1、第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。2、数值分析特点：面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结
2、合，着重研究数学问题的数值方法及理论。4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题-数学模型（应用数学）-数值计算方法- 程序设计- 上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差从实际问题中抽象出数学模型 2.观测误差通过测量得到模型中参数的值 （通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。 ）3.截断误差 当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）4.舍入误差 由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念1.绝对误差 (*)ex2.绝对误
3、差限 *3.相对误差 (*)rex4.相对误差限 (*)rx（1）定义：设某一量的准确值为 x，近似值为 x*，则 x*与 x 之差叫做近似值 x*的绝对误差(简称误差) ，记为*)ex（2）性质：(1)绝对误差 e(x*) 可正可负 (2) |e(x*) |的大小标志着 x*的精确度 (3) 绝对误差 e(x*) 未知（3）判断：（1）定义：若指定一个适当小的 正 数 ， 使则称|(*)|*ex为近似值 x* 的绝对误差限。(有时用 表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。)（2）性质：(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。(2)绝对误差限是正的，有无穷（1）定
4、义：绝对误差与准确值之比 *(),0rexex称为 x*的相对误差。（2）性质：(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。(2)由于准确值 x 未知，故实际问题中，当 | | 较小时，(*)re常取 ()rx（1）定义：若指定一个适当小的正数 ， 使(*)r|()| (*)r rex则称 为近似值 x*的相()r对误差限。（2）性质：当| 较小时，可用下(*)|rex式计算绝对误差是误差的绝对值？（错）多个【则比 大的任意正数均*是绝对误差限】(*)|rx5.有效数字（1）定义：若近似值 x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x*有 n 位
5、有效数字，或说 x*精确到该位。注意：近似值后面的零不能随便省去！（2）例题：取 x1*= 3 作为 的近似值，则 ：一个有效数字011|0.452e取 x2* =3.14 作为 的近似值，则 ：三个有效数字2|.9取 x3* =3.1416 作为 的近似值，则 ：五个有效数字431|0.702e它们的误差都不超过末位数字的半个单位。（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！6、一元函数的误差估计问题：设 y=f(x)，x 的近似值为 x*，则 y 的近似值 y*的误差如何计算？(*)()edfe(*)()*eyfxe(
6、)r rfx故相应的误差限计算如下 (*)()*yfx()r rfx7、二元函数的误差估计问题：设 y=f(x1, x2)， x1, x2 的近似值为 x1*, x2* ，则 y 的误差如何计算？*121212(*)(,)(,)(*,)eyfxfxdfx()r rf xf12121(*,)(*,)(fxfxee121212121 1 2(,),)*,)(*,)() (fffxfxey eexxx故绝对误差限为 121212(*,)(,)()(*f fy xx8、多元函数的误差估计 12 12112(*,)(*,)(*) (*(*,)(n nnnii ifxxfxxeyeef 9、加减乘除运算的
7、误差估计加法 减法 乘法 除法绝对误差1212()()exex1212()()xex1212()()exxe1212()()xex绝对误差限1212()()xx1212()()xx1212()()()xx2121()()xx相对误差1212()(rexex1212()(rexex1212()()rrrexex1122()()rrrxeex相对误差限1212()(rxx1212()(rxx1212()()rrrxx1212(/)()rrrxx10、算法的数值稳定性概念及运算（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该
8、算法具有较好的数值稳定性11、设计算法的五个原则(一) 要避免相近两数相减 ;xxlnln1;si()si2cos()in2xx316e(二) 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据 291()410bsignbacx12291cxa求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小 000054321.4.31.4532y(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶） 43240.6.25.9.16(25)1)Pxxx(四) 要避免绝对值小的数作除数 2121()()xxcosinisxx(1)1(五) 设法控制误差的传播许多
9、算法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。112,39/nnEe 11()()!()nnneEeEnn 1|()|nne 1|!ne第二章 逼近问题1，函数逼近1、插值问题： 求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题： 求一条曲线在一定意义下靠近数据点 2，插值问题1、定义：求一个简单函数 (x)作为 f(x)的近似表达式，以满足 (),0,1iixyn我们称这样的问题为插值问题； 并称 (x)为 f (x)的插值函数； f (x)为被插函数，x0 , x1, x2, , xn 是插值节(基)点； 是插值原则.,iiy3，插值多项式1、定义：求一个次数不超过 n 的多
