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1、 1 第一章练习题 1 记 ( , )C ab 是闭区间 , ab 上连续函数全体构成的集合 , 在 ( , )C ab 上定义距离如下 : ( , ) | ( ) ( ) | , , ( , )baf g f x g x d x f g C a b ，（ 1） ( , )C ab 按是否完备 ? （ 2） ( ( , ), )C a b 的完备化空间是什么 ? 答： (1) 不完备 , 例如对于 , 0,2ab 以及 1,2,n ,定义 , 0 1,( ) : 1, 1 2.nn xxfx x 则 ( ) ( 0, 2)nf x C 在本题所定义的距离的意义下是 Cauchy 列 ,

2、因为 101100( , ) | ( ) ( ) |11 0 , ( , ) .11n m n mnmf f f x f x d xx d x x d xmnnm 另一方面 , 点列 ( )nfx 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到 (0,2)C 中的某个元 . 事实上 , 在几乎处处收敛的意义下 , 我们有 0 , 0 , 1 )( ) ( ) 1 , 1 , 2 .n xf x g x x 因此 , 根据 Lebesgue 有界收敛定理 , 可以得到 101100( , ) | ( ) ( ) |1| 0 | 0 .1nnnnf g f x g x d xx d x x d x n 但

3、 ( ) (0,2)g x C . (2) ( , )C ab 的完备化空间是 1( , )L ab . 因为 (i) 在距离的意义下 , ( , )C ab 是 1( , )L ab 的稠密子集 . 事实上 , 任意取定一个1( ) ( , )f x L a b , 需要证明 : 对于任意的 0 , 存在 ( ) , g x C a b , 使得 , ( , ) | ( ) ( ) |abf g f x g x d x . 事实上 , 首先根据积分的绝对连续性 , 存在 0 , 使得当 , E ab , 只要 mE , 就有 2 | ( ) | 3E f x dx . 因为 ()fx(L

4、ebesque)可积 , 故几乎处处有限 , 即 1 0NNmE I, 其中 , | | ( ) | NE x a b f x N . 由此可以得到 lim ( ) 0NN mE (因为 NE 是渐缩集列并且 , ab 的测度有限 ),故存在某个自然数 N , 使得 NmE 且 | ( ) | 3NE f x dx , 因此有 | ( )|f x N , , Nx a b E . 引入一个新函数定义为 ( ) , , ( ) : 0 , , NNf x x a b Efx E %显然对于 , x ab 恒有 | ( )|f x N% . 由 Lusin 定理 , 存在连续函数 ( ) ( ,

5、 )g x C 和闭集 , F ab , 使得 ( , ) m i n , / 3 m a b F N 且 | ( )|g x N , 进而 ( ) ( )g x f x % , xF . 则 ()gx限制在 , ab 即为所求 , 因为 : , ( , ) | ( ) ( ) |abf g f x g x d x ( , ) | ( ) ( ) |a b F F f x g x d x , | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |a b F Ff x g x d x f x f x d x % , (| ( ) | )| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |NNa b FF E

6、F Ef x N d xf x f x d x f x f x d x % , | ( ) | ( , )a b F f x d x N m a b F| ( ) | 0NNF E F Ef x d x d x333 . 3 (ii) 1( ( , ), )L a b 是完备的空间 . 2 设 ( , )X 是距离空间， A 是 X 的子集，对任意的 xX ，记 ( , ) in f ( , )yAx A x y ，则（ 1） ( , )xA 是 x 的连续函数 . （ 2）若 nx 是 X 中的点列 , 使 ( , ) 0nxA ,nx 是否为 Cauchy列 ? 为什么 ? 证： (1

7、) 任意取定 12,x x X , 对于任意的 yX 根据三角不等式 , 有 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )x y x x x y , 2 2 1 1( , ) ( , ) ( , )x y x x x y . 对两端关于 yA 取下确界 , 可以得到 1 1 2 2i n f ( , ) ( , ) i n f ( , )y A y Ax y x x x y , 2 2 1 1i n f ( , ) ( , ) i n f ( , )y A y Ax y x x x y . 即 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )x A x x x A , 2 2 1 1( ,

