1、1.设 un 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱 w0S 。 证明：将 un 通过冲激响应为 hn 的 LTI 离散时间系统，设其频率响应 wH 为 001 , w - ww 0 , w - w wH w 输出随机过程 yn 的功率谱为 2yS w H w S w 输出随机过程 yn 的平均功率为 002011r0 22wwyywwS w d w S w d w 当频率宽度 w0 时，上式可表示为 01r 0 0y S w w 由于频率 0w 是任意的，所以有 w0S 3 、 已知：状态方程 )()1,()1()1,()( 1 nnnnxnnFnx 观测方程 )()()()( 2 nnxnC
2、nz )()()( 111 nQnnE H )()()( 222 nQnnE H 滤波初值 )0()|0( 0 xEx ) 0()0() 0()0()0( HxExxExEP 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤 1 状态一步预测，即 1*11 )|1()1,()|( Nnn CnxnnFnx 步骤 2 由观测信号 z(n)计算新息过程，即 1*11 )|()()()|()()( Mnn CnxnCnznznzn 步骤 3 一步预测误差自相关 矩阵 NNHHCnnnQnn nnFnPnnFnnP *1 )1,()1()1,( )1,()1()1,()1,( 步骤 4 新息过
3、程自相关矩阵 MMH CnQnCnnPnCnA *2 )()()1,()()( 步骤 5 卡尔曼增益 MNH CnAnCnnPnK *1 )()()1,()( 或 )()()()( 12 nQnCnPnK H 步骤 6 状态估计 1*1 )()()|()|( Nnn CnnKnxnx 步骤 7 状态估计自相关矩阵 NNCnnPnCnKInP *)1,()()()( 或 )()()()()()1,()()()( 2 nKnQnKnCnKInnPnCnKInP HH 步骤 8 重复步骤 1-7，进行递推滤波计算 4、 经典谱估计方法： 直接法：又称为周期图法，它把随机序列 x(n)的 N 个观测数
4、据视为一能量有限的序列，直接计算 x(n)的离散傅里叶变换，得到 X(k), 然后再取其幅值的平方，并除以 N，作为序列 x(n)的真实功率普估计 自相关法 ： 1949 年， Tukey 根据 WienerKhintchine 定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，从而得到谱的估计。 1958 年， Blackman 和 Tukey 在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法，所以自相关法又叫 BT 法。 5、假定输入信号 x(t)是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为 0)( NfPx ，且线性系统的冲激响应为 el
5、seteth t,0 0,)( 求输出 y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协方差函数。 解：由题知，系统的传递函数为 0 22 21 1)()( fjdteedtethfH ftjtftj 有此得222 41 121 121 1)()()( ffjfjfHfHfH 由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得 2202 41)()()( fNfPfHfP xy 输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有 eNdfefj NdfefPC fjfjxy 241)()( 022202 6、 BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（ 1）相关图法又称 BT 法， BT
6、谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平 滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （ 2）此方法的具体步骤是： 给出观察序列 )1(),.,1(),0( Nxxx ，估计出自相关函数： mN n NmN，mnxnxNmR 1 0 11)()(1)( 对自相关函数在（ -M， M）内作 Fourier 变换，得到功率谱： mjMMm emmRS )()()( 式中，一般取 1Nm ， )(m 为一个窗函数，通常可取矩形窗。 可见 ，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。 7、 对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳辛欣定理的主要内容。 答： (1)连续时间信号相
7、应的维纳辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系： )()()( xjxx RFdeRS deSR jxx )(21)( (2)离散时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容： 离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系： mjm xjx emReS )()( deeSmR mjjxx )(21)( 8、 举例说明卡尔曼滤波的应用场景。 答：假设要研究的对象是一个房间的温度。根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设用一分钟来做时间单位）。假设经验不是100%的可信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（
