1、 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_.,0,1cos)(xxf若若（2 ） 已知曲线 bay23与 x 轴相切，则 2b可以通过 a 表示为 2b_.（3 ） 设 a0， ，gxf其 他若 ,10,)(而 D 表示全平面，则DdygxfI)(=_.（4 ） 设 n 维向量 0,),0(aaT；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵TEA， B1，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_.（5 ） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 4.0
2、XZ，则 Y 与 Z 的相关系数为_.（6 ） 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， n,21 为来自总体 X 的简单随机样本，则当n时， nii1依概率收敛于_.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1 ） 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 )0(f存在，则函数 xfg)(A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0.(C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. （2 ） 设可微函数 f(x,y)在点 ),(0yx取得极小值，则下列结
3、论正确的是(A) ),(0yxf在 0处的导数等于零 . （B） ),(0yxf在 0处的导数大于零.(C) 在 处的导数小于零 . (D) 在 处的导数不存在. （3 ） 设 2nnap， 2naq， ,1，则下列命题正确的是(A) 若 1na条件收敛，则1np与 1nq都收敛.(B) 若 1n绝对收敛，则 1n与 1n都收敛.(C) 若1na条件收敛，则1np与 1nq敛散性都不定.(D) 若 1n绝对收敛，则 1n与 1n敛散性都不定. （4 ） 设三阶矩阵 abA，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有(A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0.(C) a b
4、且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. （5 ） 设 s,21 均为 n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有 021sk ，则s,21线性无关.(B) 若 s,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有.021skk(C) s, 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D) s21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 . （6 ） 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： 1A=掷第一次出现正面， 2A=掷第二次出现正面，3A=正、反面各出现一次 ， 4A=正面出现两次，则事件(A) 321,相互独立.
5、 (B) 432,相互独立. (C) 两两独立. (D) A两两独立. 三、 （本题满分 8 分）设).1,2,)1(sin1)( xxxf试补充定义 f(1)使得 f(x)在 1,2上连续.四 、 （本题满分 8 分）设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 122vfu，又 )(21,),(2yxfyxg,求.22ygx五、 （本题满分 8 分）计算二重积分.)sin(2)(2dxyeIDyx其中积分区域 D= .,六、 （本题满分 9 分）求幂级数 12)1()(nnx的和函数 f(x)及其极值.七、 （本题满分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在
6、 ),(内满足以下条件：)(xgf， xf，且 f(0)=0, .2)(xegxf(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F(x)的表达式.八、 （本题满分 8 分）设函数 f(x)在0，3上连续，在（ 0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 )3,0(，使.0)(f九、 （本题满分 13 分）已知齐次线性方程组,0)(,)(,0)(321321 nnxbaxaxbxaxa 其中 .01nia试讨论 n, 和 b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、 （本题满分
7、 13 分）设二次型)0(2),( 31321321 bxxaAXxfT ，中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12.(1) 求 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为;,81,03)(2其 他若 xxfF(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数.十二、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为7.0321，而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).2003年考研数学（
8、三）真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1 ） 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是 2.,0,1cos)(xxf若若【分析】 当 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.【详解】 当 1时，有,0,0,1sinco)(21 xxxf 若若显然当 2时，有 )()(lim0ffx，即其导函数在 x=0 处连续.（2 ） 已知曲线 bxay23与 x 轴相切，则 2b可以通过 a 表示为 2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到
9、 2与 a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有32xy，有 .20ax又在此点 y 坐标为 0，于是有 023ba,故 .4)3( 620202 axab【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（3 ） 设 a0， ，xgf其 他若 ,10,)(而 D 表示全平面，则 DdxygfI)(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 10,xy时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 DdxygfI)(= dxayx10,2= .)(102102axa【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区
10、域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4 ） 设 n 维向量 ,),(T；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵TEA， aB1，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 .【分析】 这里 为 n 阶矩阵，而 2T为数，直接通过 EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)(TTaE= T= TT)(= TaE21= E)(,于是有 021a，即 012，解得 .1,2a 由于 A0 ,故 a=-1.（5 ） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 4.XZ，则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为)4.0
