1、1输入受限不确定线性系统混合镇定林灿煌，孙洪飞*（厦门大学信息科学与技术学院，福建 厦门 361005）摘要：针对输入受限不确定线性系统, 同时考虑其暂态性能和稳态性能, 提出了混合稳定的概念和控制策略. 使得闭环系统在满足给定的输入约束条件下, 在给定的时间区间内有限时间稳定, 在无穷时间区间上渐近稳定. 分别将有限时间控制问题和无穷时间控制问题转化为线性矩阵不等式(LMIs)约束的可行解问题 . 本质上混合稳定控制器是关于时间的分段函数. 为了减缓前后两个控制器在切换时刻的不连续性所带来的潜在的抖振，本文通过引入一个时间缓冲得到改进的混合稳定控制器. 最后, 通过某高超声速飞行器再入数学模
2、型仿真验证控制器设计方法的有效性.关键词：混合稳定; 输入受限 ; 有限时间稳定; 渐近稳定; 高超声速飞行器中图分类号：TP 273 文献标识码：A系统的稳定性问题一直是控制理论研究的一个重要课题. 控制系统的很多问题和控制方法如最优控制、输出跟踪和调节、干扰抑制及 鲁棒控制方法和鲁棒自适应方法等均以Lyapunov稳定H性理论为基础1 . Lyapunov稳定性关注的是无穷时间区间里系统稳态性能、渐近性, 它并不能反映系统的暂态性质. 一个在无穷时间内渐近稳定的系统, 未必有很好的暂态性能（例如过渡时间可能很长、超调量可能很大）, 甚至根本无法在实际中应用. 在实际工程中, 对于那些工作时
3、间短暂的系统( 例如导弹系统、通信网络系统、机器人操控系统), 人们除了对系统的渐近稳定性感兴趣外, 更关心的是系统应满足一定的暂态性能要求（例如满足系统轨线对于平衡点的一定偏离范围的要求）. 为了研究系统在一段时间内的性能, 文献2提出了有限时间稳定（ Finite-Time Stable, FTS）的概念. FTS要求在一个固定的时间区间内, 系统的状态不会超过指定的界限. 文献3针对存在扰动的非线性系统, 推广了FTS, 提出了有限时间有界（Finite-Time Bounded, FTB）的概念, 得到了系统受到不确定和外部干扰影响情况下, 通过状态反馈保证系统FTB的充分条件, 这一
4、条件随后利用LMIs转化为一个凸优化问题. 文献 4对离散线性系统有限时间稳定做了研究, 不同于以古典的二次型Lyapunov函数进行的研究（系统的初始状态和状态轨迹对平衡点的偏离域都用椭圆体来刻画）, 该研究中初始状态和状态轨迹域都是用多面体来刻画的, 因此该方法符合实际工程应用的限制. 由于实际系统状态难基金项目：国家自然科学基金（61273153, 61374037）2*通讯作者： 以测量, 文献5 设计输出反馈控制器保证系统有限时间稳定或者有限时间有界. 除了常规系统外, 文献6和7对跳跃系统、脉冲系统的有限时间控制也做了相应的研究.实际应用中, 控制系统应该具有良好的暂态和稳态性能,
5、 为同时保证暂态和稳态性能需要将两者结合. 目前, 同时考虑暂态和稳态性能的研究还鲜有报道.输入饱和在各类系统中是比较常见的约束. 在实际控制系统中, 每一个系统的机构执行能力都是有限的, 被控对象的实际输入和控制器的输出不会总是相等. 输入受限直接影响闭环系统的动态性能, 可能引起系统的响应退化、滞后、或者产生超调, 甚至会造成系统不稳定. 在Lyapunov稳定意义范畴内, 学者针对输入受限做了一些工作. 执行器饱和控制系统的设计方法大致可归为两大类: 直接设计法和抗饱和方法.直接设计方法: 在控制器设计时直接将饱和考虑进去, 避免饱和的发生. 文献8 研究了一个带饱和执行器的单输入单输出