8、 White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（ Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们 也把这些偏差看成是高斯白噪声。 现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算 k 时刻的是实际温度值。首先要根据 k-1 时刻的温度值，来预测 k 时刻的温度。因为假定温度是恒定的，所以 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一
9、样的，假设是 23 度，同时该值的高斯噪声的偏差是 5 度（ 5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是 3，预测的不确定度是 4 度，二者平方相加再开方，就是 5）。然 后，从温度计那里得到了 k 时刻的温度值，假设是 25 度，同时该值的偏差是 4 度。 由于我们用于估算 k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是 23 度和 25 度。究竟相信谁多一点，我们可以用他们的 covariance 来判断。因为 Kg2=52/(52+42)，所以 Kg=0.78，我们可以估算出 k 时刻的实际温度值是： 23+0.78*(25-23)=24.56 度。可以看出，因为温度计的co
10、variance 比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到 k 时刻的最优温度值，下一步就是要进入 k+1 时刻，进行新的最优估算。在进入 k+1 时刻之前，我们还要算出 k 时刻那个最优值（ 24.56 度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的 5 就是上面的 k 时刻预测的那个 23 度温度值的偏差，得出的2.35 就是进入 k+1 时刻以后 k 时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的 3）。 9、离散时间信号 ()sn 是一个一阶的 AR 过程，其相关函数 |( ) , 0 1ksR k a a ，两观测数据为 (
11、) ( ) ( )x n s n v n，其中 ()sn 和 ()vn 不相关，且 ()vn 是一个均值是 0，方差为 2v 的白噪声，设计维纳滤波器 ()Hz 。 解： 由题意，可写出维纳霍夫方程： ( 0) (1 ) ( 0)( 0)(1 ) ( 0) (1 )(1 )x x sxx x sxR R RwR R Rw 由于 ()sn 和 ()vn 不相关，故 | | 2( ) ( ) ( ) ( )kx s v vR k R k R k a k ( ) E ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) ( )s x sR k s n x n k s n s n k v n
12、 k s n s n k R k 因此有 |( ) ( ) ksx sR k R k a，代入得： 22( 0) 11 (1 )1vvwa waa 解方程得： 222 2 222 2 21(0 )(1 )(1) (1 )vvvvawaawa 所以，维纳滤波器的传递函数 1( ) (0 ) (1)H z w w z ，其中 (0)w 和 (1)w 由上式给出。 11、 如图 (a)所示系统，其中 e t tt( ) sin 22 ，系统中理想带通滤波器的频率响应如图 (b)所求，其相频特性 ( )0 ，请分别画出 yt() 和 rt() 的频谱图，并注明坐标值。 答案： 12、 AR 谱估计的基
13、本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（ 1） AR 谱估计的基本原理是： p 阶的 AR 模型表示为： pi i nuinxnx 1 )()()( 其自相关函数满足以下 YW 方程： 取 pm ,.,2,1,0 ，可得到如下矩阵方程： 在实际计算中，已知长度为 N 的序列 )(nx ，可以估计其自相关函数 )( mRx ，再利用以上矩阵方程，直接求出参数 p ,., 21 及 2 ，于是可求出 )(nx 的功率谱的估计值。 13、已知信号模型为 s（ n） =s(n-1)+w(n),测量模型为 x(n)=s(n)+v(n),这里 w(n)和 v(n)都是均值为零的白噪声，其
14、方差分别为 0.5 和 1， v(n)与 s(n)和 w(n)都不相关。现设计一因果 IIR维纳滤波器处理 x(n)，以得到对 s(n)的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。 解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值： a=1， c=1， Q=0.5， R=1。将它们代入 Ricatti 方程 Q=P a2RP/(R+c2P) 得 0.5=P P/(1+P) 解此方程得 P=1 或 P=-0.5，取正解 P=1。 再计算维纳增益 G 和参数 f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 故得因果 IIR 维纳滤波
