1、1湖北省高等教育自学考试实变与泛函分析初步自学考试大纲课程名称：实变与泛函分析初步 课程代码：2012第一部分 课程性质与目标一、课程性质与特点实变函数课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程，同时也是现代数学的重要基础课程，是古典分析与 现代分析之间的一座桥梁。它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。它的中心任务是建立勒贝格（Lebesgue）测度理 论和较之传统积分理论更为优越的勒贝 格（Lebesgue ）积分理论。二、课程目标与基本要求通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒 贝格（Lebesgue ）测度概念和基本性质
2、、可测集类；掌握可 测函数的基本概念与基本性 质、依 测度收敛的可测函数列及其性质；了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与 连续函数的关系；掌握勒贝格 积分的基本思想、基本性 质以及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。通过本课程的学习，培养并提高用 现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为 今后学习、研究 现代数学和从事数学教育工作奠定基 础。三、与本专业其他课程的关系本课程是数学与应用数学专业基础课程之一，它的先行 课 程是数学分析，而概率 论与数理统计、泛函分析、
3、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。其中数学分析 是学习本课程的基础，而本课程又是进一步学习概率论与数2理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。第二部分 考核内容与考核目标第一章 集合一、学习目的与要求通过本章的学习，应理解集合的概念，熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算，掌握集合列的极限运算；了解康托假设的含义，理解一一映射、集合对等与势( 基数)的概念，掌握证明集合对等的基本方法；理解可数集与不可数集的概念、熟 练掌握基本性质以及判别方法；掌握 n 维欧氏空间 中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系
4、；了nR解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开集、闭集、完备集的构造；掌握康托集的构造和康托集的基本性质。二、考核知识点与考核目标（一）重点集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan 法则、集合的直 积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、 满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、 对等、对等基本性质、基数、基数的比 较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性 质、不存在基数最大的无限集； 中的距离、邻域、区间、nR开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、 边 界；收敛点列、聚点、聚点的等
5、价定义、孤立点、孤立点集、导集、 闭集、 闭集性质； 集合、 集合、 集合和 集合的性GFF质、 Borel 集； 中开集与闭集的构造、 中开集与闭集的构造。1RnR识记：集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan 法则、集合的直 积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、 满射、一一映射、集合的势、对等、 对等基本性质、基数、基数的比 较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存3在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集； 中的距离、邻域、区间、开球、闭球、nR球面；开集、开集性质、内点、内核、 边界点、 边界；收敛点列、聚点、孤立
6、点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、 集合、 集合、 集合和 集合的性质、Borel 集； 中开集与闭集GFF1R的构造、 中开集与闭集的构造。nR理解：集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质；中的距离、邻域、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚nR点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、 闭集、 闭集性质； 集合和 集合的性质、BorelGF集； 中
7、开集与闭集的构造、 中开集与闭集的构造。1 nR应用：集合的并、交、余、D.Morgan 法则；上限集、下限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性 质、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性 质；连续集及其性质；中的距离、邻域、开球、闭球；开集、开集性 质、内点、内核、 边界点、 边界；聚点、聚点的等nR价定义、孤立点、孤立点集、导集、 闭集、 闭集性质； 集合和 集合的性质、Borel 集；GF中开集与闭 集的构造、 中开集与闭集的构造。1 nR（二）次重点完全集；开集与闭集构造的定理；开集与闭集构造的简单应用。识记：完全集；开集与闭集构造的定理。理解：完全集；开集与闭集构
