1、组合经典例题透析类型一：组合数公式及其性质1计算： （1） ；（2） .思路点拨：可以直接依据组合数公式计算，也可以先利用性质化简后再计算解析：（1）方法一： ；方法二： ；（2）方法一： ；方法二： .总结升华：当 时，利用性质 计算 比较简便性质 2 表达组合数的递推性质，它可用于计算求值，更重要的是用于恒等式的证明。举一反三：【变式 1】计算：（1） ；（2） ；（3）【答案】（1） 或（2） 或（3）【变式 2】计算：（1） ；（2）【答案】（1）=（2）=【变式 3】求证： 证明：右边左边2解方程： .解析：原方程可化为 ，整理得: ，解得 或 （不合题意舍去） 经检验 是原方程的根
2、总结升华：解含组合数的方程和不等式时要注意组合数 中， 且 这些限制条件，要注意含组合数的方程和不等式中未知数的取值范围；应强调解组合数方程要验根。举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程为2xx4 或 2x21-x解得：x4 或 x7经检验 x4，x7 都是原方程的根。【变式 2】已知 ，求 、 的值【答案】依题意得 ，整理得 ，解得： .类型二：组合的应用3平面内有 10 个点， （1）以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？（2）以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？思路点拨：线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题解析：（1）以
3、每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即以其中每 2 个点为端点的线段共有 （条）（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即以其中每 2 个点为端点的有向线段共 (条)总结升华： 一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果举一反三：【变式 1】下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。（1）从 1，3，5，9 中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？（2）从 1，3，5，9 中任取两个
4、数相除，可以得到多少个不同的商？（3）10 个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？（4）10 个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？【答案】（1）组合问题，可以得到 个不同的和；（2）排列问题，可以得到 个不同的商；（3）排列问题，一共写了 封信；（4）组合问题，共握了 次手.【变式 2】一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球（1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出 3 个球，使其中恰有 1 个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【答案】（1）56；从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种
5、数是（2）21；从口袋内取出 3 个球恰有 1 个黑球，也就是除黑球外还要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是 。（3）35；由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 。4在 100 张奖券中，有 1 张一等奖，3 张二等奖，6 张三等奖，从中任意抽出 2 张 （1）一共有多少种不同的抽法？（2）其中恰好有 1 张是二等奖的抽法有多少种？（3）其中至少有 1 张是二等奖的抽法有多少种？思路点拨：“2 张中恰好有 1 张是二等奖”即为“1 张是二等奖 1 张非二等奖” ，可以分步完成；“2 张中至少有 1 张是二等奖”即为“2 张中恰好有 1 张
6、是二等奖”或“2 张都是二等奖” ，可以从对立面解决。解析：（1）所求就是从 100 张奖券中取出 2 张的组合数，为 ；（2）分两步完成：第一步，从 3 张二等奖中抽出 1 张二等奖的抽法有 种，第二步，从 97 张非二等奖中抽出 1 张的抽法有 种因此共有 种。（3）方法一：直接法分两类：第一类：“2 张中恰好有 1 张是二等奖”的抽法有 ；第二类：“2 张都是二等奖” 的抽法有 ；故共有方法 种。方法二：间接法抽出的 2 张中至少有 1 张二等奖的抽法的种数，就是从 100 张中抽出 2 张的抽法种数减去 2 张都是非二等奖的抽法的种数，即总结升华：1组合问题的解法，既要注意两个计数原理
7、的运用，还要恰当地选择直接法或间接法2 “至少”的问题可以从正面用直接法来计算，也可以从反面用间接法计算。举一反三：【变式 1】在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？【答案】（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，为（2）第一步从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 种，第二步从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 种因此抽出的 3 件中格有 1 件是次品
8、的抽法的种数是（3）方法一：间接法抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法的种数，就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件都是合格品的抽法的种数，即方法二：直接法分两类：恰有一件次品 ；恰有两件次品故共有 （种） 。【变式 2】某乒乓球队有 9 名队员，其中 2 名是种子选手，现要挑选 5 名队员参加比赛，种子选手有且仅有一个在内，那么不同的选法共有多少种？【答案】70；分两步完成：第一步，选种子选手有 种，第二步，选非种子选手有 种，共有 种。【变式 3】有 11 个工人，其中 5 人只会当钳工，4 人只会当车工，还有甲、乙 2 人既会当钳工又会当车工现在要从这 11 人中选
