1、1-4 在离水面高 h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S处，如题 1-4图所示当人以0v (m 1s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图 1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成 角，由图可知 222 shl 将上式 对时间 t 求导，得 tsstll dd2dd2 题 1-4 图 根据速度的定义，并注意到 l ,s 是随 t 减少的， tsvvtlv dd,dd0 船绳即 c o sdddd 00 vvsltlsltsv 船或 s vshslvv 02/1220 )( 船将 船v 再对 t 求导，即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度
2、为 a 4+3t 2sm ， 开始运动时， x 5 m v =0，求该质点在 t 10s 时的速度和位置 解： ttva 34dd 分离变量，得 ttv d)34(d 积分，得 12234 cttv 由题知， 0t , 00v , 01c 故 2234 ttv 又因为 2234dd tttxv 分离变量， tttx d)234(d 2 积分得 232 212 cttx 由题知 0t , 50x , 52c 故 5212 32 ttx 所以 s10t 时 m7 0 551021102sm1 9 0102310432101210 xv1-10 以初速度 0v 20 1sm 抛出一小球，抛出方向与水
3、平面成幔 60的夹角， 求： (1)球轨道最高点的曲率半径 1R ； (2)落地处的曲率半径 2R (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系 ) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示 题 1-10 图 (1)在最高点， o01 60co svvv x 21 sm10 gan 又 1211 van m1010)60c o s20( 22111nav (2)在落地点， 2002 vv 1sm , 而 o60cos2 gan m8060cos10 )20(22222nav 1-13 一船以速率 1v 30km h-1沿直线向东行驶 ， 另一小艇在其前方以速率 2v 40km h-1 沿直
4、线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何 ?在艇上看船的速度又为何 ? 解： (1)大船看小艇，则有 1221 vvv ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图 (a) 题 1-13 图 由图可知 1222121 hkm50 vvv 方向北偏西 87.3643a r c t a na r c t a n 21vv(2)小船看大船，则有 2112 vvv ，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图 (b)，同上法，得 5012v 1hkm 2-2 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v 运动， 0v 的方向与 斜面底边的水平线 AB 解 : 物体置于斜面上受到重力 mg ，
5、斜面支持力 N .建立坐标：取 0v 方向为 X 轴，平行斜面与 X 轴垂直方向为 Y 轴 .如图 2-2. 题 2-2 图 X 方向： 0xF tvx 0 Y 方向： yy mamgF s in 0t 时 0y 0yv 2sin21 tgy 由 、式消去 t ，得 220 s in21 xgvy 2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv (k 为常数 )作用， t =0时质点的速度为 0v ，证明 (1) t 时刻的速度为 v tmkev )(0 ； (2) 由 0到 t 的时间内经过的距离为 x ( kmv0 ) 1- tmke )( ； (3)停止运动前经过的距离为 )
6、(0 kmv ； (4)证明当 kmt 时速度减至 0v 的 e1 ，式中 m为质点的质量 答 : (1) tvmkva dd 分离变量，得 mtkvv dd 即 vvt m tkvv0 0dd mktevv lnln0 tmkevv 0 (2) t tt mkmk ekmvtevtvx0 00 )1(dd(3)质点停止运动时速度为零，即 t， 故有 0 00 d kmvtevx tmk (4)当 t=km 时，其速度为 evevevv kmmk 0100 即速度减至 0v 的 e1 . 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 10 sm v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(
7、bta )N( ba, 为常数 )，其中 t 以秒为单位： (1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； (2)求子弹所受的冲量 (3)求子弹的质量 解 : (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)( btaF ,得 bat (2)子弹所受的冲量 t btattbtaI 0 221d)( 将 bat 代入，得 baI 22 (3)由动量定理可求得子弹的质量 020 2bvavIm 2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假 定铁锤两次打击解 : 以木板上界面
8、为坐标原点，向内为 y 坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为 题 2-13 图 kyf 第一锤外力的功为 1A ss kykyyfyfA 101 2ddd 式中 f 是铁锤作用于钉上的力， f 是木板作用于钉上的 力，在 0dt 时， f f 设第二锤外力的功为 2A ，则同理，有 21 222 221dy kkyykyA 由题意，有 2)21( 212 kmvAA 即 2221 22 kkky 所以， 22 y 于是钉子第二次能进入的深度为 cm4 1 4.01212 yyy 2-15 一根劲度系数为 1k 的轻弹簧 A 的下端，挂一根劲度系数为 2k 的轻弹簧 B ， B 的下端
9、 一 重物 C ， C 的质量为 M ，如题 2-15图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 解 : 弹簧 BA、 及重物 C 受力如题 2-15 图所示平衡时，有 题 2-15 图 MgFF BA 又 11 xkFA 22 xkFB 所以静止时两弹簧伸长量之比为 1221 kkxx 弹性势能之比为 12222211121212 kkxkxkEEpp 2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 1m 和 2m的滑块组成如题 2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为 k ，自然长度等于水 平距离 BC ， 2m 与桌面间的摩擦系数为 ，最初 1m 静止于 A
10、点， AB BC h ，绳已拉直，现令滑块落下 1m ,求它下落到 B 处时的速率 解 : 取 B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 )(21)(21 212212 lkghmvmmghm 式中 l 为弹簧在 A 点时比原长的伸长量，则 hBCACl )12( 联立上述两式，得 212221 122 mm khghmmv 题 2-17 图 2-19 质量为 M 的大木块具有半径为 R 的四分之一弧形槽，如题 2-19图所示质量为 m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度 解 : m 从
11、M 上下滑的过程中，机械能守恒，以 m ， M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有 22 2121 MVmvmg R 又下滑过程，动量守恒，以 m ,M 为系统则在 m 脱离 M 瞬间，水平方向有 0MVmv 联立，以上两式，得 MmMgRv 2 习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问： (1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零 )?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ? 解 : 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q 为负电荷 20220 )33(4130c o s412aqqaq 解得 qq 33 (2)与三角形边长无关 题 8-1 图 题 8-2 图 8-2 两小球的质量都是 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它