10、项式 使满足插值原则201() nnPxaxa(条件) 称 Pn(x)为 f (x)的 n 次插值多项式),0,1niiPxy2、定理：在 n+1 个互异节点处满足插值原则且次数不超过 n 的多项式 Pn(x)存在并且唯一。注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。0()()nniiPxpx()px4,插值问题拉格朗日差值 牛顿插值0()()()nniLxylylx 00101(),().,.nnnNxffx二次插值基函数 021112202()()(xlx0110()()()i iini injjilxxxx ()1,()0,iijlx
11、l一阶差商 (),jiijfxffk 阶差商 01201,.,.kkkfxxfx零阶差商 ()iifxf1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性3.若 f(x)在 a, b上存在 n 阶导数，则()01, ,!nfab()()nnRfLx(1)110!)()nnnxxx 为了使得| n +1(x)|尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使 x 尽可能位于区间 Ix的中部，这里 Ix 是包含 x 以及所用基点的最小闭区间。()100()!,. =().()nnnnfRxxf1.计算量省，便于程序设计2.具有承袭性的插值公式，便于理论分
12、析埃尔米特差值插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2n+2 个条件求:一个次数不超过 2n+1 的多项式 H2n+1(x)解法 1：基函数法解法 2：承袭法分段低次插值原因： 当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。定义： 设在 a,b上给出插值条件：求一个折线插值函数 Ih(x)满足xi x0 x1 xnf(xi) f0 f1 fn1Ih(x)是 a,b上的连续函数2Ih(xk)=fk， k = 0,1,n3Ih(x)在每个小区间 xk,xk+1上是线性函数则称 Ih(x)为分
13、段线性插值函数数学表达： 111kkhxxIff1()kkx性质：1分段线性插值多项式是分段函数；2可以预见，但 n 充分大时， Ih(x)能很好逼近 f(x)。3Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法： 三次埃尔米特插值三次样条插值两种构造方法5，最小二乘法1、 定义：已知：一组实验数据（x i，y i）(i=0,1,m)，且观测数据有误差求：自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系 y=F(x) ，不要求 y=F(x)经过所有点，而只要求在给定点上误差 按某种标准最小。(0,1.iii m2、 度量标准：(1)使残差的最大绝对值为最小 max()min
14、iiiiieyFx(2)使残差的绝对值之和为最小 ni(3)使 残差的平方和 为最小 2ie3、最小二乘法多项式拟合 01().()nFxaaxm已知：一组数据（ xi， yi）( i = 0,1,m) 求：在次数不超过 n 的多项式中找一个函数 ，使误差平方和最小，即()yF2 2()0 0()i()mmii iiFxni ixyx 是 次 多 项 式这里： 01().()nFaa解： 故： 解得：32010()(,)iiixy011,(,)a01,a4、最 小 二 乘 法 非 多 项 式 拟 合 参 数 线 性 0()()().()nFxaxxm已知：一组数据（ xi， yi）( i =
15、0,1,m)求：在函数类 中找一个函数 ，使误差01),.,(nspanx ()ySx平方和最小，即 2 2()0 0(i()mmii iiSxiSy这里： 1().nSxaxa已知：一组数据（ xi， yi） ，且每个点对应权因子 wi 0, (i=1,2,m).求：在函数类 中找一个函数 ，使误01(),.,()nspanx )ySx差平方和最小，即 2 2()0 0mi(miii iiiSxiwSy 这里： 01()()().nSxaxa最 小 二 乘 法 非 多 项 式 拟 合 参 数 非 线 性 0134(2)()().(),!naaaaFxxxNO或第三章 定积分1，求解定积分问题
16、方法：（求曲边梯形面积）旧：（1）牛顿莱布尼兹公式 ()()bafxdFba【需要寻求原函数的困难】 【已知点离散】新：（2）机械求积公式 【多项式机械求积公式】*【解决原函数的困难】0()()nbkafxdAfx【中矩形公式】*【解决原函数的困难】2baabff【梯形公式】*【解决原函数的困难】()()xd【插值型求积公式】*【解决离散问题】0()nbbbnkaaafLxfxld2，代数精度 （1）目的：数值求积方法是近似方法，为了保证精度，我们自然希望公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。（2）定义：若某个求积公式对于次数m 的多项式均能够准确成立，但对于 m+
17、1 次多项式就不一定准确，则称该求积公式有 m 次代数精度。若某个求积公式对于 1, x, xm 均能够准确成立，但对于 xm+1 就不准确成立，则称该求积公式有 m 次代数精度。（3）定理：当 n 为偶数时，牛顿柯特斯公式至少有 n+1 次代数精度。注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。3，插值求积公式（1）定理：具有 n+1 个求积节点的机械求积公式至少有 n 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。试总结证明机械求积公式是插值型求积公式的方法。（2）求积公式的余项若求积公式的代数精度为 m，则余项形如 其中 K(1)
18、0()()nb mkaRffxdAfxf是不依赖于 f(x)的待定参数。3，牛顿柯特斯求积公式 梯形，辛普森，柯特斯1、 定义【牛顿柯特斯】 ()0()(nbnkafxdIbaCfx00()()()nb bkka afxdAffld () 0011(1)() ()!nkn nbbjnkkaaj jk kxClx td 梯形公式 辛甫生(Simpson)公式 柯特斯(Cotes)公式()2baSfb()4)(62bbSfaff012347()2()91()baCfxff一阶【2 次代数精度】令 f(x)=x2 二阶【3 次代数精度】令 f(x)=x4 四阶【5 次代数精度】3()1TfRba 4()1802SbaRf 6()()945cbaRICf4，复化求积公式1、 定义：为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积法。