6、系统的稳定性问题, 通过采用圆盘定理和Popov稳定性判据来分析饱和系统的稳定性. 文献9针对饱和系统的稳定问题提出了高低增益控制器, 提高了系统的其它性能指标（诸如快速响应、干扰抑制）. 文献10针对状态和输入均受限的不确定系统基于正不变集概念提出了鲁棒状态反馈控制器设计方法, 并将稳定条件转换为LMIs形式.抗饱和设计方法: 首先忽略饱和非线性, 设计满足给定性能指标的控制器, 然后以执行机构的输入输出差作为抗饱和补偿器的输入, 设计补偿器弱化饱和的影响. 文献11提出了抗饱和控制框架, 并采用回馈计算和跟踪的策略, 即在系统的控制器发生积分饱和期间, 引入一个反馈信号来调整控制器的输出信
7、号, 以减少积分饱和问题对系统的运行的不利影响 , 并使系统尽快退出饱和区. 文献12针对易受输入非线性影响的线性时不变系统, 运用“两步法”的研究策略, 提出了输入饱和问题的一般框架. 基于抗饱和的思想设计控制器需要加入抗饱和补偿器 , 增加了系统的维数, 从而增加了计算负担13 .目前, 输入受限系统的研究基本上均在无穷时间区间上展开. 关于有限时间区间上输入受限的研究还比较少见. 本文针对具有结构不确定性的线性系统, 在考虑输入受限影响下采用直接设计方法设计状态反馈控制器, 使得闭环系统对所有满足一定假设条件的不确定性, 既有限时间稳定又渐近稳定（本文称之为混合稳定）. 混合稳定控制器同
8、时兼顾了系统的暂态性能和稳态性能, 使得闭环系统按照期望的暂态和稳定指标运行, 将混合稳定控制器设计成关于时间的分段函数, 为有限时间稳定控制器 , 为渐近稳定控制器 . 利用LMI 技术, 将 和 12()utTt1 2u 1u2均设计为状态反馈形式. 本研究一方面解决了有限时间区间上输入受限不确定系统的有限时间稳定3控制问题, 另一方面解决了同时考虑系统带有不确定性和输入受限约束的情况下如何设计控制器使得系统具有良好的暂态和稳态性能问题.本文设计的控制器在某高超声速飞行器的再入非线性数学模型上进行了仿真, 结果表明所设计的混合稳定控制器能保证飞行器能以较小的超调量和较快的速度完成某种姿态的
9、镇定.1 问题描述1.1 模型和问题考虑如下不确定线性系统:(1)()()ttxABu, 分别为系统的状态变量和输入. , 是描述标称系统模型的已知nxmunnm实常数矩阵. , 是系统的不定参数矩阵并假设它们是范数有界的, 且可写为如下形式14.AB(2)()12tABFE 是一个满足 的不确定矩阵, , , 是已()det()TtInden1em2E知的常数矩阵, 反映了不确定参数的结构信息.控制输入满足:(3)max()0,12.,iiiut m下面给出有限时间稳定和混合稳定的概念.定义 1.1 考虑如下线性时变系统:(4)()()ttAx对于给定的四元数组 , 其中 , , , 如果1
10、2(,CTR12C0TnR, 1()Tt0xt那么, 称该系统关于 是有限时间稳定的（Finite-Time Stable, FTS）. 其中, 12(,)是系统的初始状态.(0)x注 1.2 李雅普若夫渐近稳定（Lyapunov asymptotic stability, LAS）和 FTS 是两个独立的概念, 不同之处在于所关注的时间区间. LAS 刻画的是一个系统在无穷时间区间上的稳态性能、渐近性, 而 FTS 关注的是在固定时间区间里系统的性能指标和状态轨迹, 强调系统响应的暂态行为. 一个4FTS 系统不一定是 LAS 的, 反之, 一个 LAS 系统可能不是 FTS 的, 因其状态
11、可能在某个时刻超出给定范围3.定义 1.3 考虑不确定系统(4), 如果系统关于 是 FTS 的, 且在无穷时间区间上是12(,)CTRLAS 的 , 那么称系统是混合稳定的.问题 1.4 本文要解决的问题是设计混合稳定控制器(5)()()ttuKx使得 满足输入受限条件(3), 系统(1) 和控制器(5)构成的闭环系统混合稳定 . 其中, 为()tu ()tK待求的时变状态反馈增益矩阵.2 控制器设计为解决问题 1.4, 将 写成如下形式()tK(6),()tTt12K其中, , 为常数矩阵. 控制器(6)本质上是关于时间的分段函数 . 的作用是12 1uKx使得闭环系统有限时间稳定, 的作
