1、一、 事件的关系与运算1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ）（A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”.（C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.二、 五大公式：1、已知事件A，B有概率 4.0)( AP ， 5.0)( BP ，条件概率 3.0)|( ABP ，则 )( BAP 0.62 1、已知事件A，B有概率 4.0)( AP ， 5.0)( BP ，条件概率 3.0)|( ABP ，则 )( BAP 0.78 ；1、已知事件A，B有概率 4.0)( AP ，条件概率 3.0)|( ABP ，则 )( BAP0
2、.28 ；1、设A、B、C是三个事件， 3/1)()()( CPBPAP ， 0)()( ACPABP ，4/1)( BCP ，则 )( CBAP 3/4 （或 0.75 ） ；1、设A、B、C是三个事件， 4/1)( AP ， 3/1)( ABP ， 2/1)( BAP ，则)( BAP 1/3 ；1、设 “甲地发生春季旱情”A 、 “乙地发生春季旱情”B 是两个随机事件，且4/1)( AP ， 3/1)( ABP ， 2/1)( BAP ，则 情”“甲或乙地发生春季旱C 发生的概率为 1/3 ；1、已知 4/1)()()( CPBPAP ， 0)( ABP ， 6/1)()( BCPACP
3、 ，则)( CBAP 5/12 ；1、设 “甲地房价下跌”A 、 “乙地房价下跌”B 是两个随机事件，且 4/3)( AP ，3/2)( ABP ， 2/1)( BAP ，则 “甲或乙地房价下跌”C 发生的概率为 ；1设事件A、B互不相容， pAP )( ， qBP )( ，则 )( BAP（A） qp)1( . （B）pq . （C） qp . （D）p . （ D ）11、若 6.0)(,4.0)(,5.0)( BAPBPAP ，则 )( ABP （ C ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；1、若 2/1)(,3/1)(,4/1)( BAPABPA
4、P ，则 )( BAP （ C ）(A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；1、从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8，不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加了培训。（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？解：设事件A=“参加培训”，B =“英语CET4成绩超过425分”，则8.0)( ABP 8.0)( ABP ， 4.0)( ABP ， 7.0)( AP 3.0)( AP ，所以（1） 68.04
5、.03.08.07.0)()()()()( ABPAPABPAPBP 。（2） 823529.068.0 8.07.0)( )()()( )()( BP BAPAPBPABPBAP 。1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。：（1） 螺丝钉的不合格品率为多 ？（2）若 在从产品中任取一件 是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？解：设 1A表示“螺丝钉 甲台机器生产”， 2A 表示“螺丝钉 乙台机器生产”，3A 表示“螺丝钉 丙台机器生产”，B表示“螺丝钉不合格”。（1） 概率公式 )()()
6、()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP =0.250.05+0.350.04+0.400.02=0.0345； （5分）（2） 公式 362319.00345.0 05.025.0)( )()()( 11 BP ABPAPBAP （3分）1、 的 ， ，设已知如果不 ， 的概率为0.8，若 ，则 的概率为0.15。有0.9的 得 。：（1） 的概率？（2）若 已经 ，则 的概率为多大？解：设 A表示“ ”，B表示“ ”，则 9.0)( AP ，1.0)( AP ， 85.015.01)( ABP ， 15.0)( ABP ， 2.0)( ABP ，8.0)( AB
7、P ，2（1） 概率公式 )()()()()( ABPAPABPAPBP =0.90.85+0.10.2=0.785； （5分）（2） 公式 372093.0785.01 8.01.0)( )()()( BP ABPAPBAP （8分）1、 已知一产品中90%是合格品，currency1，一个合格品“为是次品的概率为0.05，一个次品“为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经后为是合格品的概率；（2）一个经后为是合格品的产品 是合格品的概率.解：设A=“任取一产品，经验为是合格品” （2）B =“任取一产品 是合格品”则（1） ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B
8、 P A B P B P A B= + （3）0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.= （2） ( ) 0.9 0.95( | ) 0.9977( ) 0.857P ABP B AP A= = = . （2）1、有甲、乙、丙三个，其中分fi有一个fl 两个 、一个 两个fl 、三个fl 三个 。一 ，若 1，2，3则甲，若 4则乙，则丙。后从所的中中任取一 。求：（1）取 的 是fl 的概率；（2）”取 的 为fl currency1， 自甲的概率。解：设 A=“中的为甲”， A=“中的为乙”， C =“中的为丙”，D“取 一 为fl ”，已知 3 1 2( ) , ( ) , (
