1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1000的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两 个 空 白 框 中 ， 可 以 分 别 填 入A A1 000和 n=n+1 B A1 000和 n=n+2 C A1 000和 n=n+1 D A1 000和 n=n+29已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+ 23)，则下面结论正确的是A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵
2、坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C210已知 F为抛物线 C： y2=4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C交于 A、 B两点，直线 l2与 C交于 D、 E两点，则| AB|+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D101
3、1设 xyz为正数，且 35xyz，则A2 x100且 该 数 列 的 前 N项 和 为 2的 整 数 幂 。 那 么 该 款 软 件 的 激 活 码是A440 B330 C220 D110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量 a， b的夹角为60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= .14设 x， y满足约束条件210xy，则 32zxy的最小值为 .15已知双曲线 C：21xyab（ a0， b0）的右顶点为 A，以 A为圆心， b为半径做圆 A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M、 N两点。若 MAN=60，则 C的离心率为_。16如图，圆形
4、纸片的圆心为 O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。 D、 E、 F为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB分别是以 BC， CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、F重合，得到三棱锥。当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分） ABC的内角 A， B， C的对边分别
5、为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求sin BsinC; （2）若6cos BcosC=1， a=3，求 ABC的周长.18.（12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 90APD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C的余弦值.19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个
6、零件中其尺寸在 (3,)之外的零件数，求()PX及 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix，1616222()()0.1i iisxx，其中 ix为抽取的第i个零件的尺寸， ,2i用样本平均数 作为
7、 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01）附：若随机变量 Z服从正态分布2(,N，则 (3)0.97 4PZ，160.97 4.59 2， 0.8.920.（12分）已知椭圆 C： 2=xyab（ ab0），四点 P1（1,1）， P2（0,1）， P3（1， 3）， P4（1， 3）中恰有三点在椭圆 C上.（1）求 C的方程；（2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A， B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为1，证明： l过定点.21.（12分）已知函数 )f
8、x（ ae2x+(a2) e x x.（1）讨论 (的单调性； （2）若 ()f有两个零点，求 a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 3cos,inxy（ 为参数），直线 l的参数方程为4,1xaty（ 为 参 数 ）.（1）若 a=1，求 C与 l的交点坐标； （2）若 C上的点到 l的距离的最大值为 17，求 a.23选修45：不等式选讲（10分）已知函数 f（ x）= x2+ax+4， g(x)= x+1+ x1.（1）当 a=1时，
9、求不等式 f（ x） g（ x）的解集；（2）若不等式 f（ x） g（ x）的解集包含1，1，求 a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A 2B 3B 4C 5D 6C7B 8D 9D 10A 11D 12A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 14-5 15 1623315cm三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
10、共60分。17（12分） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求sin BsinC;（2）若6cos BcosC=1， a=3，求 ABC的周长.解：（1）由题意可得21sin23iASbcA，化简可得 23ia，根据正弦定理化简可得： 222sin3isnCisinC3ABAB。（2）由 sinC 12cossincos1 3co6BAB，因此可得 3，将之代入 2sinCB中可得： 231sinsisincosin032CC ，化简可得 3ta,6B，利用正弦定理可得 1sin32bA，同理可得 3c，故而三角形的周长为 2。1
11、8.（12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C的余弦值.（1）证明： /,ABCB,又 ,PA、 PD都在平面 PAD内，故而可得 PD。又 AB在平面 PAB内，故而平面 PAB平面 PAD。（2）解：不妨设 2ABCa，以 AD中点 O为原点， OA为 x轴， OP为 z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标： 0,02,0,2,0PABaCa，因此可得 2aP，假设平面 AB的法向量 1,nxy，平面 的法向量 2,1nm，故而可得 101220P
12、aay ，即 1,0，同理可得2 2nCmnBn，即 2,1。因此法向量的夹角余弦值： 123cos,n。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 3。19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 (3,)之外的零件数，求()PX及 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
13、过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix，1616222()()0.1i iisxx，其中 ix为抽取的第i个零件的尺寸， ,2i用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01）附：若随机变量 Z服从正态分布2(
14、,N，则 (3)0.97 4PZ，160.97 4.59 2， 0.8.9解：（1） 16740.952.48PX由题意可得， X满足二项分布 ,.B，因此可得 16,0.166E（2）由（1）可得 .4085%P，属于小概率事件， 1故而如果出现 (3,)的零件，需要进行检查。由题意可得 AAA9.7.2139.4,310.6， 2故而在 .4,06范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时： .0.5x，15.9i。20.（12分）已知椭圆 C：2=xyab（ ab0），四点 P1（1,1）， P2（0,1）， P3（1， 3）， P4（1， 3）中恰有三点在椭圆 C上.（1）求
15、 C的方程；（2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A， B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为1，证明： l过定点.解：（1）根据椭圆对称性可得， P1（1,1） P4（1， 3）不可能同时在椭圆上，P3（1， 2）， P4（1， 32）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过 P2（0,1）， P3（1， 2）， P4（1， 32），代入椭圆方程可得： 2,4baa，故而可得椭圆的标准方程为：214xy。（2）由题意可得直线 P2A与直线 P2B的斜率一定存在，不妨设直线 P2A为： ykx,P2B为： kx.联立 2214804ykx，假设 1,Axy， 2,By此时可得： 2
16、22281418,44kkk，此时可求得直线的斜率为： 22212214884AB kkykx，化简可得 21ABkk，此时满足 k。当 2时， AB两点重合，不合题意。 1当 k时，直线方程为： 22218144kkyxk， 2即 2241kxy，当 时， ，因此直线恒过定点 ,。21.（12分）已知函数 )fx（ ae2x+(a2) e x x.（1）讨论 (的单调性；（2）若 有两个零点，求 a的取值范围.解：（1）对函数进行求导可得 2 11xxxxfeeae。当 0a时， 10xa恒成立，故而函数恒递减 1当 时， lnxxfexa，故而可得函数在 1,lna上单调递减，在 2 1l
17、n,a上单调递增。（2）函数有两个零点，故而可得 0a，此时函数有极小值 1lnl1fa，要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，故而可得 1lna，令 gla，对函数进行求导即可得到 210a，故而函数恒递增，又 g10， ln，因此可得函数有两个零点的范围为 ,1。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 3cos,inxy（ 为参数），直线 l的参数方程为4,1xaty（ 为 参 数 ）.（1）若 a=1，求 C与 l的交点坐标；（2）若 C上的点到
18、l的距离的最大值为 17，求 a.解：将曲线C 的参数方程化为直角方程为219xy，直线化为直角方程为 14yxa（1）当 a时，代入可得直线为 34yx，联立曲线方程可得： 239xy，解得2154xy或 30xy，故而交点为 21,5或 3,0（2）点 3cos,inxy到直线 14xa的距离为 cos4in1717ad，即： i7a，化简可得 173cosin14a，根据辅助角公式可得 52，又 5sin，解得 8a或者 6。23选修45：不等式选讲（10分）已知函数 f（ x）= x2+ax+4， g(x)= x+1+ x1.（1）当 a=1时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集；（2）若不等式 f（ x） g（ x）的解集包含1，1，求 a的取值范围.解：将函数 g化简可得 21xg（1） 当 1a时，作出函数图像可得 fx的范围在 F和 G点中间，联立 24yx可得点 17,12G，因此可得解集为 17,2。（2） 即 fxg在 1,内恒成立，故而可得 224xaxa恒成立，根据图像可得：函数 yax必须在 12,l之间，故而可得 1。
