1、江西理工大学研究生考试试卷一、 简答题（共 40 分，每题 10 分）1. 论述单元划分应遵循的原则。2. 说明形函数应满足的条件。3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。4. 阐述边界元法的主要优缺点。二、 计算题（共 60 分，每题 20 分）1. 一杆件如图 3 所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材料的杨氏模量 ，截面积 ，2721/10.3inlbfE215.inA，长度 ，集中力 ，用有限元方法求解 B 点2275.inAinLlfP和 C 点位移。备注：（1）1 lbf（磅力，libra force） = 4.45 N。
2、（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10 分）考试性质（正考、补考或其它）： 正考 考试方式(开卷、闭卷)： 开卷 20_12_20_13_ 学年 第_一_学期课程名称：_有限元及数值模拟_考试时间:_2012_ 年_11_ 月_3_日 试卷类别(A、B): A 共 九 大题温 馨 提 示请考生自觉遵守考试纪律，争做文明诚信的大学生。如有违犯考试纪律，将严格按照江西理工大学学生违纪处分规定 （试行）处理。学院 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总 分得分pyA1A2 L1L22. 如图 2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力
3、作用，厚度 t=1m，载荷F=20KN/m，设泊松比 =0，材料的弹性模量为 E，试求它的应力分布。 （15 分）图 23. 图示结点三角形单元的 124 边作用有均布侧压力 q，单元厚度为 t，求单元的等效结点荷载。图 3图 1一、简答题1. 答：1）合理安排单元网格的疏密分布2）为突出重要部位的单元二次划分3）划分单元的个数4）单元形状的合理性5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量2. 答：形函数应满足的三个条件：a. 必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所
4、引起的位移。b. 能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。c. 尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。3. 答：含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。4. 答：有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都
5、适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复
6、合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。可以预计，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用，其自身亦将得到进一步的发展和完善。三、 计算题1. 解：将杆件分解成两个元素，元素 1 的刚度矩阵 K1= ，inIbf/1025.3LEA61元素 2 的刚度矩阵 K2= iIf/7.962总刚度矩阵单元刚度矩阵形成后，应将各单元刚度矩阵组装集合成整体刚度矩阵（即总刚矩阵） 。如所示为杆
7、系结构两单元节点编号示意图，可得总刚度矩阵为(3-11)32321200kkK图 3-3 杆系结构两单元节点编号示意图引入边界条件求解节点位移总刚矩阵 组集完成后，即可获得整个结构的平衡方程为K(3-12)3212132100ullEF整个结构的边界条件为 ， 、 已知，三个未知量三个方程，因此1uF3上式可求得唯一解。32132FllEu321解出节点位移：u1=0u2=0.76210-5inu3=0.1829510-4in2. 解：(1)建立需要计算的力学模型以及划分单元由于该结构几何对称和受载也对称，故可利用其对称性，只需要取薄板的1/4 作为计算对象。为了简单起见，我们把它划分成 4
8、个三角形单元，单元和节点编号如图（b）所示。由于对称，节点 1，2，4，不可能有水平位移，节点4，5，6 不可能有垂直位移，故施加约束如图（b）所示。图 两类单元节点编号取总体 坐标并确定各节点的坐标值。由图看出，这里只有两类不同的yx,单元，一类单元是 1，2，4，另一类单元是 3。两类单元节点的编排如图所示。单元 1，单元节点 编排对应于结构的节点编号 1，2，3。三个节点坐标如下：， ， ，0ix0jxmx， ， myi2myj1y1代入得：； ； 0mjibimjb1jimyb； ； 1jixc 1ijxc0ijxc三角形面积: 2单元节点坐标以及单元和节点的编号是原始数据，可用手工输
9、入，也可由计算机完成。对于单元 2，3，4 定出单元节点 的坐标值后，同样可算出，以及各单元的面积。（2）计算个单元的刚度矩阵 及组集成总刚ekK由于 ， ，所以mt10214Et于是由式可求得单元刚度矩阵为 1321311 kkkmjijjiijie 25.025.0.025. .7. .05.05.05.2.E同理可得单元 2，4 的刚度矩阵分别为，25425kke 4654633ke由于 1，2，4 单元算出的 等值以及三角形面积均相同，故算出jib,2，4 的单元刚度矩阵与单元 1 的刚度矩阵数值完全相同。单元 3 的节点 相应于总体编号中的 2，5，3 点，其节点坐标为mji, my
10、yxxji 1,0,1由此得： .1,0,ccbbmji 从而算出单元刚度矩阵为： 3532233 kkkmjijjiijie 75.02.502.5.0. 1. 2.00520.5.E根据各单元刚度矩阵组集成总刚度矩阵 为K 46552444363313 2522212 00kkkkK称 ）（ 对由以上结果求得总刚度矩阵各元素为 5.021Ek5.02.12 Ek.13 5.12.05.05.0275.203212 EEEkk .2.32123 5.024Ek 02.5.05.32525 Ek 5.1.25.75.2.4313 Ek 2.0.0.25.043535 E 25436Ek 75.
11、0224 .245Ek 5.12.075.20.0.045325 EEkk .5456Ek 25.046把上面计算出的 ， 对号入座放到总刚矩阵 中去，于是得到1k6 K的具体表达式。K（3）计算并代入等效节点载荷及相应的位移边界条件，以建立和求解未知节点位移的平衡方程组。先求出各项等效节点载荷然后叠加，以形成方程组右端载荷项，但本问题只在节点 1 有一个集中外载荷 （取mkNRi/10的一半） 。mkNF/20由结构的对称性，可以看出 。于是需要求的未65421vu知节点位移分量只有 6 个，即 ， ， ， ， 。代入边界条件及外载荷以v3及支反力后，其方程组为 yyxxFFuvuv6542
12、130002.05.2.0025.00 15.2.125. . 70250.000 .5.2.25. .15.5.22.1. 0000025.-25E把左端系数矩阵行列倒换，于是可分块求解。第二种办法是把带有支反力的方程去掉，即把系数矩阵中的第 1，3，7，8，10，12 行和列划掉，得出带有6 个未知位移的方程式： 001500012525100056321uv. . .E解此方程组即得到位置节点位移分量。由上方程组求得位移分量如下： E/././.Euv76123805165321(4)求单元应力分量求出节点位移分量后，就可以按式计算单元中的应力。我们略去初应变 ，于是有0对于单元 1，2，4： 5.0.5.0.11ES对于单元 3： 5.05.0.011ES注意到 ，最后可求得各单元的应力为65421 vu 23211 40850501m/kN.vuv.E)(xyx
