1、3 判断下面的序列是否是周期的 ; 若是周期的， 确定其周期。 (1) (2) 解： （ 1） 因为 = , 所以 , 这是有理数， 因此是周期序列， 周期 T=14 （ 2） 因为 = , 所以 =16 , 这是无理数， 因此是非周期序列。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与 y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （ 1） y(n)=x(n)+2x(n 1)+3x(n 2) （ 2） y(n)=2x(n)+3 （ 3） y(n)=x(n n0) n0 （ 4） y(n)=x( n) 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与 y(n)分别表示系统
2、输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （ 1） y(n)=x(n)+2x(n 1)+3x(n 2) （ 2） y(n)=2x(n)+3 （ 3） y(n)=x(n n0) n0 （ 4） y(n)= ( n) （ 5） y(n)=x2(n) （ 6） y(n)=x(n2) （ 7） y(n)= 是常数AnAnx 873c o s)( )81(je)( nnx73 3142 81 2nm mx0 )(（ 8） y(n)=x(n)sin( n) 解： （ 1）令输 入为 x(n n0) 则输出为 y (n)=x(n n0)+2x(n n0 1)+3x(n n0 2) y(n n0)=x(n
3、n0)+2x(n n0 1)+3(n n0 2)=y (n) 故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2 ax1(n 1)+bx2(n 1) +3 ax1(n 2)+bx2(n 2) T ax1(n) =ax1(n)+2ax1(n 1)+3ax1(n 2) T bx2(n) =bx2(n)+2bx2(n 1)+3bx2(n 2) 所以 T ax1(n)+bx2(n) =aT x1(n) +bT x2(n) （ 2） 令输入为 x(n n0) 输出为 y (n)=2x(n n0)+3 y(n n0)=2x(n n0)+3=y (n)
4、故该系统是非时变的。 由于 T ax1(n)+bx2(n) =2ax1(n)+2bx2(n)+3 T ax1(n) =2ax1(n)+3 T bx2(n) =2bx2(n)+3 T ax1(n)+bx2(n) aT x1(n) +bT x2(n) 故该系统是非线性系统。 (3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 x(n n1) 输出为 y (n)=x(n n1 n0) y(n n1)=x(n n1 n0)=y (n) 故延时器是非时变系统。 由于 T ax1(n)+bx2(n) =ax1(n n0)+bx2(n n0) =aT x1(n) +bT x2(n) 故
5、延时器是线性系统。 （ 5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(n n0)，输出为 y (n)=x2(n n0) y(n n0)=x2(n n0)=y (n) 故系统是非时变系统。 由于 T ax1(n)+bx2(n) = ax1(n)+bx2(n) 2 aT x1(n) +bT x2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。 （ 6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(n n0)，输出为 y (n)=x(n n0)2) y(n n0)=x(n n0)2)=y (n) 故系统是非时变系统。 由于 T ax1(n)+bx2(n) =ax1(n2)+bx2(n2) =aT
6、 x1(n) +bT x2(n) 故系统是线性系统。 （ 7） 令：输入为 0()xn n ，输出为 00( ) ( )nmy n x m n， 因为 0 0 0( ) ( ) ( )nnmy n n x m y n 故该系统是时变系统。 又因为1 2 1 2 1 20 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) nmT a x n b x n a x m b x m a T x n b T x n 故系统是线性系统。 （ 8） y(n)=x(n) sin( n) 令输入为 x(n n0) 输出为 y (n)=x(n n0) sin( n) y(n n0)=x(n n0) sin
7、(n n0) y (n) 故系统不是非时变系统。 由于 T ax1(n)+bx2(n) =ax1(n) sin( n)+bx2(n) sin( n) =aT x1(n) +bT x2(n) 故系统是线性系统。 6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 （ 1） 101( ) ( )Nky n x n kN； （ 2） y(n)=x(n)+x(n+1) （ 3） 00( ) ( )nnk n ny n x k ； （ 4） y(n)=x(n n0) （ 5） ()() xny n e 。 解 ： （ 1） 只要 1N ，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的
8、和 n时刻以前的输入有关。如果 ()xn M ，则 ()y n M ，因此系统是稳定系统。 （ 2） 该系统是非因果系统， 因为 n 时间的输出还和 n 时间以后（ n+1）时间）的输入有关。如果 |x(n)| M, 则 |y(n)| |x(n)|+|x(n+1)| 2M, 因此系统是稳定系统。 （ 3） 如果 ()xn M ， 000( ) ( ) 2 1nnk n ny n x k n M ，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关 . （ 4） 假设 n00， 系统是因果系统， 因为 n时刻输出只和 n 时刻以后的输入有关。 如果 |x(n)| M, 则 |y
9、(n)| M， 因此系统是稳定的。 （ 5） 系统是因果系统，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 ()xn M ，则 ()()() xnx n My n e e e ，因此系统是稳定的。 12.设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n 1)+x(n)描述，初始条件 y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解：分析的方法是让系统输入分别为 (n)、 (n 1)、 (n)+ (n1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （ 1） 令 x(n)= (n), 这时系统的输出用 y1(n)表示。 该情况在教材例 1.4.1 y1(n)=anu(n) (2) 令