12、用是使得闭环系统渐近稳定. 下面分别设计控制器2ux和 .1u22.1 有限时间控制器设计首先考虑不确定线性系统(1)的暂态性能要求, 即有限时间稳定问题 , 设计控制器 使得闭环系1u统关于 是有限时间稳定的.12(,)CTR后文推导需要如下引理引理 2.115给定适当维数的矩阵 , 和 , 其中 是对称的, 则YDEY对所有满足 的矩阵 成立, 当且仅当存在一个+()()0TTttYDE()TtI()t, 使得 .01E下面定理给出了系统(1)在满足输入受限约束条件(3)情况下, 有限时间可稳的一个充分条件.定理 2.2 如果存在两个标量 , , 对称正定矩阵 和矩阵 使得0n1QmnL5
13、(7)+()0TTT 1 1212AQBLFQELEI(8)1minax()()Tce1(9)ax2/0,.,iTiudm1QL其中, , 为矩阵 的第 行, 12=QRi i(10)1min()TTced那么存在一个状态反馈控制器 , 使得系统(1)连同该控制器所构成的闭环系统11uLQx1、 关于 是FTS.12(,)cTR2、 系统控制输入满足输入饱和约束条件(3).证明: 设 , 用 表示 沿系统(1)轨线的导数1()TVxV(11)1()()T ffffAQAx其中, f1ABK=()(ttf1121fBKFEKFE另一方面,由 Schur 补引理可知 ,式(7) 等价于(12)1+
14、0TTf1f f1QQ由引理 2.1 可知(12)等价于(13)()()Tff1ff1AA上式左右两边同乘 , 得 1(14)1()+()0T1ffffQQ所以由(11)可知1 11()+()T TT ffffxQAAx6(15)()()Vx在上式两边同时乘以 有：te 0tte则 ()tdeV对上式从 0 到 积分， , 可得t0tT()(0)tex因此(16)()()teVx因为 ，由上式可得：12=QR(17)11 122max()()(0)(0)()0()TtTTTtee xxRQxQRx因为(18)112min()()()T Ttttxxx因此由(17)和(18)有 1ax 1max
15、min in()()=()(TT Tecct e1QRQ因此, 由式(8)可知 , . 由上面推导过程可知 , 当式(7) 满足时就有2xtc0,t()()teVx所以, 11TtTe0Q(0)x因为 , 所以有12=QR112min()TTtTtee 0001xRxxRQ7令 , 因为 ,所以1min()ttcedQ1TC0xR(19)11min()=()Tt tctedQ因此对满足初始条件 的状态 定义其可允许达到的集合(可许集) 如下1TC0xRx(20)1: ,0nTt tdTzz设 , 则 , 就有 ,可得到如下关系式12t12ttd12tt(21)0,tTt下面证明在给定的有限时间
16、内, 系统控制输入总是满足输入受限约束条件 (3) 因为 , 所1uLQx以 2210, 0,max()=a()i itTtTutLQx由状态的可许集可知 0,221 10,ax()ax()ttTi itTt zLz因为 , 所以0,tTt(23)0, 2211max()=ax()t TtTi iz zQLz因为 ，所以 ,即1TTdzQ1T(24)12Tdz所以122 21 1()max()max()TTi id z QzLzL因为 , 所以1122=()TTdLQz81 12 22211121 12() ()max()=max()=T T Ti TTiTiiidddd Qz QzLLQzL
