1、1根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 1、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围fg解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)1()(2 )(f
2、),2( 在区间 上恒成立（分离变量法）0)(2f ,即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k1k1k（2）设 ，32)(3)(xxgfxh1()(2 k令 得 或 由（1）知 ，0k1当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意k0)(2x)(xh当 时， ， 随 的变化情况如下表：)h,k)1,(k),1( 0)x 极大值 3263 极小值 2由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，021k)(fxg 0)(xh故需 ，即 ，解得3630)12kk212k31k综上，所求 的取值范围为k3根的个数知道，部分根可求或已知。例 2、已知函数 321()fxaxc（1
3、）若 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2()gxbxd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数f的图像恒有含 的三个不同交点？若存在，求出实数 的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网解：（1） ()fx的图像过原点，则 ，(0)fc2()3fxa2又 1x是 ()fx的极值点，则 (1)3201faa()0xx()2ff、 2()37fxf、（2）设函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒存在含 1x的三个不同交点，等价于 有含 的三个根，即：f1()(1)2fgdb整理得：3221()xxb即： 恒有含
4、的三个不等实根()01x（计算难点来了：） 有含 的根，321()()()0hxbb1x则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解，()hx、3x22(1)()x22()10bb221()()xx十字相乘法分解： ()10b21()()2xxb恒有含 的三个不等实根321()()0xbxb等价于 有两个不等于-1 的不等实根。21221()4()01bb(,1)(,3,)23-1 ()f3题 2：已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数()fx解法：根分布或判别式法例 3、解：函数的定义域为 （）当 m4 时，f (x) x3 x210x ，R13 72x 27x 10，令 ，
5、解得 或 .()f ()0fx5,令 ， 解得05可知函数 f(x)的单调递增区间为 和（5，） ，单调递减区间为 (,2)2,5（） x2(m3)xm6, 要使函数 yf (x)在（1， ）有两个极值点, x 2(m3)fxm6=0 的根在（1，）根分布问题：则 ， 解得 m32(3)4(6)0;1.fm例 4、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令231)(xaxf)0,(aR)(xf x4 f（x） （xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围()g1解：（1） )1()(2 ax当 时，令 解得 ，令 解得 ，0a0)f 0x、0)(xf 01xa所以 的递增区间为 ，递减
6、区间为 .)(xf ),(,(a,当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .)xf )1(a、 ),(),(14（2） 有且仅有 3 个极值点4321)(gaxx=0 有 3 个根，则 或 ，23(1) 0x210ax2方程 有两个非零实根，所以210xa24,a或a而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点()ygx题 3：切线的条数问题=以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 5、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围32()fxabc ()0fx为 ，求：（ 1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的(,) (1,)Pmym取值范围（1）由题
7、意得： ()3,(0)fxaxa在 上 ；在 上 ；在 上(,0x(1,)(0f3(fx因此 在 处取得极小值f4 ， ， 4abc2fbc()276fbc由联立得： ， 69ac32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,yftt23231()y t21(69txtt过(9)6,m23(mtt3)0g令 ，2(61)ttt求得： ，方程 有三个根。,(g需： )0(2g3940m16故： ；因此所求实数 的范围为：16m(,)5例 6、 （根分布与线性规划例子）（1）已知函数 32()fxaxbc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求1(0,1)30x
8、y的解析式；xf() 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平面()(0,)(12)x(2,1)Mba区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.解： (). 由 , 函数 在 时有极值 ,2()fxaxb()f 0b ()1f1c又 在 处的切线与直线 平行,x,)30xy 故 (0)3fb2a . 7 分21xx() 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,()fb ()fx(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2f0248a()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 ,
9、, , , , (20)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 3DEABES四 边 形 所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它ykx与 AC,BC 分别交于 F、G, 则 , k1四 边 形 DEGF6由 得点 F 的横坐标为: 20ykx 21Fxk由 得点 G 的横坐标为: 46yx 64G 即 OEFDSS四 边 形 DEGF131221kk2650k解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 12k58kyx综上,所求直线方程为:
10、或 .12 分0x12yx() 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()fab()f(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2f48()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx026xy易得 , , , , , (20)A(1)B(,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 所求一条直线 L 的方程为: 3DEABES四 边 形 0x另一种情况由于直线 BO 方程为 : , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 12yx由 得直线 L 与 AC 交点为: 120yx 1(,)2 , , ABCS12DECS 12HAB
11、OHSS 所求直线方程为: 或 0xyx7作业讲解 1、 （根的个数问题）已知函数 的图象如图所示。32f(x)ab(c3ab)xd (a0)（）求 的值；cd、（）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，f()(,f2)3xy10求函数 f ( x )的解析式；（）若 方程 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。05,f(x)8a解：由题知： 2f()3b+c-32（）由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且 = 01f得 32c0dabcd（）依题意 = 3 且 f ( 2 ) = 5f解得 a = 1 , b = 6 1486ab所以 f ( x ) = x3 6x
12、2 + 9x + 3（）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 = 0 b = 9a f 5f若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3 a3 1所以 当 a3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。 12 分12.已知函数 , 函数 ,若方程 在2()4lnfxx()ln4gxfm()0gx1,2e上恰有两解, 求实数 m的取值范围.解： 2()lln4g令 得 ，则此方程在 上恰有两解。
13、 0x2lx1,2e记 l)(2 0)(4 xxx得 12,xe8在 上， ， 单调递减；1,2e()0x()在 上， ， 单调递增；,x又 ， 2ln4l2n4)2( 2()4ln,()em. 1()3.设函数 ，且 为 的极值点21()ln(,0)fxcxbcR1x()f() 若 为 的极大值点，求 的单调区间（用 c表示） ；)f (f() 若 恰有两解，求实数 c的取值范围)0fx解： ，又2cxbf(1)0f所以 且 c， (1)fx（I）因为 为 的极大值点，所以 1cf当 01x时， ；当 x时， ；当 xc时，()0x()0f()0fx所以 的递增区间为 ,1， (,)c；递减
14、区间为 ,) ()f（II） 若 c，则 在 )上递减，在 (1,)上递增(fx恰有两解，则 1)0f，即02b，所以102c；()0fx 若 1c，则(lnfxfcc极 大，()fxfb极 小因为 b，则 的极大值为 ，()f2 2l(1)ln0cc的极小值为 ， 从而 只有一解；()fx12c()0fx 若 1c，则 的极小值为()f2 2ln1ln0cc9的极大值为 ， 则 只有一解.()fx12c()0fx综上，使 恰有两解 的 c的范围为 ()0fx102c4、 （根的个数问题）已知函数 321()1()fxaxR（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；()fx1
15、2,2a()fx（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数a()fx25()(16gxx解：（1） 2()fxa212, 21 12()44xxx2 分0a2()f令 得x1,x或令 得()0f 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 5 分x(,)(1,)(1,)（2）由题 得()fgx32256axxax即 32106a令 6 分11()()(2)xxx2a令 得 或 7 分()0x1x12a当 即 时x2(,1)()x982aa10此时， ， ，有一个交点；9 分9802a当 即 时，21x(2,)a2(2,1)a () 0x982a2(3)6aa,21(3)06当 即 时,有一个交点；98a9a当 即 时，有两个交点；2， 且 016当 时， ，有一个交点13 分1082综上可知，当 或 时，有一个交点；96aa当 时，有两个交点14 分1
