1、一、 选择题： 1设xxf 1)( ，则 )( xff （ x ） 2已知 1sin)( xxxf ，当（ 0）时， )(xf 为无穷小量 3. 若 )(xF 是 )(xf 的一个原函数，则下列等式成立的是 ( ) B )()(d)( aFxFxxfxa 4以下结论或等式正确的是（对角矩阵是对称矩阵） 5线性方程组 012121 xx xx 解的情况是（无解） 6下列函数中为偶函数的是（ xxy sin ） 7下列函数中为奇函数的是（ xxy 3 ） 8下列各函数对中，（ 1)(,c o ss in)( 22 xgxxxf ）中 的两个函数相等 9下列结论中正确的是（奇函数的图形关于坐标原点对
2、称） 10下 列极限存在的是（ 1lim22 xxx） 11函数0,0,211)(xkxx xxf 在 x = 0 处连续，则 k =（ -1） 12曲线 xy sin 在点 )0,( （处的切线斜率是（ 1 ） 13下列函数在区间, )上单调减少的是（ x2 ） 14 下列结论正确的是 0x 是 )(xf 的极值点，且 )( 0xf 存在， 则必有 0)( 0 xf ） 15设某商品的需求函数为 2e10)( ppq ，则当p6时，需求弹性为（ 3） 16若函数 xxxf 1)( ， ,1)( xxg 则 )2(gf ( -2 ) 17下列函数中为偶函数的是（ xxy sin ） 18函数)
3、1ln( 1 xy的连续区间是 ），（），（ 221 19曲线11 xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（ 21 ） 20设 cxxxxf lnd)( ，则 )(xf =（ 2ln1x x） 21 下列积分值为 0 的是（ 11- d2ee xxx ） 22设 )21(A ， )31(B ， I 是单位矩阵， 则 IBA T （ 52 32） 23设 BA, 为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ） . B.若 OAB ，则必有 OA , OB 24当条件（ Ob ）成立时， n元线性方程组 bAX 有解 25设线性方程组 bAX 有惟一解，则相应的齐次方程组 OAX （只有 0 解 ） 二、 填
4、空题： 1 函数)1ln(42 x xy的定义域是 2,1( 2函数114 2 xxy的定义域是 2,1()1,2 3 若函数 62)1( 2 xxxf ，则 )(xf 52x 4若函数 xxf 1 1)( ，则 h xfhxf )()()1)(1 1 hxx （5设 21010)( xxxf ，则函数的图形关于 y轴 对称 6已知需求函数为 pq 32320 ，则收入函数 )(qR =： 22310 qq . 7 x xxx sinlim1 、 8已知0011)( 2xaxxxxf ，若 )(xf 在 ),( 内连续，则 a 2 9 曲线 1)( 2 xxf 在 )2,1( 处的切线斜率是
5、： 21 10过曲线 xy 2e 上的一点（ 0， 1）的切线方程为 12 xy . 11 函数 3)2( xy 的驻点是 2x 12 需求量 q对价格p的函数为 2e80)( ppq ，则需求弹性为 2p 13函数114 2 xxy的定义域是 写： 2,1()1,2 14如果函数 )(xfy 对任意 x1, x2，当 x1 x2时，有 )()( 21 xfxf ， 则称 )(xfy 是单调减少的 . 15已知 x xxf tan1)( ，当 0x 时， )(xf 为无穷小量 16过曲线 xy 2e 上的一点（ 0， 1）的切线方程为 ： 12 xy 17若 cxFxxf )(d)( ，则 x
6、f xx )de(e = cF x )e( 18 xxde0 3= 31 19设13230201aA ，当 a 0 时， A是对称矩阵 . 20 设 DCBA , 均为 n阶矩阵，其中 CB, 可逆，则矩阵方程 DBXCA 的解 X 11 )( CADB 21设齐次线性方程组 11 mnnm OXA ，且 )(Ar = r n，则其一般解中的自 由未知量的个数等于 n r 22线性方程组 AX b的增广矩阵 化成阶梯形矩阵后 110000012401021dA 则当 d= -1 时，方程组 AX b有无穷多解 . 23设 21010)( xxxf ，则函数的图形关于 y 轴 对称 24函数 2
7、)1(3 xy 的驻点是 x=1 25若 cxFxxf )(d)( ，则 xf xx d)e(e cF x )e( 26设矩阵 34 21A， I为单位矩阵，则 T)( AI 22 40 27齐次线性方程组 0AX 的系数矩阵为000020103211A 则 此方程组的一般解为 42431 22 xx xxx ， (x3 ， 三、微积分计算题 1已知 2sin2 xx ，求 y 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 )( s in2s in)2()s in2( 222 xxxy xxx )(c o s2s in2ln2 222 xxx xx 22 c o s22s in2ln2 xxx xx
8、 2设 2sin2co s xy x ，求 y 解； 2c o s22ln22s in xxy xx 3设 xxy 32 eln ，求 y 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 )e()(ln 32 xxy xx x 33eln2 4设 y 2lnx x x x，求 y 解 因为 y 74 2lnxx 所以 34724yxx 5设 xy x tanesin ，求 yd 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 )tane(dd sin xy x )(tand)e(d sin xx xxxx dc o s1)(s inde 2s in xxxxx dc o s1dc o se2s in xxxx