9、)6 6 6P A P B P C= = =， 1 2 3( | ) , ( | ) , ( | )3 3 6P D A P D B P D C= = = (3分)（1） 概率公式 3 1 1 2 2 3 4( ) 6 3 6 3 6 6 9P D = (2分)（2） Bayes公式 3 136 3( | )4 89P A D = = (2分)1、发台分fi以0.60.4的概率发 “”“ ”， 系，”发 “”currency1，台 “”，而是分fi以概率0.80.2 “”“ ”，同”发 “ ”currency1，台分fi以概率0.930.1 “ ”“”，求：（1）台 “”的概率；（2）”台 “
10、”currency1，发台是发 “”的概率。解：设 A=“发 ”， B =“发 ”， C =“ ”，已知 6.0)( AP ， 4.0)( BP ， 8.0)( ACP ， 1.0)( BCP (3分)（1） 概率公式 52.01.04.08.06.0)()()()()( BCPBPACPAPCP (2分)（2） Bayes公式 131252.0 8.06.0)( )()()( CP ACPAPCAP (2分)三、 三大概(、 、 )2、设10件中有3件是次品。 从中随机 取3件，则这三件产品中 有1件是次品的概率为 )24/17(/1 31037 或CC ；2、已知10件产品中 2件次品，在
11、其中任取2次， 次任取一件， 不 ，则其中一件是 品，一件是次品的概率为 16/45 ；1、同currency1 的 ，则 有两 的概率为（ ） ；1、某 同一 立 ， 次中 的概率为p，则在4次currency1 2次中 的概率为（ B ）(A) 22 )1(4 pp ； (B) 22 )1(3 pp ； (C) 22 )1(2 pp ； (D) 3)1( pp ；1、 中有5个 （3个 ，2个fl ）， 次取1个， 取两次，则二次取 的概率为（ A ）(A) 53； (B) 43； (C) 21； (D) 103 ；2、已知某 器件寿X (以天计)的概率密度函数为 .10,0,10,10)
12、( 2xxxxf （1）求X的分布函数 ).(xF（2） 有一大种器件(设各器件损坏与相互立)，任取10只，以Y表示寿大15天的器件的只数，求Y的分布律。解 ： （ 1 ） 因 为 ” 10x currency1 ， 00)( x dxxF， ” 10x currency1 ，xxdxxdxxFxx 10110100)(1010210 ，故.10,0,10,101)(xxxxF （4分）4（2）因为任意一只器件寿X大15天的概率为 32)15(1 Fp ，又各器件损坏与相互立，所以Y服从 )32,10(b ，概率分布律为.10,2,1,0,31321010 kkkXPkk（8分）2、已知随机变
13、量X的概率密度函数为 .,0,0,2cos21)(其他xxxf （1）求X的分布函数 ).(xF（2） 对X立 观察4次，以Y表示大 6/ 的次数，求Y的分布律。解 ： （ 1 ） 因 为 ” 0x currency1 ， 00)( x dxxF， ” x0 currency1 ，2sin2sin2cos210)(000 xxdxxdxxF xx ， ” x ， 1)( xF ， 故.10,2sin,0,0)(xxxxxF，（4分）（ 2 ）因为 X大 6/ 的概率为 )12/sin(1)6/(1 Fp ，所以 Y服从)12/sin(1,4( b ，概率分布律为 .4,3,2,1,0,)12/
14、sin()12/sin(14 4 kkkXPkk （4分）四、 一维随机变量的分布及性质5设随机变量 )2,1( UX ，令.0,1,0,1XXY，则Y的分布律为323111kpX 4、随机变量 X 的分布函数是xxxxxF3,131,6.011,4.01,0)( ，则 X 的分布律是4.02.04.0311kpX ， )31( XP 0.4 ；59、设随机变量X的概率密度为.1,0,1,1)( 2xxxxf ，令.4,2,4,1XXY，则Y的分布律为414321kpY；4、随机变量X的分布函数是xxxxxF3,131,8.011,6.01,0)( ，则 )31( XP 0.4；2设离散随机变
15、量X的分布律为 kkXP ， ,2,1k 且 0 ，则参数 （A） 11 （B） 1 （C） 11 （D）不能 （ C ）2、设离散随机变量X的分布律为 kkXP ， ,2,1k ，则参数 （D ）(A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；3、设连续随机变量X的概率密度为 xxAxf ,1)( 2 ，则参数 A （D ）(A) 0 ； (B) 1； (C) ； (D) /1 ；2、设随机变量X的概率分布律为 ,2,1,0, kbbkXP k ，则参数 （C）(A) 0 的任意实数； (B) 1 b ； (C) 11 b ；(D) 11 b ；五、 连续概率密度与分
16、布函数的相关计算5、连续随机变量的分布函数为 000,1)(xxexF x ，则概率密度函数为 000,)(xxexf x ；4、随机变量X的分布函数是.1,1,10,0,0)( 2xxxxxF ，则随机变量X的概率密度6函数为 .,0,10,2)(其他xxxf ；4、随机变量X的分布函数是.1,1,10,0,0)(xxxxxF ，则随机变量X的概率密度函数为 .,0,10),2/(1)(其他xxxf ；5、设随机变量的概率密度为 .,0,10,4)( 3其他xxxf ，若 aXPaXP ，则a 4 2/1 ；7、随机变量K在 )5,0( 内服从 分布，则关x的方程 0244 2 KKxx 有