8、 ) ( , ) ( , )x A x x x A . 由此可得 1 2 1 2| ( , ) ( , ) | ( , )x A x A x x . 由此容易证明 ()fx ( , )xA 是 X 上的连续函数 , 实际上 , ( , )xA 还满足 Lipschitz 常数等于 1 的 Lipschitz 条件 . (2) 答 : 未必是 Cauchy 列 . 例如取 XR , 其中的距离是 Euclid 距离 . 对于 1,1A , 对于 1,2,n L , 定义点列为 1( 1) .nnx n 对于点列 nx ,不难验证 , 1( , ) 0nxA n ; 但显然 nx 不是 Cauc

9、hy 列 . 这里的原因就在于 ( , )xA 不是点到点之间的距离 , 而是点到集合的距离 , 当这个集合 A 含有不止一个点时 , ( , )xA 不再具有点点之间距离的性质 . 3 E 是 nR 中的 Lebesgue 可测集合 , 试证 ()LE 按距离 4 ( , ) e s s s u p | ( ) ( ) |xEf g f x g x 是不可分空间 . 证法一：记为方便起见 , 设 , E ab . 定义 , 1 , , ,( ) ( ) 0 , ( , .a xaf x x xb 显然 ()fx 有界 ,可测 , 因此必属于 ( , )L ab . 记 ( ) | ( ,

10、A f x a b . 则 ( , )A L a b .既然对于不同的 12, , ab , 1f与2f不同的部分是正测度集 , 容易看出 A 的势是 .进而有 (不妨设 12 ) 1 2 1 2121212 , , 0 , , 0 , , , , 0( , , , 0( , ) inf su p | ( ) ( ) |inf su p | ( ) ( ) |inf su p | ( ) ( ) |inf su p ( ) 1 .E a b x a b EmEE a b x a b EmEaaE a b x a b EmEE a b x a b EmEf f f x f xf x f xxxx

11、我们用反证法证明所需的结论 .设 ( , )L ab 是可分的，则其必有可数的稠密子集1 2 3 , , , , , ig g g gLL, 因此至少有一个 ig 属于两个不同的 1( ,1/3)Sf 和 2( ,1/3)Sf .而由三角不等式 , 我们有 1 2 1 21 ( , ) ( , ) ( , )1 1 2 .3 3 3iif f f g g f 这是一个矛盾 . 因此 ( , )L ab 不可能是可分的 . 证法二：既然 E 是正测度集 ,存在 0R 使得 ( (0 , ) ) 0m S R E. 不难验证 , 存在一列正数1iiR 满足 : 120 iR R R R LL;

12、且 1( ( 0 , ) ( 0 , ) ) 0iim E S R S R. 5 对于每一个 12( , , , , )i LL,其中 0i 或 1, 定义 1( ) , ( 0 , ) ( 0 , )i i if x x E S R S R , 1,2,i L . 显然 ()fx 有界 ,可测 , 因此必属于 ()LE . 记 ( ) | 0 ,1 A f x N, 其中 0,1N 表示具有上述性质的的全体 . 则 ()A L E .既然对于不同的 , 0,1N , (不妨设 1( , , , )i LL, 1( , , , )i LL且对于某个 i , 0i 1i )f 与 f 不同的

13、部分至少是正测度集 1 ( 0 , ) ( 0 , )iiE S R S R , 容易看出 A 的势与 0,1N 的势都是连续统的势 .进而有 110( ( 0 , ) ( 0 , ) ) 0( ( 0 , ) ( 0 , ) ) 01 ( , ) in f s u p | ( ) ( ) |in f s u p | ( ) ( ) |in f s u p | | 1 .iiiiFE x E FmFFE x E S R S R FmFiiFEx E S R S R FmFf f f x f xf x f x 我们用反证法证明所需的结论 .设 ()LE 是可分的，则其