8、造的定理的含义。应用：开集与闭集构造的简单应用。4（三）一般集合族（类）、环与 环、代数（域）与 代数（域）；环、 环、代数（域）、 代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集； 中集合之 间的距离以及集合之 间距离的可达性， 中闭集的隔nR nR离性；集合的特征函数、特征函数性质以及集合在研究函数性 质中的简单应用。识记：集合族（类）、环与 环、代数（域）与 代数（域）；稠密集、疏朗集； 中集合之间的距n离； 中闭集的隔离性；集合的特征函数。nR理解：环、 环、代数（域）、 代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集； 中集合之间的距离以nR及集合之间距离的可达性， 中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征
9、函数性质。nR应用：集合在研究函数性质中的简单应用。第二章 测度论一、学习目的与要求通过本章的学习，应了解建立可 测集及测度的过程和步骤 ，理解外 测度的概念和它的不足，进而理解建立测度的必要性；理解可 测集的测度是区间长 度的推广，熟 练掌握测度的基本性质：（1）非负性、 （2）单调性、 （3）完全可加性，即一列互不相交的可测集合的并的测度等于每个可测集的测度之和；熟练掌握可测集和可测集列的基本性质；了解可测集合类，掌握可测集合与开集、闭集和 Borel 集的关系。二、考核知识点与考核目标（一）重点外测度的定义；外测度的基本性质，即非 负性、 单调性、次可加性；可测集的定义、可测集的等价条件
10、；可测集的基本性质，即可 测集的并、交、余，可 测集的可数可加性，可 测集列的极限性质；可测集的判别方法；常见的可测集类，即零 测 集、区 间、开集、 闭集、 Borel 集等；5可测集与 Borel 集的几种关系，即 集与可测集、 集与可测集，可 测集与 Borel 集的关GF系。识记：外测度的定义；外测度的基本性质；可测集的定义；可测集的基本性质；常见的可测集类；可测集与 Borel 集的几种关系。理解：外测度的定义；外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与 Borel 集的几种关系。应用：外测度的基本性质以及简单的
11、应用；可测集的定义及等价条件及可测集的判别方法；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与 Borel 集的几种关系。（二）次重点勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；外测度与测度的计算；可 测集与 Borel 集之间几种关系的简单应用。识记：勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或 测度。理解：勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或 测度的计算步骤。应用：可测集与 Borel 集之间几种关系的简单。（三）一般乘积空间与乘积测度。识记：乘积空间与乘积测度。理解：乘积测度的计算公式。6应用：乘积测度的计算公式的简单应用。第三章
12、 可测函数一、学习目的与要求通过本章的学习，应了解建立可 测函数概念的步骤和过程，即先定义非负简单函数，再用非负简单函数的极限定义非负可测函数，最后用集合的可测性定义一般的可测函数；理解几乎处处的概念；理解并熟练掌握可测函数的基本性质，即可测函数的和、差、积、商是可测函数，可测函数的上确界、下确界及可测函数的极限是可测 函数；理解可测函数列依测度收敛的概念；掌握可测函数列的几种收敛之间的关系，即依 测 度收敛与几乎处处收敛的关系、几乎处处收敛与一致收敛的关系；理解并掌握可测函数与连续函数的关系。二、考核知识点与考核目标（一）重点简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定 义；
13、可测函数的简单性质，比如：几乎处处性，可测函数的和、差、 积、商，函数的正部、 负部的可测性，可 测函数列的上确界、下确界，可测 函数列的极限的可测性；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛（几乎处处收敛，依 测度收敛）的含义，可 测函数的几种收 敛性的关系，比如：几乎处处收敛与一致收敛的关系（包括依果洛夫（Egoroff ）定理、依果洛夫逆定理）、几乎处处收敛与依测度收敛的关系、依测 度收敛的性质、勒 贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可测集上的连续函数、鲁津（Lusin）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。识记：简单函数、非负可测函数、
14、一般可测函数的定义及可测函数的等价定 义；可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛的含义；依测度收敛的性质、勒贝格定理、黎斯定理；鲁津定理及逆定理、可测函数与连续 函数的关系。7理解：可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数的几种收敛性的关系；依测度收敛的性质、勒贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可测集上的连续函数、鲁津（Lusin）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。应用：可测函数的判别方法；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及 鲁津定理及逆定理的简单应用，依测度收敛的性质的简单应 用。（二）次重点可测函数与简
15、单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的 证明思路；鲁津定理的证明思路。识记：可测函数与简单函数关系的的条件和结论；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的条件和 结论；鲁津定理及逆定理的条件和结论。理解：可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的 证明思路；鲁津定理及逆定理的证明思路。应用：依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理的进一步应 用。（三）一般函数可测的进一步判断；可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理及逆定理的证明；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。识记：可测函数与简单函数关系；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理