17、实根的概率为_3/5 （或 0.6 ） _；3、随机变量X的概率密度为1, 0 2,( )0 , .ax xf x + =其它求（1）常数a； （2）X的分布函数 )(xF ； （3） )31( XP解：（1）因为 122)1()(20 adxaxdxxf ，所以 2/1a . （3分）（2）因为 .2,1,20,4,0,0.2,120,)121(,0,0)()(20xxxxxxxdttxdttfxF xx （4分）（3）因为 X为连续随机变量， 41)411(1)1()3(31 FFXP 。或3 21 11(1 3) ( ) (1 )2 4xP x f x dx dx = = - =蝌 （4
18、分）2、随机变量X的概率密度为 xAexf x ,)( ，求（1）常数A； （2） 10 XP ； （3）X的分布函数 )(xF 。解：（1） AAedxeAdxAedxxf xxx 222)(1 00 ， 21A （2分）7（2） .212110110 edxeXP x （2分）（ 3 ）” 0x currency1， xx tx edtedttfxF 2121)()( ，” 0x currency1，xxttx ttx eeedtedtedttfxF 21121212121)()(0000 ，X的分布函数为 .0,1,0,)(2121xexexFxx（3分）2、设连续随机变量X的分布函数为
19、 ,1.1,11,arcsin,1,0)( xxxBAxxF 求（ ）AB；（ ） 2/1 XP ；（ ）概率密度函数 )(xf ;（ ） )(XE .解：（ ）)01(1)1arcsin()01()01(0)1arcsin()01(FAFFAF， 1,21 BA . (2分) 5.0)2/1()2/1(2/1 FFXP (2分)（ ） .1,0,1,11)( 2xxxxf (2分)（ ） 011)(11 2 dxxxXE (2分)六、 一维随机变量的函数的分布求法3、设随机变量X的分布函数为 ( )F x ，则 3 1Y X= + 的分布函数为（ ）（A） 1 1( )3 3F y- ；（B
20、） (3 1)F y+ ；（C） 3 ( ) 1F y + ；（D 1 1( )3 3F y - ；3、设随机变量X的概率密度为 xxxf ,)1( 1)( 2 ，则 XY 2 的概率密度为（ ）（A） )41( 1 2y ；（B）； )4( 2 2y （C） )1( 1 2y ；（D） yarctan1 ；4、设圆的半径 )1,0(UR ，求圆的 积 2RS 的分布密度。解：因为 )1,0(UR ， .,0,10,1)(其它rrf8” 0s ， 0)( sSPsF ；” s0 ， sdrsRPsRsPsRPsSPsFs 02 10)(” s ， 1)( sSPsF所以 .,0.0,2 1)(
21、)(其它 sssFsf1、设长方形的长 )1,0(UX ，已知长方形的周长为2，求长方形 积的数学期望方差。解：因 )1,0(UX ，故 其他；,0,10,1)( xxf （1分）积为 )1( XXA ，所以61)1()()1()1()( 10 dxxxdxxfxxXXEAE （2分）301)1()()1()1()( 102222222 dxxxdxxfxxXXEAE ，1801361301)()()( 22 AEAEAD （3分）2、若 )1,0( NX ， XeY ，求Y的概率密度函数。解：因为” 0y currency1， yeY X 是不可能事件，所以 0)( yYPyFY ；又” 0
22、y currency1， )(lnln)( yFyXPyePyYPyF XXY （ 5分）所以Y的概率密度函数 .0,0,0,121)()( 2)(ln 2yyyeyFyfyYY （3分）1、设 )1,0( NX ，求 XY 的概率密度。解：设随机变量XY的分布函数分fi为 )(xFX 、 )(yFY ，先求Y的分布函数)(yFY 。 0 XY ，故” 0y currency1， 0)( yFY （1分）” 0y currency1，有 )()()( yFyFyXyPyXPyYPyF XXY ，9将 )(yFY 关y求导数，即得Y的概率密度为 .0,0,0,2.0,0,0),()(2)( 22
23、yyeyyyfyfyfyXXY （4分）1、设 )1,0( NX ，求 2XY 的概率密度。解：设随机变量XY的分布函数分fi为 )(xFX 、 )(yFY ，先求Y的分布函数 )(yFY 。 02 XY ，故” 0y currency1， 0)( yFY （2分）” 0y currency1，有)()()( 2 yFyFyXyPyXPyYPyF XXY ，将 )(yFY 关y求导数，即得Y的概率密度为 .0,0,0,21.0,0,0),()(2 1)( 2yyeyyyyfyfyyfyXXY （4分）1、设随机变量 )1,0(UX ，求 XeY 2 的分布密度函数 )(yfY 。解：因 )1,
24、0(UX ，故 其他；,0,10,1)( xxfX （1分） .,1,1,ln21,1,0.,1,1,)(,1,0ln21)(2222ln2102eyeyyyeyeydxxfyyXPyePyF y XXY（3分）.,1,1,21,1,0)()(22eyeyyyyFyf YY （2分）七、常见随机变量的分布与数字特征2设 ),( pnbX ， 4.2)( XE ， 44.1)( XD ，则 n _6_， p _0.4_。2、设 ),( 1 pnbX ， ),( 2 pnbY 则 YX ),( 21 pnnb ；1设离散随机变量 ),1( pbX ， 140 XPXP ，则 0XP _0.8_。10