14、必有可数的稠密子集1 2 3 , , , , , ig g g gLL, 因此至少有一个 jg 属于两个不同的 ( ,1/3)Sf 和 ( ,1/3)Sf .而由三角不等式 , 我们有 1 ( , ) ( , ) ( , )11 .33jjf f f g g f 这是一个矛盾 . 因此 ()LE 不可能是可分的 . 补充题证明 , L ab 是不可分空间 . 证：记 , ()atK x a t b , 其中 , 1 , ,( ) : 0 , .at a x tx t x b 显然 , K L a b , 且只要 12, , t t a b , 12tt , 则有 12 , ,

15、,a t a t K, 且因为 (不妨设 12tt ) 12(, tt 的测度为正 , 故 6 1 2 1 2 , , , , , | | s u p | ( ) ( ) |a t a t a t a tL a b e s s x x 1212 ( , ( , su p | ( ) | 1ttx t t x. 因此 , 由 (, )ab 是不可数集 , 而 K 的基数与 (, )ab 的基数相同 , 故也是不可数集 ,且 K 中任何两个不同元的距离均为 1. 如果 , L ab 是可分的 , 因此有一个可数的稠密子集合 ( ) | 1, 2 , kA f x k L, 且 11( , )3k

16、k S f K . 但这是荒谬的 , 因为上式左端只有可数多个开球 , 右端有不可数多个元 , 所以至少有 K 中的两个不同的12 , , ,at at属于同一个开球01( , )3kSf , 由此得到矛盾 : 121 0 0 2 , , , , , , , 1 | | | | |1 1 2 .3 3 3a t a t L a ba t k k a tL a b L a bff 此矛盾表明 , L ab 不可能是可分的 . 4 设 ( , )kC ab 是闭区间 , ab 上具有 k 阶连续导数的函数全体 , 定义 : ( ) ( ) , 0( , ) m a x | ( ) ( ) |,

17、 , ( , )k i i kx a bif g f x g x f g C a b 试证 : （ 1） ( , )kC ab 是完备的距离空间 ; （ 2）若定义 | | ( ,0)ff , 则 ( ( , ), | |)kC a b 是 Banach 空间 . 证： (1) 这里只证明该距离是完备的 . 设 1 ( )nnfx 是 ( , )kC ab ( 0k 时 , 0( , )C ab 就理解为 , Cab )中该距离意义下的 Cauchy 列 . 因此当 ,mn 时，有 ( ) ( ) , 0( , ) m a x | ( ) ( ) | 0k iim n m nx a bif

18、f f x f x . 由此容易知道对于每一个 0,1, ,ik L , () 1 ( )innfx 是 0( , )C ab 中的 Cauchy 列 . 根据7 0( , )C ab 的完备性 ,知 () 1 ( )innfx 收敛到 0( , )C ab 中的某个元 , 记其为 ()ifx, 则0( ) ( , )if x C a b , 且 ()( ) ( )iinf x f x ， , 0,1, ,n i n , 其中“”表示是一致收敛 . 如果我们记 0( ) ( )f x f x ,利用数学分析中函数序列一致收敛的分析性质 , 可以得到 12()( ) ( ) , ( ) ( )

19、, ,( ) ( ) .kkf x f x f x f xf x f x (*) 例如 , 因为 1( ) ( )nf x f x, 故 1( ) ( )xxnaaf t dt f t dt, 即 1( ) ( ) ( )xnnaf x f a f t dt , 又 0( ) ( )nf x f x及 0( ) ( )nf a f a, 故 0 0 1( ) ( ) ( )xaf x f a f t d t. 求导即可得到 01( ) ( )f x f x , 即 1( ) ( )f x f x . 归纳地可得 (*). 因此 0( ) ( )f x f x ( , )kC a b 且 ()

20、, 0( , ) m ax | ( ) ( ) |k iinnx a bif f f x f x ( ) ( ) , 0 m ax | ( ) ( ) | 0k iinx a bi f x f x . 即 ( , )kC ab 是完备的距离空间 . （ 2）证略 . 7 证明有限维线性赋范空间是完备的 . 证：记该有限维 (实 )线性赋范空间为 E , 是 n 维的，范数记为 |x ,需要证明 ( ,| |)E 是完备8 的 . 记 E 中的一组基为 : 12, , , nv v vL . 因此对于任意的 xE , 存在唯一一组实数 12, , , nx x xL , 使得 1 1 2