11、().0()4.0,cov(),c(EYEZ= )(E=E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且 .DXZ于是有 cov(Y,Z)= DZY),cov(= .90),c(XY【评注】 注意以下运算公式： DXa)(， ).,cov(),cov(YXaY（6 ） 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， n,21 为来自总体 X 的简单随机样本，则当n时， niiY1依概率收敛于 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 nX,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1nEXniipii【详解】 这里 221,n
12、满足大数定律的条件，且 22)(iiiEXD= 21)(4，因此根据大数定律有niiXY12依概率收敛于 .211niiEX二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1 ） 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 )0(f存在，则函数 xfg)(A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0.(C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. D 【分析】 由题设，可推出 f(0)=0 , 再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可.【详解】 显然 x=0
13、 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有 )0()(lim)(li)(lim000 fxfxfgx 存在，故 x=0 为可去间断点.【评注 1】 本题也可用反例排除，例如 f(x)=x, 则此时 g(x)= ,01x可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注 2】 若 f(x)在 0x处连续，则 .)(,)()(lim0000 AffAxfx . （2 ） 设可微函数 f(x,y)在点 ),(0y取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0yxf在 0处的导数等于零 . （B） ),(0yxf在 0处的导数大于零.(C) 在 处的导数小
14、于零 . (D) 在 处的导数不存在. A 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ),(0yx取得极小值，根据取极值的必要条件知 0),(0yxf，即),(0yxf在 0处的导数等于零, 故应选(A).【评注 1】 本题考查了偏导数的定义， ),(0yxf在 0处的导数即 ),(0yxf；而 ),(0yxf在0x处的导数即 ).,(0yxf【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 2),(yxf，在(0,0) 处可微且取得极小值，并且有),(yf，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3 ） 设 2nnap， 2na
15、q， ,1，则下列命题正确的是(A) 若 1n条件收敛，则1np与 1nq都收敛.(B) 若 1na绝对收敛，则 1n与 1n都收敛.(C) 若1n条件收敛，则1np与 1nq敛散性都不定.(D) 若 1na绝对收敛，则 1n与 1n敛散性都不定. B 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】 若1n绝对收敛，即1na收敛，当然也有级数 1na收敛，再根据 2nnap，2nnaq及收敛级数的运算性质知， 1np与 1nq都收敛，故应选(B).（4 ） 设三阶矩阵 abA，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有(A) a=b 或 a+2b=0. (B) a
16、=b 或 a+2b 0.(C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. C 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0)(22baba，即有 0ba或 a=b.但当 a=b 时，显然秩(A) 2, 故必有 a b 且 a+2b=0. 应选(C).【评注】 n（n )阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系：.1)(,0,*)(nrr（5 ） 设 s,21 均为 n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数 sk,21
17、，都有 021sk ，则s,21线性无关.(B) 若 s,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有.021skk(C) s, 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D) s21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 . B 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数 sk,21 ,都有 021sk ，则s,21必线性无关，因为若 s,21 线性相关，则存在一组不全为零的数 s,1 ,使得 0skk，矛盾. 可见（A）成立.(B): 若 s,
18、21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有.21skk(B)不成立.(C) s,21 线性无关,则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组 s,21 的秩为 s，则s,21线性无关，因此 (C)成立.(D) s, 线性无关, 则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的 . 例如，原命题：若 存在一组不全为零的数 sk,21 ，使得 021skk 成立，则 s,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有 021sk ，则 s,21 线性无关.
19、在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6 ） 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： 1A=掷第一次出现正面， 2A=掷第二次出现正面，3A=正、反面各出现一次 ， 4A=正面出现两次，则事件(A) 321,相互独立. (B) 432,相互独立. (C) 两两独立. (D) A两两独立. C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为 21)(AP， 21)(， 21)(3AP， 41)(，且 421， 431， ， 2A0)(321P，可见有 )()(2121， )()(3131， )()(3232
20、A，3APAP， 442.故 21,两两独立但不相互独立； 3,不两两独立更不相互独立，应选 (C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、 （本题满分 8 分）设).1,2,)1(sin1)( xxxf试补充定义 f(1)使得 f(x)在 ,2上连续.【分析】 只需求出极限 )(lim1xf，然后定义 f(1)为此极限值即可 .【详解】 因为)(li1xf= )1(sinli1x= xi)(slim1= xx cos)(sinl1= xxx sin)1(cosinlim122= .由于 f(x)在 )1,2上连续，因此定义(f，使 f(x)在 ,上连续 .【评注
21、】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x，转化为求 0y的极限，可以适当简化.四 、 （本题满分 8 分）设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 122vfu，又 )(21,),(2yxfyxg,求.22ygx【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： ),(vufg， )(21,2yxvy，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用 .22vfuf【详解】 fxyg，.vfu故 vfxufyfyxg2222，.2222 fvff 所以 22222 )()( vfyxufyxgx = .2【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五 、 （本题满分 8 分）计算二重积分