10、 x(n)= (n 1)，这时系统的输出用 y2(n)表示。 )()1()( 11 nnayny )1()1()( 22 nnayny n=0 时， n=1 时， n=2 时， 任意 n 时， 最后得到 (3) 令 x(n)= (n)+ (n 1), 系统的输出用 y3(n)表示。 n=0 时， n=1 时， n=2 时， n=3 时， 任意 n 时， 最后得到 第二章 1 设 X(ej )和 Y(ej )分别是 x(n)和 y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列 的傅里叶变换： (1) x(n n0) (2) x*(n) (3) x( n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n)
11、 (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n) （ 9） 解：（ 1） 令 n =n n0, 即 n=n +n0，则 0)1()1( )0( 22 yay1)0()0( )1( 22 yayayay )1()1( )2( 2212 )( nany)1()( 12 nuany n)1()()1()( 33 nnnayny 1)1()0()1( )0( 33 yay1)0()1()0( )1( 33 ayay233 )1()1()2()1( )2( aaaayay 32233 )()2()3()2( )3( aaaaayay 13 )( nn aany)()1()( 13 nuanu
12、any nn 奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9 n nnnxnnx j00 e)()(FT)e(e)()(FT jj)(j0 00 Xenxnnx nn nn （ 2） （ 3） 令 n = n， 则 （ 4） FT x(n)*y(n) =X(ej )Y(ej ) 下面证明上式成立： 令 k=n m, 则 , （ 5） 或者 （ 6）因为 对该式两边求导，得到 因此 （ 7） 令 n =2n， 则 )e(e)(e)()(FT jjj Xnxnxnx n nn n n nnxnx je)()(FT)e(e)()(FT jj Xnxnx n n m mnymxnynx )()()()( m
13、 nn mnymxnynx je)()()()(FT)e()e(e)(e)(ee)()()()(F T jjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkknnnnnYnxnynxnynx jjjjede)e(21)( e)()()()(FT )(j)(jd)e()e(21de)()e(21XYnxYjnnj )(jj d)e()e(21)()(FT YXnynx n nnxX jj e)()e()(j F Te)(jd )e(d nnxnnxX n njj d )e(dj)(FT jXnnx n nnxnx je)2()2(FT)(e)e(21)(ee)(21e)()1()(21e)()
14、2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/j XXenxnxnxnxnxnxn nnjnnnnnnnn取偶数或者 （ 8） 利用（ 5）题结果， 令 x(n)=y(n), 则 （ 9） 令 n =n/2， 则 5. 设图所示的序列 x(n)的 FT 用 X(ej )表示 ,不直接求出 X(ej )， 完成下列运算或工作： (1) (2) (3) (4) 确定并画出傅里叶变换实部 Re X(ej )的时间序列 xa(n)； (5) (6) 解 (1) (2) (3) （ 4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分 ,即 )e()e(21)2(FT 21j21j XXnx n nnx
15、nx j22 e)()(FT d)e()e(21)e()e(21)(FT j jjj2 XXXXnx n nnxnx je)2/()2/(FT)e(e)()2/(FT 2j2j Xnxnx n n )e( 0jX j d)e( X)e( jX 2j d|)(e| X d|d )e(d| 2 j X6)()e( 7 30j n nxX42)0(d)e( j xX 2)()1(e)()e( 7 3jj n nn n nxnxX n nj nxeXR jee e)()()()(21)(e nxnxnx 按照上式画出 xe(n)的波形如题 5 解图所示。 (5) (6) 因为 因此 7. 设 : （
16、1） ()xn 是实偶函数 ， （ 2） ()xn 是实奇函数 ， 分别分析推导以上两种假设下 ， ()xn 的傅里叶变换性质 。 解 ：令 ( ) ( )jw jwnnX e x n e （ 1） x(n)是实、偶函 数， ( ) ( )jw jwnnX e x n e 两边取共轭，得到 * ( )( ) ( ) ( ) ( )jw jw n j w n jwnnX e x n e x n e X e 因此 *( ) ( )jw jwX e X e 上式说明 x(n)是实序列， ()jwXe 具有共轭对称性质。 ( ) ( ) ( ) c o s s in jw jw nnnX e x n
17、e x n w n j w n 由于 x(n)是偶函数， x(n)sinwn 是奇函数，那么 ( ) sin 0n x n wn ,因此 ( ) ( ) c o sjwnX e x n wn 该式说明 ()jwXe 是实函数，且是 w 的偶函数。 28)(2d)e( 7322 nj nxX )(jFTd )e(d j nnxX 316)(2dd )e(d 7322j nnnxX 总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 ()jwXe 是实、偶函数。 （ 2） x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于 x(n)是实序列， ()jwXe 具有共轭对称性质，即 *( ) ( )jw jwX
18、 e X e ( ) ( ) ( ) c o s s in jw jw nnnX e x n e x n w n j w n 由于 x(n)是奇函数，上式中 ( )cosx n wn 是奇函数，那么 ( ) cos 0n x n wn 因此 ( ) ( ) sinjwnX e j x n wn 这说明 ()jwXe 是纯虚数，且是 w 的奇函数。 10. 若序列 ()hn 是实因果序列 ， 其傅里叶变换的实部如下式 : ( ) 1 cosjwRH e w 求序列 ()hn 及其傅里叶变换 ()jwHe 。 解 ： /211( ) 1 c os 1 ( ) ( )221,12( ) 1 , 01,120 , 0 1 , 0( ) ( ) , 0 1 , 12 ( ) , 0 0 ,( ) ( ) 1 2 c os2jw jw jw jwnR e eneeejw jwn jw jwnH e w e e F T h n h n enh n nnnnh n h n n nh n nwH e h n e e e 其 它 n13. 已知 0( ) 2 co s(2 )ax t f t ， 式中 0 100f Hz ， 以采样频率 400sf Hz 对