21、 2 nnx x x x v v vL, 反之亦然 . (i) 我们断言存在一个与 x 无关的常数 0K , 使得 | | | |ix K x , 1,2, ,in . (*) 首先定义一个映射 : nf 为 : 对于任意的 12( , , , )nx x xL n , 1 2 1 1 2 2( , , , ) : | | | |n n nf x x x x x x x v v vLL. 则对于任意的 ,xy E ( 1 1 2 2 nny y y y v v vL)有 1 1 2 2| | ( , , , )nnx y f x y x y x y 1 1 1| | | | | | | |n

22、n nx y x y vvL 2 2 2 21 1 1( ) ( ) | | | |n n nx y x y vvLL. 由此容易知道 f 是 nR 上的连续函数 . 记 1B 是 nR 中的单位球面 , 即21 1 21 ( , , , ) | 1 nnkkB x x x x L. 则对于任意的 11( , , )nx x B , 有 1( , , ) 0nf x x . (事实上 , 若有 1( , , ) 0nf x x 则 1 1 1( , , ) | | 0n n nf x x x x vvLL, 因此 11 0nnxx vvL , 但 12, , , nv v vL 线性无关 ,

23、故必有 12 0nx x x L , 此与11( , , )nx x B 相矛盾 . )注意到 1B 是 nR 中的有界闭集 (紧子集 ), 连续函数 f 必可在其上达到正的最小值 1/ 0K . 现在我们可以证明式 (*). 事实上 , 对于任意的 xE ,存在唯一的一组实数12, , , nx x xL , 使得 1 1 2 2 nnx x x x v v vL, 不失一般性 , 可设 0x 因此 , 12, , , nx x x 不全为零 , 注意到 9 1112 2 21 1 1, , , nn n nk k kk k kx x xyBx x x L, 故 11122 2 2

24、1 1 1112 2 21 1 1()1, , , ,nnn n nk k kk k knn n nk k kk k kx x xfyx x xx x xfKx x x v v v或 21 1 2 211| | nn n kkx x x x xK v v vL. 由此容易得出 (*)式 . (ii) 设 ()1k kx 是 E 中的基本列 , 这里 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2k k k knnx x x x v v vL, 即 ( ) ( )| | 0klxx, 当 ,kl . 利用 (*)式便可以得到对于每一个 1,2, ,in L , 成立 ( ) ( ) ( ) ( )

25、| | | | 0k l k liix x K x x , 当 ,kl . 即 ()1kikx 是 1 中的基本列 , 因此收敛 . 设 ( ) (0)kiixx , (k , 1,2, ,in ). 记 ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 )1 1 2 2k nnx x x x v v vL, 显然 (0)xE . 根据 E 中收敛的等价性 (即按范数收敛意味着每个分量收敛或即按坐标收敛 ), 容易得到 ( ) (0)| | 0kxx, 当 k . 因此 ( ,| |)E 是完备的 . 9 设 X 为线性赋范空间 , 0X 是 X 的线性闭子空间 . 在 X 中定义等价关系

27、数 , 因此 00| | : /XXR是映射 . (i) (非负性 ) 对于 xX , 显然 00| | in f | | 0yXx x y . (正定性 ) 当 0 =0=xX时 , 有 000| | | 0 | in f | | 0yXxy . 反之 , 如果我们假设00 0 0| | in f | | 0yXx x y , 需要证明 00 =0=xX, 也只需证明00xX . 事实上 , 根据下确界的定义 , 对每一个自然数 1,2,k L , 存在 0kyX , 使得 00 0 0 01 1 1| | | | i n f | |k yXx y x x yk k k , 由此得到一个序列 0kyX 且 0| | 0kyx . 因为 0X 是闭子空间因此 00xX 故 00xX , 即 00 =0=xX. (ii) (正齐性 ) 对于 ,xXC , 如果 0 , 则 000x x X , 故 0 0 0 x X x x . 如果 0 , 则当 y 取遍 0X 中的所

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