17、QL对定理 2.2 中的式(9)，利用 Schur 补引理可知(25)max21TiiiduL由上面的分析可知(26) max2210,max()TiiiitTutQ因为 , 因此max0iu, maxa()iiut0tT因此在给定的有限时间内, 输入总是满足输入受限约束条件(3), 且闭环系统关于 12(,)cTR是 FTS. 证毕.由于定理 2.2 中存在 , 所以该定理的条件并不是线性矩阵不等式约束. 为了便于求解带1QTd有输入受限约束条件(3)的不确定系统(1)的 FTS 问题, 将定理 2.2 转化为如下基于 LMIs 的可行解问题, 方便控制器的求解.定理 2.3 给定正数 ,
18、如果存在标量 , 对称正定矩阵 和矩阵 ,00n1QmnL使得(7)和下列 LMIs 成立(27)12Tce1IQ(28)max/0,.,iiTum1L其中, , 那么存在一个状态反馈控制器 , 使得系统(1) 连同该控制器所构12=QR1uQx成的闭环系统1、关于 是有限时间稳定.12(,)cT2、系统输入满足输入约束条件(3).证明: 容易验证, 条件(27)等价于条件(8)因为912Tce1IQ所以(29)112min2()TTTcedc因此当式(28)成立, 就可以保证式(9)成立.因此定理 2.3 满足定理 2.2，由定理 2.2 可知闭环系统有限时间稳定且控制输入满足式(3), 证
19、毕.2.2 渐近稳定控制器设计接下来考虑不确定系统(1)的稳态性能, 本节要解决的问题可归纳如下:设计控制器 和初始状2u态的允许集合 使得:1、对于从任意初始条件 出发的状态 , 都有控制输入 满足输入受限约()T0x()tx2Kx束条件(3).2、闭环系统渐近稳定.为了方便理解下文的证明思路, 首先给出不确定系统(1)在不考虑输入受限影响下, 渐近稳定的充分条件.引理 2.416 如果存在矩阵 ， ， ，常数 . 使得下列不nP0Tmn2K0等式成立(30)1()()TTTTT2 212PABKDPEEK那么, 在不考虑输入受限情况下, 系统(1)连同控制器 所构成的闭环系统渐近稳定.2u
20、Kx如下定理用于解决考虑输入受限情况下，渐近稳定控制器设计问题.定理 2.5 如果存在矩阵 , , 常数 使得 =0TQmnY0(31)TT 1212ABDQEYEI(32)max20,.iTiuQY10其中, 是矩阵 的第 行.iYi那么一定存在初始状态的允许集合 和状态反馈控制器 使得系统(1)连同该控制1()()tt2uYQx器所构成的闭环系统1、 渐近稳定.2、 当 时, 对任何 系统控制输入满足输入受限约束条件(3).()TxtT证明:设 , 其中 , , 沿着系统(1)的轨迹求导得TVPx1Q(33)()()()Tt t 212212ABKDEKABDEKPx由 Schur 补引理可知式(31) 等价于式 (30), 因此当(31)式成立时，有 1()()0TTTTT 2 212PP由引理 2.1 可知, 上式等价于()()Tt t212212ABKDEKABDEKP因此(34)()()()0TTt t 212212VxP x定义集合 如下:(35)=nTxP令(36)max(),1.,niiu22K因为 ，所以集合 是闭环系统的不变集.()0Vx因此当 且 满足条件 (30)时,都有 , , 即系统输入始终2P()t02K0t满足输入约束条件(3).由 Schur 补引理可知式(31) 等价于式(30). 等价于(max20,1.iTiuQY其中, ,1QPiiYK