9、出 4 人当钳工，4 人当车工，一共有多少种选法？【答案】185；分为以下三类完成：第一类：甲、乙都没有被选在内的方法有 5 种第二类：甲、乙中恰有一人被选在内甲、乙中有一人被选当钳工的方法有 种甲、乙中有一人被选当车工的方法有 种第三类：甲、乙都被选在内甲、乙都被选当钳工的方法有 种甲、乙都被选当车工的方法有 种甲、乙中有一人当钳工，另一人当车工的方法有 种所以一共有： 种选法类型三：分配问题5. 教育局将 11 个夏令营指标分配给 8 所不同的学校，要求每校至少分到 1 个名额，共有多少种不同的分配结果？ 思路点拨：夏令营指标是相同的元素，分配的不同方法是指各校获得的数量不同解析：方法一：
10、由各校至少分到 1 个名额，可先给每校 1 个名额，只需考虑余下 3 个名额的分配方法有多少种不同情况。第一类：将 3 个余额分给 3 所不同的学校，共有 种方法；第二类：将 3 个余额分给 2 所不同的学校，共有 种方法；第三类：将 3 个余额分给 1 所学校，共有 种方法，不同分配结果的总数为方法二：可将 11 个名额分成非零的 8 份，将 8 所学校看成是放置这 8 份名额的位置。11 个名额排一列，共有 12 个空档，去掉两端的空档，还有 10 个空档，从中任取 7 个空档，则 11 个名额被取到的空档分成了 8 份，每一份对应地放在学校的位置上，即不同分配结果共有举一反三：【变式 1
11、】电梯有 7 位乘客，在 10 层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法？【答案】分 2 步完成：第一步，先把 7 位乘客分成 3 人，2 人，一人，一人四组，有 种；第二步，选择 10 层中的四层下楼有【变式 2】有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问各有多少种不同的分配方式？（1）分成 1 本、2 本、3 本三组；（非均匀分组）（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；（3）分成每组都是 2 本的三个组；（均匀分组）（4）分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本。【答案】（1）先选
12、出 1 本的方法有 种，再由剩下的 5 本中选出 2 本的方法有 种，剩下的 3 本为一组有 种，依分步计数原理得分组的方法有 种。（2）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有 种。（3）选 2 本为一组有 种，剩下 4 本再选 2 本为另一组有 种，最后 2 本为一组有 种，又每 种分法只能算一种，所以不同的分法有 （种） 。（重复情况列举如下：记 6 本书为 a、b、c 、d、e、f。以下 种分法只能算一种：ab / cd / ef；ab / ef / cd；cd / ef / ab；cd / ab / ef ；ef / cd / ab ；ef / ab / cd。 ）（4）把上面分好的三组
13、分给甲、乙、丙三人有 种。（或甲先选有 种，接着乙选有 ，最后丙选有 种。共 种。 ）经典例题透析类型一：排列数公式1解不等式： 思路点拨：依据排列数公式 化简后解答。解析：原不等式等价于 ，因为所以 ，化简得： ，解得 或 ，又 ，且 ，所以，原不等式的解集为 总结升华：1当 均为已知时，公式 常用来求值；公式 = 常用来证明或化简；2解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 中， 且 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围。举一反三：【变式 1】计算：（1） ；（2） ；（3）【答案】（1） 3360；（2） 720；（3） 360.【变式 2】（1）若 ，则 _， _
14、（2）若 用排列数符号表示为_【答案】（1） 17， 14；（2）若 则 【变式 3】计算：(1) ； (2) 【答案】（1）原式 = ；（2）原式 【变式 4】解方程：3 【答案】由排列数公式得： ， ， ，即 ，解得 或 ， ，且 ， 原方程的解为 【变式 5】求证： 证明：类型二：应用2 （1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？解析：（1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个元素中任取 3 个元素的一个排列
15、，因此不同送法的种数是： ，所以，共有 60 种不同的送法.（2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是： ，所以，共有 125 种不同的送法.总结升华：本例题两小题的区别在于元素是否可以重复，第（1）小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学，各人得到的书不同，其中的元素不能重复，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种，其中的元素可以重复，只能用分步计数原理进行计算。举一反三：【变式 1】从 这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分
16、数共有多少个？【答案】20；问题可以看作 5 个元素中任取 2 个元素的一个排列 ；【变式 2】5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？【答案】120；问题可以看作 5 个元素的全排列 ；【变式 3】某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少场比赛？【答案】182；问题可以看作 14 个元素中任取 2 个元素的一个排列 .【变式 4】7 位同学站成两排（前 3 后 4） ，共有多少种不同的排法？【答案】5040；方法一：根据分步计数原理： ；方法二：问题可以看作 7 个元素的全排列 。【变式 5】某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上
17、到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？【答案】15；分 3 类：第一类用 1 面旗表示的信号有 种；第二类用 2 面旗表示的信号有 种；第三类用 3 面旗表示的信号有 种，由分类计数原理，所求的信号种数是： 。类型三：有限制条件的排列应用题3有 6 个队员排成一列进行操练，其中队员甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的站法？ 思路点拨： “队员甲不能站排头，也不能站排尾”中可以优先考虑特殊的元素：队员甲，也可以优先考虑特殊的位置：头与尾，还可以从事件的对立面解决。解法一：特殊元素优先考虑第一步：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间 4 个位置中任选 1 个位置，有 种站法；