9、 )dc o s1c o se( 2sin 6已知 )(xf xxxx 11lnc o s2 ，求 yd 解：因为 )1ln ()1ln (c o s2)( xxxxf x xxxxxf xx 1 11 1s in2c o s2ln2)( 21 2s inc o s2 ln2 xxxx 所以 yd = xxxxxx d1 2d)s inc o s2( ln227设 12 1ln xxy , 求 dy . 解：因为 2)12( 2ln2 1)12 1ln( xxxxxy所以 xxxxxyy d)12( 2ln2 1dd 2 8设 x xy 1 )1ln(1 ，求 )0(y . 解：因为 2)1(
10、)1ln (1)1(1 1xxxxy = 2)1( )1ln( xx所以 )0(y = 2)01( )01ln(= 0 9设 xxy 2eln ，求 yd 解：因为 xxxxxxy 22 e2ln2 1e2)( lnln2 1 所以 yd xxx x d)e2ln2 1( 210计算积分 20 2dsin xxx 解： 20 2220 2 ds in21ds in xxxxxx 202cos21x 21 线性代数计算题 1设 x xy 1 )1ln(1 ，求 )0(y . 解：因为 2)1()1ln (1)1(1 1xxxxy = 2)1( )1ln( xx所以 )0(y = 2)01( )0
11、1ln(= 0 2设 2ecos xxy ，求 yd 解：因为 21 s in 2 e2 xy x xx 所以 2sind ( + 2 e ) d2 xxy x xx3 xxx d)2sin(ln 解： xxx d)2sin(ln = )d ( 22s in21dln xxxx = Cxxx 2c o s21)1(ln 4 xxx dln1 12e0 解： xxx dln1 12e1 = )lnd (1ln1 12e1 xx = 2e1ln12 x= )13(2 5 设矩阵 021 201A，200010212B ，242216C ，计算)( T CBAr 解：因为 CBAT =2000102
12、12022011242216=042006242216=200210且 CBAT =001002200210所以 )( T CBAr =2 6设矩阵521,322121011BA ，求 BA1 解：因为 102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A 所以9655211461351341 BA 7求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解 解：因为系数矩阵 111011101201351223111
13、201A 000011101201所以一般解为 432431 2 xxx xxx （其中 3x ， 4x 是自由未知量） 8当 取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx 有解？并求一般解 解 因为增广矩阵 15014121111A 261026101111 00026101501所以，当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 26 153231 xx xx (x3 是自由未知量 9设矩阵 32 21,53 21 BA，求解矩阵方程 BXA 解：因为 1053 0121 1310 0121 1310 2501即 13 2553 211 所以， X = 153 213
14、2 21= 13 2532 21= 11 0110讨论当 a， b为何值时，线性方程组baxxxxxxxx321321312022无解，有唯一解，有无穷多解 . 解：因为 4210222021011201212101baba310011102101ba所以当 1a 且 3b 时，方程组无解； 当 1a 时，方程组有唯一解； 当 1a 且 3b 时，方程组有无穷多解 . 四、应用题 1某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60元，对这种产品的市场需求规律为q p 1000 10（ 为需求量，p为价格）试求： （ 1）成本函数，收入函数； （ 2）产量为多少吨时利润
15、最大？ 解 （ 1）成本函数Cq()= 60 +2000 因为 ，即q 100 110， 所以 收入函数Rq()=pq=(100 110 q) = （ 2）因为利润函数L=()-Cq=100 110 2q q-(60q+2000) = 40 -1102q-2000 且 L( )=(40q-1102-2000)=40- 0.2 令q= 0，即 40- 0.2 = 0，得 = 200，它是Lq()在其定义域内的唯一驻点所以， = 200 是利润函数Lq()的最大值点，即当产量为 200吨时利润最大 2设生产某产品的总成本函数为 xxC 5)( (万元 )，其中 x 为产量，单位：百吨销售x 百吨时
16、的边际收入为 xxR 211)( （万元 /百吨），求： 利润最大时的产量； 在利润最大时的产量的基础上再生产 1百吨，利润会发生什么变化？ 解：因为边际成本为 1)( xC ，边际利润 xxCxRxL 210)()()( 令0)( xL ，得 5x 可以验证 5x 为利润函数 )(xL 的最大值点 . 因此，当产量为 5 百吨时利润最大 . 当产量由 5 百吨增加至 6 百吨时，利润改变量为 65265 )10(d)210( xxxxL 1 （万元） 即利润将减少 1万元 . 3设生 产某种 产品 x 个单位时的成本函数为： xxxC 6100)( 2 （万元） ,求： 当 10x 时的总成
