1、有限维线性空间的基有限维线性空间的基杨忠鹏 晏瑜敏 戴培培杨忠鹏 晏瑜敏 戴培培莆田学院数学系莆田学院数学系1基2 维 数3坐 标一、数域 上有限 维线 性空 间 的三要素：维 数是 的唯一的本 质 特征，在同构意 义 下的研究可 归结为 的 讨论 。基一般是不唯一的，在 线 性运算下， 对 具体的线 性空 间 来 说 ，可由一 组 基来把握。正如 1， P171所说： “给定有限维的向量空间，要求其维数，首先要抓 基 ”。关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下基本结论（见 2， P330） :设 是数域 上 线 性空 间 ，是 的一组基；（ 1）但 线性相关，（ 2） 线性无关，则 下列
2、陈 述彼此等价：（ 4） ，且经 线性表示的表法唯一；（ 6） 且都可经 唯一地线性表示；（ 3）（ 5） ，且 线性无关；（ 7）二、常 见线 性（子）空 间 的基与 维 数1 这 是基本的 习题 内容3， 习题 6的 3（有 8个小 题 ）、 8（有 4个小 题 ）、13（有 3个小 题 ）、 14、 16、 17、 18题 。2常 见 的 线 性（子）空 间 的 标 准基（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）三、 n维线 性空 间 的基的确定1. 从一 组给 定的基 出 发 ，可构造出所有（无 穷 多）的不同的 的基 .是可逆的线 性无关为 的基 .2. 指定条件下的 线 性空 间 基
3、的确定 .例 1.设 是数域 上 n维线 性空 间 的 任意 s 个非平凡子空 间 . 试证 ：存在 的一个基，使 这 个基的 n个基向量均不在 中 .（ 见 2， p213,4,p213,5,p196）例 2（ 见 3， 补 充 题 4） 设 是 线 性空 间 的两个非平凡子空 间 . 证 明：在 中存在 使同时成立 . 例 3（ 见 3， 补 充 题 5） 设 是 线 性空 间 的 s个非平凡子空 间 ， 证 明： 中至少有一个向量不属于 中任何一个。例 4（ 见 6）设 为 数域 上 n维线 性空 间 (n1). 证 明：必存在 中一个无 穷 的向量序列 使得 中任何 n个向量都是 的一 组 基 .