15、器的传输函数和差分方程分别如下： Hc(z)=G/(1 fz-1)=0.5/(1 0.5z-1) （ n） =0.5 (n-1)+0.5x(n) 14、 简述 AR 模型功率谱估计步骤。 步骤 1： 根据 N 点的观测数据 uN（ n）估计自相关函数，得 )( mru ， m=0,1,2, ,p, 即 )()(1)( *10 mnunuNmr NNn Nu 步骤 2： 用 p+1 个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin 算法），求解 Yule-Walker 方程式，得到 p 阶 AR 模型参数的估计值21 , paaa 和 p2 步骤 3：
16、 将上述参数代入 AR（ p）的功率表达式中，得到功率谱估计 )(wSAR ，即 001)0()1()()1()0()1()()1()0( 21 pxxxxxxxxxRpRpRpRRRpRRRpkj w kkpAReawS122|1|)( 一填空 1. 在随机信号处理中，当满足（ 样本数量足够大 或者 样本数量趋于无穷大 ）的条件时，时间平均和统计平均趋于一致。 2. 在信号检测常用的四种准则中，（ Bayes 最小风险准则 ）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（ 先验概率 ）和（ 代价函数 ）这两个应用条件。 3. Cramer-Rao 不等式是用于描述估计量有效
17、性下限的重要公式，对一个估计量进行估计的最小方差是（ 221 lndbdxEf）。该不等式可借用 Fisher 信息量加以描 述，请给出 Fisher信息量的数学表达式（ 2 22l n l nxxJ E f E f ）。 4. 一般采用（ 协方差函数 或者 自相关函数 ）和（ 偏相关函数 ）这两个统计量对AR/MA/ARMA 三种模型进行识别：如果（ 偏相关函数 ）是截尾的，则说明该时间序列适于用 AR 模型建模。 5. 在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（ 低 ）（高还是低？）频段频率。 二推演题 1. 某独立观测序列 12, , , ,Nx x x 其均值为 m，方差为 2 。现有两种
18、估计算法： 算法 A：均值估计为 1 11 N nnmxN ，算法 B：均值估计为 2 11 1 N nnmxN 请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（ 12 分） 答：算法 A：均值估计为 1 11 N nnmxN ，则 1 11()NnE m m mN ，21 2111( ) ( )N nnD m D XNN ， 均值估计 1m 是无偏估计 22222122 1)( mmmEXNENn n 算法 B：均值估计为 2 11 1 N nnmxN ，则 2 11() 11NnNE m m mNN， 2 22 2 2() 1ND m E m m N 均值估计 2m 是有偏估计 12 D m
19、 D m 所以，算法 A 比算法 B 更有效。 2. 对于平稳 Poisson 随机过程 X(t)，已知在任一区间 中发生 n 个事 件的概率为 , 0 , 1 ,! nnP P X s X s n e nn 。求 的最大似然估计 ，并讨论该估计量的无偏性。（ 10 分） 答： (1) 函数 eL iii nnn!)( ln!ln)(ln iin nnL i 0)( 1 NnLddni i NnNi i 1（ 2） NNNEnENi i1 )(，所以该估计量是无偏估计。 3. 设脉冲信 号 s(t)如下图所示，求其匹配滤波器的传输函数与输出信号。（ 8 分） 解：先求 s(t)的频谱 . 0(
20、 ) ( 1 )Tj t j t j TAS s t e d t A e d t ej 再取观测时刻 t0=T，则可得匹配滤波器的传输函数为： 00( ) * ( ) ( 1 )j T j TjTKAH K S e e ej 因为抽样时间，为使延时最小，即 T0=T ( ) (1 )jTKAHej 此 H(w)为匹配滤波器的传输函数，其中 K 为常数。 匹配滤波器的冲击响应为 ( ) ( ),0()0,h t K s T tK A t Thtels e 匹配滤波器的输出信号为： 0022( ) ( ),20 , 0 , 2,( 2 ) , 20 , 0 , 2tTtTs t s h t dAK
21、A d o t TAKA d T t Tt t TKA t o t TKA T t T t Tt t T 三问答题（共 50 分） 1. 现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题： （ 1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。 答：若独立同分布的随机变量序列 ,2,1, nX n 为一个随机过程，其均值为 nXEm ，方差为 ,2,1,2 nXD n ，则由大数定律可知 11lim 1 mXNP Nk kN 大数定律表明，随时间 n 的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来
22、越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性叫做各态历经性。 （ 2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。 答：设 ttX , 为实值平稳过程，若它的均值为零， 在时域中，其自相关函数仅在 0 点 有一个冲击函数，在其他点均为 0； 在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称 X(t)为白噪声过程。 （ 3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。 答：白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。 其应用举例可从广
