1、概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第一章 第 1 页 (共 79 页 ) 第一章 随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （ 1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （ 2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （ 3） 10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （ 4）测量一汽车通过给定点的速度 . 解 所求的样本空间如下 （ 1） S= 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12 （ 2） S= (x, y)| x2+y20 2. 设 A、 B、 C 为三个事件，用 A、 B、
2、 C 的运算关系表示下列事件： （ 1） A 发生， B 和 C 不发生； （ 2） A 与 B 都发生，而 C 不发生； （ 3） A、 B、 C 都发生； （ 4） A、 B、 C 都不发生； （ 5） A、 B、 C 不都发生； （ 6） A、 B、 C 至少有一个发生； （ 7） A、 B、 C 不多于一个发生； （ 8） A、 B、 C 至少有两个发生 . 解 所求的 事件表示 如下 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )( 5 ) ( 6 )( 7 )( 8 )A B C A B C A B C A B CA B C A B CA B B C A CA B B C C A3
3、 在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年级学生，事件 C 表示该学生 是运动员，则 （ 1）事件 AB 表示什么？ （ 2） 在什么条件下 ABC=C 成立？ （ 3）在什么条件下关系式 CB 是正确的？ （ 4）在什么条件下 AB 成立？ 解 所求的事件表示如下 （ 1） 事件 AB 表示 该生是三年级男生，但不是运动员 . 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第一章 第 2 页 (共 79 页 ) （ 2） 当 全校运动员都是三年级男生 时， ABC=C 成立 . （ 3） 当 全校运动员都是三年级学生 时，关系式 CB 是正确的 .
4、（ 4） 当 全校女生都 在三年级，并且三年级学生都是女生 时， AB 成立 . 4 设 P(A) 0.7， P(A B) 0.3，试求 ()PAB 解 由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以 P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3, 所以 P(AB)=0.4, 故 ()PAB = 10.4 = 0.6. 5. 对事件 A、 B 和 C，已知 P(A) = P(B) P(C) 14 ， P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18 求 A、B、 C 中至少有一个发生的概率 . 解 由于 , ( ) 0 ,A B C A B P A B故 P(A
5、BC) = 0 则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) 1 1 1 1 50 0 04 4 4 8 8 6. 设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A 两球颜色相同 ， B 两球颜色不同 . 解 由题意，基本事件总数为 2abA ，有利于 A 的事件数为 22abAA ，有利于 B 的事件数为1 1 1 1 1 12a b b a a bA A A A A A, 则 2 2 1 1222( ) ( )a b a ba b a bA A A AP A P BAA7. 若 10 件产品中有件正
6、品， 3 件次品 , （ 1） 不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （ 2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率 . 解 （ 1） 设 A=取得三件次品 则 331 0 1 016( ) ( )1 2 0 7 2 0或 者 CAP A P A. （ 2） 设 B=取到三个次品 , 则 333 27() 10 1000PA. 8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语， 35 人会讲日语， 32 人会讲日语和英语， 9 人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （ 1）此人会讲 英语和日语，但不会讲法语的概率； （
7、 2）此人只会讲法语的概率 . 解 设 A=此人会讲英语 , B=此人会讲日语 , C=此人会讲法语 根据题意 , 可得 (1) 3 2 9 2 3( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 P A B C P A B P A B C (2) ( ) ( ) ( )P AB C P AB P AB C ( ) 0 1 ( )P A B P A B 1 ( ) ( ) ( )P A P B P A B 4 3 3 5 3 2 5 41 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑 子，若从中任取 3 颗，求： 概率论与数
8、理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第一章 第 3 页 (共 79 页 ) （ 1） 取到的都是白子的概率； （ 2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （ 3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （ 4） 取到三颗棋子颜色相同的概率 . 解 (1) 设 A=取到的都是白子 则 38312 14( ) 0 .2 5 555 CPA C. (2) 设 B=取到两颗白子 , 一颗黑子 2184312( ) 0 .5 0 9CCPB C. (3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子 ( ) 1 ( ) 0 .7 4 5 P C P A. (4) 设 D=取到三颗子颜色相同 3384312( ) 0.