16、； 鲁津定理及逆定理。理解：可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的 证明；鲁津定理的8证明。应用：函数可测的进一步判断；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。第四章 Lebesgue 积分一、学习目的与要求通过本章的学习，应了解建立勒 贝格（Lebesgue ）积分的步 骤和过程，即先定义非负简单函数的勒贝格积分，再由非负简单 函数积分的极限定义非 负可测函数的勒贝格积分， 进而通过函数的正部、负部这两个非 负函数定义一般函数的勒贝 格积分；熟练掌握勒贝格（积分的基本性质，即可积函数的线性性、可积函数的几乎处处有限性、可积函数的绝对可积性、积分的绝对连续性、可积函
17、数的可数可加性；熟 练掌握勒贝格（ Lebesgue）积分关于积分与极限交换的极限定理，即勒维（Levi ）单调收敛定理、法都（ Fadou）定理、逐项积分定理和控制收敛定理；理解函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件是函数有界，且几乎 处处连续；理解并初步掌握黎曼积分与勒贝格积分的关系，并会运用 这一关系熟 练计算一些较为简单的可积函数的勒贝格积分；理解将重积分化为累次积分的富比尼（Fubini）定理；理解勒贝格积分较之黎曼（Riemann ）积分的优越性。二、考核知识点与考核目标（一）重点非负简单函数的勒贝格积分定义、狄利克莱函数的勒 贝格 积分；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质，
18、比如：的唯一性、单调性、线性、有限可加性、简单函数的勒贝格积分的极限性质；非负可测函数的勒贝格积分的定义；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：唯一性、单调性、有限可加性；非负可测函数列的积分收敛 性质，比如：勒维（Levi）单调收敛9定理、逐项积分定理、法都（Fadou）定理；函数的正部、负部；一般可测函数的勒贝格积分的定义；函数勒贝格可积与正部、负 部勒贝格可积的关系；一般可 测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：绝对可积性、积分的线性性、可积函数的几乎处处有限性、积分的绝对连续性；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分的关系。识记：狄利克莱函
19、数的勒贝格（Lebesgue）积分；非负简单函数的勒 贝格积分的基本性质；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质；函数的正部、 负部；函数勒 贝格可积与正部、 负部勒贝格可积的关系；非负可测函数列的积分收敛性质；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分的关系。理解：非负简单函数的勒贝格积分定义；非负可测函数的勒贝格积分的定义；一般可测函数的勒贝格积分的定义；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数列的积分收敛性质；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；一般可测函数的勒贝格
20、积分的基本性质；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann ）积分与勒贝格（Lebesgue）积分的关系。应用：非负可测函数列的积分收敛性质的简单应用；勒贝格（Lebesgue）积分的基本性质的简单应用；勒贝格控制收敛定理的简单应用。（二）次重点维他利（Vitali ）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可 积的充分必要条件。识记：维他利（Vitali ）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可 积的充分必要条件。理解：维他利（Vitali ）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条
21、件；函数黎曼（Riemann）可 积的充分必要条件。10应用：维他利（Vitali ）控制收敛定理的简单应用；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件的简单应用。（三）一般函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理、富比尼（ Fubini）定理；富比尼定理的 简单应用（包括函数卷积及其性质、分布函数）识记：函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理；富比尼（Fubini）定理。理解：函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理、富比尼（ Fubini）定理。应用：富比尼（Fubini ）定理的简单应 用。第五章 微分与积分一、学习目的与要求通过本章的学习，应了解数学分析中的微 积分基本定理，即牛顿莱布尼兹公式，可以推广为勒贝格积分的情形；掌握有界变差函数、 绝对连续函数的概念和基本性 质；掌握单调函数与有界变差函数、有界变 差函数与绝对连续函数的关系；了解 单调函数的可微性、有界变差函数的可微性和绝对连续函数的可微性；理解对于勒贝格积分，牛顿莱布尼兹公式成立的充分必要条件是被积函数是绝对连续的。二、考核知识点与考核目标（一）重点有界变差函数的定义、变差、全变差、有界变差函数与有界函数的关系；有界变差函数的基本性质，比如：有界变差函数的 线性性、有界 变差函数列的极限性； 变差函数、若当
