1、第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， 的12(,)pX联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 的子向量的12,p概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。2.2 设二维随机向量 服从二元正态分布，写出其联合分布。12()X解：设 的均值向量为 ，协方差矩阵为 ，则其联121221合分布密度函数为。1/2 12 21 1() exp()()f x x2.3 已知随机向量 的联合密度函数为 12()X21212()()(,)dcxabxcaxcfxd其中 ， 。求1ab2（1 ）随机变量 和 的边缘密度函数、
2、均值和方差；X（2 ）随机变量 和 的协方差和相关系数；12（3 ）判断 和 是否相互独立。（1 ）解：随机变量 和 的边缘密度函数、均值和方差；1X21 12122()()()()dxcxabxcaxcf dd1221222)()()dc xbabac12 12 20()()()dcdcxtxtd1212 20()()()cdcabattbdba所以由于 服从均匀分布，则均值为 ，方差为 。1X2ba21同理，由于 服从均匀分布 ，则均值为2 2 ,()0xxcdfd其 它，方差为 。2dc21dc（2 ）解：随机变量 和 的协方差和相关系数；X212cov(,)x 121212 12()(
3、)()dbca dcxabxcaxcx dd()36db12cov,x（3 ）解：判断 和 是否相互独立。1X2和 由于 ，所以不独立。1212(,)()xff2.4 设 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是(,p相互独立的随机变量。解： 因为 的密度函数为12(,)pX 1/ 11(,.)ex()()2pfxx又由于212p221p21221p则 1(,.)pfx 211/22 21 2exp() ()1p p x 2221 3112 ()()()1exp.p pxx 211()e().pii pii f 则其分量是相互独立。2.5 由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵
4、的极大似然分别为 1niiX1()niii nX3560.27.12058.390.837250.-73680.396157.1.19.-6-5-9 注：利用 , S 其中 1pnX()nnXI 01nI在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：1. 选择菜单项 AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptives ，打开 Descriptives 对话框。将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。图 2.1 Descriptives 对话框2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mea
5、n 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue按钮返回主对话框。图 2.2 Options 子对话框3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333 ，17.1667 ，1.5250E2） 。表 2.1 样本均值向量在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：1. 选择菜单项 AnalyzeCorrelateBivariate，打开Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图2.3。图 2.3 Bivariate Cor
6、relations 对话框2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图 2.4。单击 Continue 按钮，返回主对话框。图 2.4 Options 子对话框3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协差阵。 （另外，Pearson Correlation 为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products 为样本离差阵。 ）2.6
7、 渐近无偏性、有效性和一致性；2.7 设总体服从正态分布， ，有样本 。由于 是相互独立的(,)pNX12,.nXX正态分布随机向量之和，所以 也服从正态分布。又 111()nnni iii iEEX22111()nnni ii i iDDX所以 。(,)pN2.8 方法 1： 1()niiiX1nii1()()niiEX1niiE。1(1)ni n方法 2： 1()niiiSX-1(ni ii -)-X)11()2()()nnii ii i n X-)X1()()()niii-X1()()niii nX-1()()()niiiEn S-X。1()()niii EX- 故 为 的无偏估计。S2
8、.9.设 是从多元正态分布 抽出的一个简单随机样本，试求(1)2()n,., (,)pNX的分布。证明： 设为一正交矩阵，即 。*()11ijnn I令 ，1212n=()=X ,34,iX由 于 独 立 同 正 态 分 布 且 为 正 交 矩 阵所以 。且有12()n 独 立 同 正 态 分 布， ， 。1nnii1()niiEn()VarnZ1()(,23,)naajEr 1naj10najir1()()naajVr2211nnajjajr所以 独立同 分布。2n (0,)N又因为 1()njjiSX1njj因为 11nni ini i XXZ又因为 nnjj XX 212111212nn
9、 1212nZZ 所以原式 nnjjnjj ZX112.nnZ-故 ，由于 独立同正态分布 ，所以1njjS121,nZ (0,)pN1(,)njpjW2.10.设 是来自 的简单随机样本， ，()iX,piN1,23,ik（1 ）已知 且 ，求 和 的估计。2.k1 2.k1（2 ）已知 求 和 的估计。,解：（1） ，112.ankinxx12.akaiii k(2) 1ln(,)kL 21l)exp anknp aiaii-1(x)()11ln()ln()l22ankaiaiiLp-1,(x)()21 11l, ()()0ankaiii X1ln(,)()0(,2.)jnj ijjiLk
10、解之，得，1jnjjijx12.jnkjjji kniixx第三章3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答：第一，提出待检验的假设 和 H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受） 。均值向量的检验：统计量 拒绝域均值向量的检验：在单一变量中当 已知 20()Xzn /2|z当 未知 tS /|(1)tn（ 作为 的估计量）221()niiS2一个正态总体 00H：协差阵 已知 21200()()(TnpX20T协差阵 未知 21),pFn(1)npF