9、27 3CCPD C. 10. （ 1） 500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少 (1 年按 365 日计算 )？ （ 2） 6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解 (1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日 , 则 500500364( ) 1 ( ) 1 0 . 7 4 6365 P A P A(2)设所求的概率为 P(B) 4 1 26 1 26 11( ) 0 .0 0 7 312CCPB11. 将 C， C， E， E， I， N， S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解 由于两个 C，两个 E
10、共有 22AA种排法，而基本事件总数为 77A ，因此有 222277 0 .0 0 0 7 9 4AAp A12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率 . 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 445 2C 中取法 . 设A=4 只手套都不配对 ，则有 4454102 80() 210CPA C 13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为 11ip i ， i=1， 2， 3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？ 解 设 Ai = 第 i 个零件 不 合格 ， i=
11、1,2,3, 则 1() 1iiP A p i所以 ( ) 1 1ii iP A p i 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2 ) ( ) ( ) ( )P x P A A A P A A A P A A A 由于零件制造相互独立，有： 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A ， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第一章 第 4 页 (共 79 页
12、) 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1, ( 2 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4Px 所 以 14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A=目标出现在射程内 ， B=射击击中目标 ， Bi =第 i 次击中目标 , i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式 12( ) ( ) ( )( ) ( ) ( | )( ) ( ( ) | )P B P A B P A BP A B P A P B AP A P B B A另外
13、, 由于两次射击是独立的 , 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A) P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.7 0.84 = 0.588 15. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1， 2， 3， 4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率 . 解 设 Ai =一批产品中有 i
14、件次品 ， i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次品 , C=产品中次品不超两件 , 由题意 0191 491 1050192 482 1050193 473 1050194 461 1050( | ) 01( | )516( | )4939( | )98988( | )2303P B ACCP B ACCCP B ACCCP B ACCCP B AC由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组 , 由全概率公式 40( ) ( ) ( | ) 0 .1 9 6 iiiP B P A P B A由 Bayes 公式 000111222( ) (
15、| )( | ) 0()( ) ( | )( | ) 0. 25 5()( ) ( | )( | ) 0. 33 3()P A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB故 20( ) ( | ) 0 .5 8 8 iiP C P A B16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%， 10%和 90%的概率分别为 0.8，概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第一章 第 5 页 (共 79 页 ) 0.15， 0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下
16、一件的概率） . 解 设 B=三件都是好的 ， A1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%， 则 A1, A2, A3是两两互斥 , 且 A1+ A2 +A3= , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式 31333( ) ( ) ( | )0 . 8 0 . 9 8 0 . 1 5 0 . 9 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 8 6 2 4 iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 , 这批货
17、物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为 313233( ) ( | ) 0 .8 0 .9 8( | ) 0 .8 7 3 1( ) 0 .8 6 2 4( ) ( | ) 0 .1 5 0 .9 0( | ) 0 .1 2 6 8( ) 0 .8 6 2 4( ) ( | ) 0 .0 5 0 .1 0( | ) 0 .0 0 0 1( ) 0 .8 6 2 4 iiiiiiP A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.