17、本和平均成本； 当产量 x 为多少时，平均成本最小？ 解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为： xxxC 6100)( 2 6100)( xxxC ， 所以， 260106101100)10( 2 C 266101101 0 0)10( C ， 1100)(2 xxC令 0)( xC ，得 10x （ 10x 舍去），可以验证 10x 是 )(xC 的最小值点，所以当 10x 时，平均成本最小 4生产某产品的边际成本为 xxC 5)( (万元 /百台 )，边际收入为 xxR 120)( （万元 /百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什
18、么变化？ 解： L x R x C x( ) ( ) ( ) xxx 61 2 05)1 2 0( 令 L x( ) 0 得 20x （百台），可以验证 20x 是是 Lx() 的最大值点，即当产量为 2000 台时，利润最大 xxxxLL d)61 2 0(d)( 22202220 12)3120( 22202 xx 即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 12 万元 5已知某产品的边际成本 34)( qqC （万元 /百台）， q 为产量（百台），固定成本为 18（万元），求该产品的平均成本最低平均成本 解：（ 1） 1832d)34(d)( 2 qqqqqqCC 平均成本函数q
19、qqqCC 1832)( 2182 qC ，令 01822 qC，解得唯一驻点 6x （百台） 因为平均成本存在最小值，且驻点唯 一，所以，当产量为 600 台时，可使平均成本达到最低。 （ 2）最低平均成本为 12618362)6( C （万元 /百台） 6生产某产品的边际成本为 C x x( ) 8 (万元 /百台 )，边际收入为 R x x( ) 100 2（万元 /百台），其中 x 为产量，问 (1) 产量为多少时，利润最大？ (2) 从利润最大时的产量再生产 2百台，利润有什么变化？ （较难）（熟练掌握） 解 （ 1） L x R x C x( ) ( ) ( ) ( )100 2
20、8 100 10x x x 令 L x( ) 0 得 x10 （百台） 又 x10 是 Lx() 的唯一驻点，根据问题的实际意义可知 Lx() 存在最大值，故 x10 是 Lx() 的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大 （ 2） xxxxLL d)101 0 0(d)( 12101210 ( )100 5 202 1012x x即从利润最大时的产量再生产 2百台，利润将减少 20万元 7.生产某产品的边际成本为 C (q)=8q(万元 /百台 )，边际收入为 R (q)=100-2q（万元 /百台），其中 q为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润
21、有什么变化？ 解： L (q) =R (q) -C (q) = (100 2q) 8q =100 10q 令 L (q)=0，得 q = 10（百台） 又 q = 10 是 L(q)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 q = 10 是 L(q)的最大值点， 即当产量为 10（百台）时，利润最大 . 又 qqqqLL d)101 0 0(d)( 12101210 20)51 0 0(12102 qq 即从利润最大时的产量再生产 2百台，利润将减少 20 万元 . 应用题 8某厂每天生产某种产品 件的成本函数为 9 8 0 0365.0)( 2 qqqC （元） .为使平均成本最低，每天产量应为
22、多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解：因为 C()=()=0 5 36 9800. q q （） Cq( )=( . )0 5 36 9800q q =05 98002. q令( )=0，即 0 5 98002. q=0，得q1=140， 2= -140（舍去） . q1=140 是C()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值 . 所以 1=140 是平均成本函数Cq()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 140件 . 此时的平均成本为 C( )140= 0 5 140 36 9800140. =176 （元 /件） 9已知某产品的销售价格p（单位：元件）是销量q（单位：
23、件）的函数p q 400 2，而总成本为C q q( ) 100 1500（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：由已知条件可得收入函数 R q pq q q( ) 400 22利润函数 )1 5 0 01 0 0(24 0 0)()()( 2 qqqqCqRqL 15002300 2 qq 求导得 L q q( ) 300令 L q( ) 0得q300，它是唯一的极大值点，因此是最大值点 此时最大利润为 L ( )300 300 300 300 2 1500 435002 即产量为 300 件时利润最大最大利润是 43500 元 10生产某产品的
24、边际成本为 C x x( ) 8 (万元 /百台 )，边际收入为 ( ) 100Rx 2x（万元 /百台），其中 x 为产量，若固定成本为 10 万元，问（ 1）产量为多少时，利润最大？（ 2）从利润最大时的产量再生产 2百台，利润有什么变化？ 解 （ 1）边际利润 L x R x C x( ) ( ) ( ) ( )100 2 8 100 10x x x 令 L x( ) 0 ，得 x10 （百台） 又 x10 是 Lx() 的唯一驻点，根据问题的实际意义可知 Lx() 存在最大值，故 x10 是Lx() 的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大。 （ 2）利润的变化 L L x x x x ( ) ( )1012 1012 100 10d d
