1、现代控制理论习题详解 1 第一章 控制系统的状态空间描述 3-1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取 cu 和 Li 为状态变量。 （ 1） 1R 2R1C 2Ciu ou1cu 2cu1i 2i题 3-1-1图 1 (2） R LCiu oucuLi题 3-1-1 图 2 【解】： (1) 设状态变量 : 11 cux 、 22 cux 而 111 cuCi 、 222 cuCi 根据基尔霍夫定律得： 112 2111 )( cccci uRR uuuCu 22221 ccc uRuCu 整理得 210112122221212121211001111xxuyuCRxxCRCRCRCRRRR
2、xxi(2) 设状态变量： Lix1 、 cux 2 而 现代控制理论习题详解 2 cL uCi 根据基尔霍夫定律得： cLLi uiLiRu 整理得 21021211001011xxuyuLxxCLLRxxi3-1-2 如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压 au 输出为电动机角速度，电动机轴上阻尼系数为 f，转动惯量 J，试列写状态方程和输出方程。 aR aLau Df常数fiJ LMai题 3-1-2 图 【解】： 设状态变量为： aixx21 其中 ai 为流过电感上的电流， 电动机轴上的角速度。 电 动机电枢回路的电压方程为： baaaaa eiRiLu be 为电动机
3、反电势。 电动机力矩平衡方程为 LD MfJM 由电磁力矩和反电势的关系，有 eb ce ， aMD icM 式中 ec 为电动机反电势系数， Mc 为电动机的转矩系数。 J 为电动机轴上粘性摩擦系数， f 电动机轴上等效转动惯量。 整理得 现代控制理论习题详解 3 212121101001xxyMuJLxxJfJcLcLRxxLaaMaeaa(注：解是非唯一的 ) 3-1-3 试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。 （ 1） 111sTKsK 3)( sU )( sY122sTKs1114 sT155sTK题 3-1-3图 1 （ 2） asc)(1 sU )(1 sYbsd)(2
4、 sUs1esfg)(2 sY题 3-1-3图 2 【解】： (1) 如题 3-1-3 图 3 设状态变量 现代控制理论习题详解 4 11TK22TK11T3K41T21T41T51T)( sU 6x6x 4x4x2x2x3x 3x5x5x1x1x)( sY55TK题 3-1-3 图 3 24141 11 xTxTx )( 3432 xxKx 23 xx 622522424 1 xTKxTKxTx 552555 1 xTxTKx )(1 111616 xuTKxTx 1xy 写成矩阵的形式得： xyuTKxTTKTTKTKTKTKKTTx0000010000010000010001000000
5、010000000001111111555222223344（ 2） 如图题 3-1-3 图 4 设状态变量 现代控制理论习题详解 5 3x3x1u 1xa2x2xcd f4x4xb3xe2u1yg2y题 3-1-3 图 4 21 xx )( 4122 xucaxx 433 fxexx 23244 dud g xdxbxx 11 xy 32 xy 1xy 写成矩阵的形式得： xyudcxbdgdfecax01000001000000000000010(注：此题解并非唯一的 ) 3-1-4 已知系统的微分 方程，试将其转变成状态空间表达式。 (1) uyyyy 2642 (2) uuyyy 23
6、7 (3) uuuyyyy 23745 (4) uuyyy 323)4( 【解】： 现代控制理论习题详解 6 在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。 此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 （ 1）传递函数为： 642 2)( 23 ssssG状态空间表达式为： xyuxx002100246100010 （ 2）传递函数为： 307 237 2)( 2323 sss sss ssG状态空间表达式为： xyuxx012100703100010 （ 3）传递函数为： 745 23)( 23 2 sss sssG状态空间表达式
7、为： xyuxx132100547100010 （ 4）传递函数为： 2030 1323 13)( 23424 ssss sss ssG状态空间表达式为： xyuxx003110000302100001000010现代控制理论习题详解 7 3-1-5 已知系统的传递函数，试建立其状态 空间表达式，并画出结构图。 （ 1）6116 1)( 23 2 sss sssG（ 2）65 13)( 22 ss sssG（ 3）)3()1( 4)( 2 ssssG（ 4）133 32)( 23 2 sss sssG【解】： 此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 （ 1）
8、 xyuxx1111006116100010 结构图如图题 3-1-5 图 1 所示 1x2x2xu63x3x3x y1x611题 3-1-5 图 1 （ 2）65 52165 526565 13)( 22222 ss sss sssss sssGuyuxx 25105610 结构图如图题 3-1-5 图 2（ a）所示 现代控制理论习题详解 8 1x2x2xu3xy1x2655题 3-1-5 图 2(a) 或有 3121165 13)( 22 ssss sssG uxyuxx 11113002 结构图如图题 3-1-5 图 2（ b）所示 u23y1x1x2x2x题 3-1-5 图 2(b)
9、 （ 3） )3()1( 4)( 2 ssssG)1( 1)1( 2)3( 3134)( 2 sssssG 现代控制理论习题详解 9 xyuxx 12313410111000110000300000结构图如图题 3-1-5 图 3 所示 uy1x1x342x2x314x4x3x3x23题 3-1-5图 3 （ 4） 133 32)( 23 2 sss sssG xyuxx123100331100010 结构图如图题 3-1-5 图 4 所示 现代控制理论习题详解 10 1x2x2xu33x3x3xy1x332题 3-1-5图 4 3-1-6 将下列状态方程化成对角标准型。 （ 1） uxx 1065 10（ 2） uxx1537126712203010 （ 3） uxx0116116100010 【解】： （ 1） 特征方程为： 0)5)(1(56)( 2 D 。 特征值为： 5,1 21 系统矩阵 A 为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵 P 为范德蒙矩阵。 变换阵： 11 1525.0,51 1111 121 PP 线性变换后的状态方程为： uxubPxAPPx 25.0 25.050 01)()( 11 （ 2） 特征方程为 :
