1、2015 年考研数学二真题一、选择题：（18 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)+2 1 +2 (C) (D)+2 1 +2 【答案】D。【解析】题干中给出 4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；+2 1=2|+2 = +；+2 =+2 ()=12()2|+2 = +；+2 1=+2 1()=()|+2 = +2 =+2 x= |+2 +2 -，=2-2-|+2 =3-2因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分(2)函数 在(-,+
2、) 内()=lim0(1+sin)2(A) (B)有可去间断点连续(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有1()=lim0(1+sin)2,=lim02(1+sin1)= lim0=(x 0)在 处无定义， () x=0且 所以 是 的可去间断点，选 B。lim0()=lim0=1, x=0 ()综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)设函数 ( ).若()=cos1, 0，0, 0 0,0f()在 =0处连续 ， 则(A) (B)-1 02 00，0, 0再有f+(0)=lim0+()(0) =lim0+1cos
3、1= 0, 1,不存在 ， 1， f-(0)=0于是， 存在 此时 .f(0) 1， f(0)=0当 ， ，1时lim01cos1=0=lim01sin1 0, -10,不存在 ， -10， 因此， 在 连续 。选 A() x=0 -1综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数 在(-,+) 内连续，其f() ()二阶导函数 的图形如右图所示，()则曲线 的拐点个数为 A O By=() (A) (B)0 1(C) (D)2 3【答案】C【解析】 在(-,+) 内连续，除点 外处处二阶可导。 f() x=0的可疑拐点是 的点及
4、 不存在的点。y=() ()=0 ()的零点有两个，如上图所示，A 点两侧 恒正，对应的() ()点不是 拐点， B 点两侧 ，对应的点就是y=() ()异号的拐点。y=()虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( ) 是(0) x=0 () 0,(0)的拐点。y=()综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数 满足 则 与 依次是f(,)(+,)=22， |=1=1 |=1=1(A) (B)12,0 0,12(C) (D)-12,0 0,-12【答案】D【解析】先求出 f(,)令=+,=, =1+,=1+,于是 f(,)=2(1+)
5、2- 22(1+)2=2(1)1+ =2( 21+1)因此|=1=1=2( 21+1)|(1,1)=0|=1=1= 22(1+)2|(1,1)=12综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学-多元函数微分学 -多元函数的偏导数和全微分(6)设 D 是第一象限中由曲线 与直线 2=1,4=1 y=,=3围成的平面区域，函数 在 D 上连续，则f(,) f(,)=(A)341sin212sin2(cos,sin)(B)34 1sin212sin2(cos,sin)(C)341sin212sin2(cos,sin)(D)34 1sin212sin2(cos,sin)【答案】 B【解析】D 是第一
6、象限中由曲线 与直线2=1,4=1围成的平面区域，作极坐标变换，将y=,=3化为累次积分。f(,)D 的极坐标表示为34， 1sin2 12sin2，因此f(,)=34 1sin212sin2(cos,sin)综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵 A= ,b= 。若集合 ，则线性方程 1 1 11 2 1 4 2 12 =1,2有无穷多解的充分必要条件为 =(A) (B), ,(C) (D), ,【答案】D【解析】 = 有无 穷 多解 ()=()0，D 是由曲线段 及直线 所=(02) =0,=2围成的平面区域， 分别表示 D 绕 轴与绕 轴旋转所成旋转1,2 体的体积。若 ，求 A 的值1=2【解析】1=202sin2=2201-cos22 =224由 A0 可得 2=220=220cos= 2(cos|2020cos)=2