23、义匹配滤波器 或者 ARMA 模型出发来举。 （ 4）滤波器设计中的恒 Q 特性是什么？在信号处理分析中有什么特点？ 答： Q 值（品质因数）定义： 0Q带宽 /中心频率 在小波变换中，小波基函数 (t) 的 Q 值： 0/Q ； (t/a) 的 Q 值保持不变：00 / / a Qa 不论 a 为何值 (a0)， (t/a) 始终和 (t) 具有相同的品质因数 Q。 由于恒 Q 性质，因此在不同尺度下，小波变换可以 提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。 （ 5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的 DFT 变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法
24、的优劣。 答：只要能提出一种时频联合分析的方法即可 。如 STFT、 Gabor 变换、小波变换等。 2. 与传统的数字信号处理相比，现代信号处理另一个最大的区别在于更多的关注信号之间的关系，如相关函数、功率谱密度函数、信噪比等，请回答下述问题： （ 1）信噪比是衡量信号与噪声之间的能量差异的相对值，在通信系统、信号处理中被广泛使用，请给出至少两个实例，并加以分析讨论。 SNR 信噪比 或 PSNR 峰值信噪比均可，但需要说明信号与噪声能量的定义，并举出相应 的实例。 （ 2） Wiener 滤波器是现代信号滤波处理的经典，其核心在于考察滤波器输入输出信号之间的关系，请用恰当的 数学模型对其加
25、以描述。 滤波器的理想输出为 s(t+a) 估计误差为 e(t)=s(t+a)-y(t) 估计误差的平方为： 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )e t s t s t y t y t 而 ( ) ( ) ( )y t h u x t u d u 代入上式，两边取数学期望，得到均方误差： 2 ,( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (0 )x s x sE e h u h v R v u d u d v h u R u d u R 其中， Rs s(t)的自相关函数 ， Rx x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x s(t)和 x(t)之间的互相关函 数 若信
26、号 s(t)和噪声 n(t)不相关，且噪声均值为零，即 En(t)=0，则有： ,x s ns x sR R RRR 维纳滤波就是希望求出最优 h(u)，使得 2E e (t)最小。 （ 3）自适应滤波器是利用误差信号调整滤波器的传输函数，从而达到系统最优。请从现代信号处理的角度出发阐述自适应滤波器系统最优的含义，并举例说明。 答：从信号处理角度，自适应滤波器系统最优的含义是误差信号最小，系统的输出信号与指导信号之间的“距离”最小。举例可举信道均衡 /估计，系统辨识等。 （ 4）功率谱密度是对时域自相关函数进行傅立叶变换得到的结果。请阐述在工程中对功率谱密度进行测量有何应用？ 答：（ a），有
27、些信号处理系统，需要预先知道信号的功率谱密度（或者自相关函数）。如：维纳滤波器、 MMSE 算法。 （ b），若知道功率谱密度，可估计出线性系统的参数。用白噪声激励，通过功率谱估计 FR。22( ) ( )yyPH （ c），利用功率谱密度，可从宽带信号中检测出窄带信号。（宽带噪声下的窄带通信系统） 1、 证明：若相关矩阵的特征值 1， 2， 3各不相 同，则特征向量 q1,q2 q3 相互正交。 证明 :设 qi 和 qj 分别为相关矩阵 R 的特征值 i 和 j 对应的特征向量（ i j），则有 Rqi = iqi 两边左乘 qjH ， 有 qjHRqi = iqjHqi 又因为 Rqj
28、= iqj ，利用 R 的 Hermite 对称性，其共轭转置为 qjHR = jqjH 两边右乘 qi ，得 qjHRqi = iqjHqi 所以有 （ i- j） qjHqi = 0 由于 i j ，故有 qjHqi = 0 i j 即当 i j 时，特征向量 q 和 q 相互正交 。 2、简述最小二乘估计和维纳滤波的区别，以及何时二者具有一致性，加以证明。 解答： 维纳滤波是建立在最小均方误差的准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需要满足的维纳 -霍夫方程。此准则需要输入信号的统计特性来寻找最优滤波。最小二乘估计是根据有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小
29、二乘估计使用确定思想，而维纳滤波使用统计思想。 对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。 证明过程：维纳 -霍夫方程为： 0RW P 其中， R 和 P 分别是输入向量的自相关矩阵和互相关向量。分别为： ( ) ( )HR E u n u n * ( ) ( )P E u n d n 在最小二乘估计中的确定性正则方程为： HHA AW A b 上式两边同时除以时间区间长度 N-M-1，则： 11()11HHA A W A bN M N M 在有限个观测样本时的时间平均估计值可表示为： 11 ( ) ( )11 NHHnMR A A u n u nN M N M *11 ( ) ( )11 NHnMP A b u n d nN M N M 因为 u（ n）是各态历经的平稳过程，且，当观测数样本数趋于无穷大时有： 1 limNM RR 1 limNM PP 也即，当观测样本数趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳 -霍夫方程。也就是说，最小二乘方法逼近维纳滤波。此时，二者具有一致性。 3、已知输入信号向量 u(n)的相关矩阵及数学期望响应信号 d(n)的互相关向量分别为
