD 中点， 22DM ，则 O点到平面 ABM 的距离等于 2 。 方法二： （ 1）同方法一； （ 2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， ONAPBCMDzxy设平面 ABM 的一个法向量 ( , , )n x y z ，由 ,n AB n AM
19、可得： 20220xyz ，令1z ，则 1y ，即 (0,1, 1)n.设所求角为 ，则 22sin3PC nPC n， 所求角的大小为 22arcsin 3 . （ 3）设所求距离为 h ，由 (1, 2 , 0 ), (1, 2 , 0 )O AO ，得： 2AO nhn 21 （本小题满分 12 分） 数列 na 的通项 2 2 2( c o s s in )33n nnan ，其前 n 项和为 nS . (1) 求 nS ; (2) 3 ,4nn nSb n 求数列 nb 的前 n 项和 nT . 解 : (1) 由于 22 2c o s s i n c o s3 3 3n n n
20、,故 3 1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 32 2 2 2 2 22 2 2( ) ( ) ( )1 2 4 5 ( 3 2 ) ( 3 1 )( 3 ) ( 6 ) ( ( 3 ) ) )2 2 2k k k kS a a a a a a a a akk k 1 3 3 1 1 8 5 ( 9 4 )2 2 2 2k k k , 3 1 3 3 ( 4 9 ) ,2k k k kkS S a 23 2 3 1 3 1 ( 4 9 ) ( 3 1 ) 1 3 2 1 ,2 2 2 3 6k k k k k k kS S a k 故 1 , 3 236( 1 ) (1 3 ) , 3 1
21、6( 3 4) ,36nn nknnS n knn nk ( *kN ) (2) 3 94,4 2 4nn nnS nb n 21 1 3 2 2 9 4 ,2 4 4 4n nnT 11 2 2 9 44 1 3 ,2 4 4n nnT 两式相减得 1 2 3 2 1991 9 9 9 4 1 9 4 1 9443 1 3 1 3 8 ,12 4 4 4 2 4 2 214nn n n n n nn n nT 故 2 3 2 18 1 3 .3 3 2n nnnT 22 （本小题满分 14 分） 如图，已知圆 :G 2 2 2( 2)x y r 是椭圆 2 2 116x y的 内接 ABC
22、的内切圆 , 其中 A 为椭圆的左顶点 . （ 1） 求圆 G 的半径 r ; （ 2） 过点 (0,1)M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 EF， 两点， 证明： 直线 EF 与圆 G 相切 解 : （ 1）设 B 02,ry（ ） ，过圆心 G 作 GD AB 于 D ,BC 交长轴于 H 由 GD HBAD AH 得 02 636yr rr , 即 0 66rry r (1) 而点 B 02,ry（ ） 在椭圆上 , 2220 ( 2 ) 1 2 4 ( 2 ) ( 6 )1 1 6 1 6 1 6r r r r ry (2) 由 (1)、 (2)式得 215 8 12 0rr ,解得 2
23、3r 或 65r （舍去） (2) 设过点 M(0,1) 与圆 224( 2) 9xy 相切的直线方程为 : 1y kx (3) 则22123 1k k ,即 232 36 5 0kk (4) 解得129 4 1 9 4 1,1 6 1 6kk 将 (3)代入 2 2 116x y得 22(1 6 1) 3 2 0k x kx ,则异于零的解为23216 1kx k 设 1 1 1( , 1)F x k x , 2 2 2( , 1)E x k x ，则 1212223 2 3 2,1 6 1 1 6 1kkxx xyAB0CMEF G 则直线 FE 的斜率为： 2 2 1 1 1 22 1 1 231 1 6 4EF k x k x k kk x x k k 于是直线 FE 的方程为 : 211223 2 3 231 ( )1 6 1 4 1 6 1kkyx 即 3743yx 则圆心 (2,0) 到直线 FE 的距离3722339116d故结论成立 .