18、 17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含 0， 1 和 2 件残次品的箱各占 80%， 15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （ 1）一次通过验收的概率； （ 2）通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解 设 Hi=箱 中实际有的次品数 , 0,1,2i , A=通过验收 则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有： 04231 4244222 424( | ) 1,5( | ) ,695( | )138P A HCP A H
19、CCP A HC(1)由全概率公式 20( ) ( ) ( | ) 0 .9 6 iiiP A P H P A H(2)由 Bayes 公式 得 00( ) ( | ) 0 . 8 1( | ) 0 . 8 3( ) 0 . 9 6 i P H P A HP H A PA18. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为 0.1，问在同一时刻 （ 1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （ 2）至少有三台设备被 使用的概率是多少？ 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的 , 因此 本题 可以看作是 5 重伯努利试验 . 由题意，有 p=0.1
20、, q=1p=0.9, 故 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第一章 第 6 页 (共 79 页 ) (1) 2 2 31 5 5( 2 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) 0 . 0 7 2 9 P P C (2) 2 5 5 5(3 ) ( 4 ) (5 )P P P P 3 3 2 4 4 1 5 5 05 5 5( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 9 ) 0 . 0 0 8 5 6C C C 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第 二 章 第 7 页 (共 79 页 ) 第二章 随
21、机变量及其分布 1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数 X 的分律 . 解 X 的分布率如下表所示： X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/45 2. 进行某种试验，设试验成功的概率为 34 ，失败的概率为 14 ，以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率 . 解 X 的分布律为： 113( ) , 1 , 2 , 3 ,44kP X k k X 取偶数的概率： 2113 ( 2 ) 44111 1633 116 51 16kkP X P X k k= 1 k= 1k=1为 偶 数3. 从 5 个
22、数 1， 2， 3， 4， 5 中任取三个为数 1 2 3,x x x .求： X max ( 1 2 3,x x x )的分布律及 P(X 4)； Y min ( 1 2 3,x x x )的分布律及 P(Y3). 解 基本事件总数为： 35 10C ， X 3 4 5 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第 二 章 第 8 页 (共 79 页 ) (1)X 的分 布律为： P(X 4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为 P(X3) =0 4. C 应取何值，函数 f(k) = !kCk ， k 1， 2， 0 成为分布律？ 解 由题意 , 1 ( ) 1k fx
23、, 即 01 1 0 ( 1 ) 1! ! ! 0 !k k kk k kC C C C ek k k 解得： 1( 1)C e 5. 已知 X 的分布律 X 1 1 2 P 16 26 36 p 0.1 0.3 0.6 Y 1 2 3 p 0.6 0.3 0.1 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第 二 章 第 9 页 (共 79 页 ) 求：（ 1） X 的分布函数；（ 2） 12PX；（ 3） 312PX. 解 (1) X 的 分布函数为 ( ) ( )k kxxF x P X x p 0 , 11 / 6 , 1 1()1 / 2 , 1 21 , 2xxFxxx ; (2
24、) 11( 1 )26P X P X (3) 31 ( ) 02P X P 6. 设某运动 员投篮投中的概率为 P 0.6，求一次投篮时投中次数 X 的分布函数，并作出其图形 . 解 X 的分布函数 00( ) 0 .6 0 111xF x xx 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求： （ 1）三次射击中恰好命中两次的概率； （ 2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设 A=三次射击中恰好命中两次 ， B=目标被击毁，则 (1) P(A) = 2 2 3 2 233( 2 ) (1 ) 3 (1 )P C p p p p (2) P(B) =
25、 2 2 3 2 3 3 3 3 2 33 3 3 3( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 2P P C p p C p p p p 8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求： （ 1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率； F(x) 0 x 1 0.6 1 概率论与数理统计 习题参考答案 （仅供参考） 第 二 章 第 10 页 (共 79 页 ) （ 2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率 . 解 (1) P(X=6) =644 0 . 1 0 4! 6 !keek 或者 P(X=6) = !kek 446744!kkkkee= 0.21487 0.1106
26、7 = 0.1042. (2) P(X 10) 10 440 1 144 1 1 0 . 0 0 2 8 4!kkkkee = 0.99716 9. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X 1) P(X 2)，求P(X 4) 解 由已知可得， 12 ,1 ! 2 !ee 解得 =2， ( =0 不合题意 ) 4 22, ( 4 )4!P X e 因 此 = 0.09 10. 商店订购 1000 瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为 0.003，求商店收到的玻璃瓶，（ 1）恰有两只；（ 2）小于两只；（ 3）多于两只；（ 4）至少有一只的概率 . 解 设 X=1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子 数 ，则 X 服从参数为 n=1000, p=0.003 的二项分布 ， 即XB(1000, 0.003), 由于 n 比较大， p 比较小， np=3, 因此可以用泊松分布来近似 , 即 X (3). 因此
